1、（新課標）2013高考數學 三輪必考熱點集中營 熱點20以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題（教師版）三年真題重溫】1.【2011新課標全國理，20】在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上，點滿足，點的軌跡為曲線() 求的方程；() 為上的動點，為在點處的切線，求點到距離的最小值2.【2011 新課標全國文，20】在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上() 求圓的方程；() 若圓與直線交與，兩點，且，求的值3.【2010新課標全國理，20】設分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且成等差數列。（1）求的離心率；（2）設點滿足，求的方程.4.【2010新課標全國文，20】設

2、,分別是橢圓E：+=1（0b1）的左、右焦點，過的直線與E相交于A、B兩點，且，成等差數列。（）求（）若直線的斜率為1，求b的值。 5. 【2012新課標全國文理】（本小題滿分12分）設拋物線的焦點為，準線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點；（1）若，的面積為，求的值及圓的方程；（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到距離的比值。 【命題意圖猜想】1.圓錐曲線的解答題新課標的要求理科一般以橢圓或拋物線為背景，而文科一般以橢圓為背景進行綜合考查，由于雙曲線的弱化，故以雙曲線為背景的解析幾何解答題不在考慮.在2011年理科高考試題以求曲線的軌跡為拋物線為背景，結合導

3、數的幾何意義考查最值問題，而在2010年以橢圓為背景，結合等比數列考查曲線的離心率和方程，故以橢圓還是以拋物線為背景有隔年的命題特征，2012年高考文理為同一道題目，以拋物線和圓相結合進行考查，猜想2013年很可能以橢圓為背景，考查探索性問題或定值、定點等問題；2011年文科試題以拋物線為背景，考查圓的方程，在2010年以橢圓為背景考查橢圓的定義和弦長公式等內容，難度比理科要低。猜想2013年文科試題以橢圓為背景考查橢圓的幾何性質或方程.2.圓錐曲線的解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關系，考查數形結合思想、函數與方程思想、等價轉化思想、分類與整合思想等數

4、學思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一由于圓錐曲線與方程是傳統的高中數學主干知識，在高考命題上已經比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經較為穩定，預計2012年仍然是這種考查方式，不會發生大的變化3.從近幾年高考來看，求曲線的軌跡方程是高考的常考題型，主要以解答題的形式出現，考查軌跡方程的求法以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質，一般用直接法、待定系數法、相關點代入法等求曲線的軌跡方程，其關鍵是找到與任意點有關的等量關系軌跡問題的考查往往與函數、方程、向量、平面幾何等知識相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力、運算能力也有一定的要求預測2012年高考仍將以求曲線

5、的方程為主要考點，考查學生的運算能力與邏輯推理能力【最新考綱解讀】1圓錐曲線(1)了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用(2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質(4)了解圓錐曲線的簡單應用(5)理解數形結合的思想2曲線與方程結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數形結合的基本思想【回歸課本整合】1.橢圓的第一定義：平面內到兩個定點的距離之和等于定長（）的點的軌跡.注意：橢圓中，與兩個定點F，F的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌

6、跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡。2直線和橢圓的位置關系（1）位置關系判斷： 直線與橢圓方程聯立方程組，消掉y，得到的形式（這里的系數A一定不為0），設其判別式為，（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切；（3）相離：直線與橢圓相離；(2弦長公式：（1）若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。（2）焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。橢圓左焦點弦,右焦點弦.其中最短的為通徑：,最長為；（3）橢圓的中點弦問題：遇到中點弦

7、問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率.3.與焦點三角形相關的結論橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角，通常叫做焦點三角形.一般與焦點三角形的相關問題常利用橢圓的第一定義和正弦、余弦定理求解.設橢圓上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，設,則在橢圓中，有以下結論：(1)，且當即為短軸端點時，最大為；（2）；焦點三角形的周長為； (3)，當即為短軸端點時，的最大值為；4.直線和拋物線的位置關系（1）位置關系判斷：直線與雙曲線方程聯立方程組，消掉y，得到的形式，當，直線和拋物線相交，且與拋物線的對稱軸并行，此時與拋物線只有一個交點，當設其判別式為，相交：直線與

8、拋物線有兩個交點；相切：直線與拋物線有一個交點；相離：直線與拋物線沒有交點.注意：過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線.（2）焦點弦：若拋物線的焦點弦為AB,，則有,.（3） 在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率.（4）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經過定點,反之亦成立.5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明1、“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標.建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標.所研究的問題已給出坐標系，即可直接設點.沒有給出坐標系，首先要選取適當的坐標

9、系.2、現(限)：由限制條件，列出幾何等式.寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確.3、“代”：代換用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化”：化簡化方程f(x,y)=0為最簡形式.要注意同解變形.5、證明證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產生不增根或失根，應在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍).注意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設現(限)代化.【方法技巧提煉】1.直線與橢圓的位置關系 在直

10、線與橢圓的位置關系問題中，一類是直線和橢圓關系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關：“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點，如果過焦點，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時一定要注意判別式的限制條件.2.如何利用拋物線的定義解題（1）求軌跡問題：主要抓住到定點的距離和到定直線距離的幾何特征，并驗證其滿足拋物線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；（2）求最值問題：主

11、要把握兩個轉化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉化為到準線的距離；二是把點到拋物線的距離轉化為到焦點的距離.在解題時要準確把握題設的條件，進行有效的轉化，探求最值問題.3.求曲線方程的常見方法：(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程 (4)參數法：若動點的坐標(

12、x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數，建立軌跡的參數方程.根據題中給定的軌跡條件，用一個參數來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯系起來，得到用參數表示的方程.如果消去參數，就可以得到軌跡的普通方程.注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.4.解析幾何解題的基本方法解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規律，通過對知

13、識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯立，應用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應用問題的解題關鍵是建立適當的坐標系，合理建立曲線模型，然后轉化為相應的代數問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數形結合法，以形助數，用數定形. 在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合(如角平分線的雙重身份對稱性、利用到角公式)、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.5.避免繁復運算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求.

14、所謂回避，就是根據題設的幾何特征，靈活運用曲線的有關定義、性質等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復雜的問題，用參數方程可能會簡單；在某一直角坐標系下運算復雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”.6. 解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：（1）給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數；若存在實

15、數,等于已知三點共線；（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即；（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；（8）給出,等于已知是的平分線；（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內心；（15）在中，給出等于已知是的內心（三

16、角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；（16）在中，給出,等于已知是中邊的中線。7.定點、定值問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量8解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數和建立不等關系，根據目標函數和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數和不等關系建立目標函數或不等關系的

17、關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據問題的實際情況靈活處理。【考場經驗分享】1判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中x2與y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，則焦點在x軸上，若x2的分母比y2的分母小，則焦點在y軸上4直線和拋物線若有一個公共點，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對稱軸平行5在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點“不多不少”6.作為解答題

18、的倒數第二個，試題的難度較大，也體現在計算量上尤為明顯，同學們解題時往往會思路，但是算不對，對此，建議如下：（1）第一問保證其準確性，如求軌跡方程，曲線方程，或者幾何性質等，因為第二問往往以第一問為基礎，故第一問要舍得花時間去驗證一下；（2）對于第二問，往往就是曲線與直線聯立，建立方程組，得到判別式，韋達定理，等這些都已成立模式，故根據題意能夠順利得到這些關系，即使思路無法進行，也要準確的放在卷面上，一般它們都要占到部分分數；（3）如果涉及到直線方程的探索，特別注意斜率不存在的情況，有時一些定值定點問題，可以通過這種特殊情況直接得到.【新題預測演練】1.【江西師大附中、鷹潭一中2013屆四月高

19、三數學】已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為.(1)求橢圓的標準方程;(2)設不過原點的直線與橢圓交于兩點、，且直線、的斜率依次成等比數列，求面積的取值范圍.2. 【東北三省三校2013屆高三3月第一次聯合模擬考試】（本小題滿分12分）已知點E(m,0)為拋物線內的一個定點，過E作斜率分別為k1、k2的兩條直線交拋物線于點A、B、C、D，且M、N分別是AB、CD的中點（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面積的最小值；（2）若k1 + k2 = 1，求證：直線MN過定點。3.【南京市四星級高級中學2013屆高三聯考調研考試】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的

20、焦距為2，且過點.求橢圓的方程；若點，分別是橢圓的左、右頂點，直線經過點且垂直于軸，點是橢圓上異于，的任意一點，直線交于點（）設直線的斜率為直線的斜率為，求證：為定值；（）設過點垂直于的直線為.求證：直線過定點，并求出定點的坐標. 4【山東省濰坊市2013屆高三3月第一次模擬考試】（本小題滿分12分） 如圖，已知圓C與y軸相切于點T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點M，N(點M必在點N的右側），且已知橢圓D：的焦距等于，且過點( I ) 求圓C和橢圓D的方程； () 若過點M斜率不為零的直線與橢圓D交于A、B兩點，求證：直線NA與直線NB的傾角互補5.【陜西省寶雞市2013屆高三3月份第二次模

21、擬考試】（本小題滿分14分）如圖，設橢圓的上頂點為，左右焦點分別為，線段的中點分別為,是面積為的等邊三角形。求該橢圓的離心率和標準方程；設圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”。點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點做存在斜率的直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由。6.【河北省唐山市20122013學年度高三年級第一次模擬考試】已知橢圓C1：和動圓，直線l:y=kx+m與C1和C2分別有唯一的公共點A和B.(I)求r的取值范圍；(II )求|AB|的最大值，并求此時圓 C2的方程. 7.【2013年石家莊市高中畢業班復習教學質量檢測（二）】已知直線l1：4x:3y6=0和

22、直線l2：x，.若拋物線C:y2=2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.(I )求拋物線C的方程；(II)直線l過拋物線C的焦點F與拋物線交于A，B兩點，且AA1，BB1都垂直于直線l2，垂足為A1，B1，直線l2與y軸的交點為Q，求證：為定值。8.【2013年廣州市普通高中畢業班綜合測試（一）3月】已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，點在橢圓上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為, 且與交于點.求橢圓的方程；是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由. 9.【北京市順義區2013屆高三第一次統練】已知橢圓

23、的上頂點為,左焦點為,直線與圓相切.過點的直線與橢圓交于兩點.(I)求橢圓的方程;(II)當的面積達到最大時,求直線的方程.10.【2013年天津市濱海新區五所重點學校高三畢業班聯考】(本題滿分14分) 設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且（）求橢圓的離心率；（）是過三點的圓上的點，到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；（）在（）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中垂線與軸相交于點，求實數的取值范圍11.【湖北省黃岡中學、孝感高中2013屆高三三月聯合考試】（本小題滿分13分）已知斜率為的直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為直線與y軸交于點，與橢圓C交于相異兩點