1、WORD格式實用標準文案高中數學競賽校本教材 全套 ( 共 30 講，含詳細答案 )目錄§1 數學方法選講11§2 數學方法選講211§3 集合22§4 函數的性質30§5 二次函數 (1)41§6 二次函數 (2)55§7 指、對數函數 , 冪函數63§8 函數方程73§9 三角恒等式與三角不等式76§10 向量與向量方法85§11 數列95§12 遞推數列102§13 數學歸納法105§14 不等式的證明111§15 不等式的應用122

2、67;16 排列，組合130§17 二項式定理與多項式134§18 直線和圓，圓錐曲線143§19 立體圖形，空間向量161§20 平面幾何證明173專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案§21 平面幾何名定理180§22 幾何變換186§23 抽屜原理194§24 容斥原理205§25 奇數偶數214§26 整除222§27 同余230§28高斯函數238§29覆蓋245§29涂色問題256§30組合數學選講265

3、§1 數學方法選講1同學們在閱讀課外讀物的時候，或在聽教師講課的時候，書上的例題或教師講解的例題他都能聽懂，但一遇到沒有見過面的問題就不知從何處入手。看來，要提高解決問題的能力，要能在競賽中有所作為，首先得提高分析問題的能力，這就需要學習一些重要的數學思想方法。例題講解一、從簡單情況考慮華羅庚先生曾經指出：善于“退，足夠的“退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。從簡單情況考慮，就是一種以退為進的一種解題策略。1. 兩人坐在一X長方形桌子旁，相繼輪流在桌子上放入同樣大小的硬幣。條件是硬幣一定要平放在桌子上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，直到桌子上再也放不下一枚硬

4、幣為止。誰放入了最后一枚硬幣誰獲勝。問：先放的人有沒有必定取勝的策略？專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案2線段 AB上有 1998 個點包括A，B 兩點，將點A 染成紅色，點B 染成藍色，其余各點染成紅色或藍色。這時，圖中共有1997 條互不重疊的線段。問：兩個端點顏色相異的小線段的條數是奇數還是偶數？為什么？3 1000 個學生坐成一圈，依次編號為1，2，3， 1000。現在進展1，2 報數： 1 號學生報 1 后立即離開， 2 號學生報2 并留下， 3 號學生報1 后立即離開， 4 號學生報2 并留下學生們依次交替報1 或 2，凡報 1 的學生立即離開，報

5、2 的學生留下，如此進展下去，直到最后還剩下一個人。問：這個學生的編號是幾號？4在 6× 6 的正方形網格中，把局部小方格涂成紅色。然后任意劃掉3 行和 3 列，使得剩下的小方格中至少有1 個是紅色的。那么，總共至少要涂紅多少小方格？二、從極端情況考慮從問題的極端情況考慮，對于數值問題來說，就是指取它的最大或最小值；對于一個動點來說，指的是線段的端點，三角形的頂點等等。極端化的假設實際上也為題目增加了一個條件，求解也就會變得容易得多。5新上任的宿舍管理員拿著20 把鑰匙去開20 個房間的門，他知道每把鑰匙只能翻開其中的一個門，但不知道哪一把鑰匙開哪一個門，現在要翻開所有關閉的20 個

6、門，他最多要開多少次？專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案6有 n 名 n 3選手參加的一次乒乓球循環賽中，沒有一個全勝的。問：是否能夠找到三名選手A， B， C，使得 A 勝 B， B 勝 C，C 勝 A？7nn 3名乒乓球選手單打比賽假設干場后，任意兩個選手已賽過的對手恰好都不完全相同。試證明，總可以從中去掉一名選手，而使余下的選手中，任意兩個選手已賽過的對手仍然都不完全一樣。8在一個 8×8 的方格棋盤的方格中，填入從1 到 64 這 64 個數。問：是否一定能夠找到兩個相鄰的方格，它們中所填數的差大于4？三、從整體考慮從整體上來考察研究的對象，

7、不糾纏于問題的各項具體的細節，從而能夠拓寬思路，抓住主要矛盾，一舉解決問題。9右圖是一個4× 4 的表格，每個方格中填入了數字0 或 1。按以下規那么進展 “操作：每次可以同時改變某一行的數字：1 變成 0，0 變成 1。問：能否通過假設干次“操作使得每一格中的數都變成1？10有三堆石子，每堆分別有1998， 998， 98 粒。現在對這三堆石子進展如下的“操作：每次允許從每堆中各拿掉一個或一樣個數的石子，或從任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式進展 “操作，能否把這三堆石子都取光？如行，請設計一種取石子的方案；如不行，請說明理由。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理

8、WORD格式實用標準文案11我們將假設干個數x，y，z，的最大值和最小值分別記為max x，y，z，和 min x，y，z，。a+b+c+d+e+f+g=1，求 minmaxa+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f ，e+f+g 課后練習1. 方程 x1+x2+x3+ +xn-1+x n=x1x2x3 xn-1 xn一定有一個自然數解嗎？為什么？2. 連續自然數 1， 2， 3， 8899 排成一列。從 1 開場，留 1 劃掉 2 和 3，留 4 劃掉 5 和 6這么轉圈劃下去，最后留下的是哪個數？3. 給出一個自然數 n，n 的約數的個數用一個記號 A n來表示。例如當 n=6 時，因

9、為 6 的約數有 1， 2， 3， 6 四個，所以 A6 =4。 a1， a2， a10是 10 個互不一樣的質數，又 x 為 a1， a2， a10的積，求 A x。4. 平面上有100 個點，無三點共線。將某些點用線段連結起來，但線段不能相交，直到不能再連結時為止。問：是否存在一個以這些點中的三個點為頂點的三角形，它的內部沒有其余 97 個點中的任何一個點？專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案5. 在一塊平地上站著5 個小朋友，每兩個小朋友之間的距離都不一樣，每個小朋友手上都拿著一把水槍。當發出射擊的命令后，每人用槍射擊距離他最近的人。問：射擊后有沒有一個小

10、朋友身上是干的？為什么？6. 把 1600 粒花生分給100 只猴子，請你說明不管怎樣分，至少有4 只猴子分的花生一樣多。7. 有兩只桶和一只空杯子。甲桶裝的是牛奶，乙桶裝的是酒精未滿。現在從甲桶取一滿杯奶倒入乙桶，然后從乙桶取一滿杯混合液倒入甲桶，這時，是甲桶中的酒精多，還是乙桶中的牛奶多？為什么？8. 在黑板上寫上 1， 2， 3， 1998 。按以下規定進展“操作：每次擦去其中的任意兩個數 a 和 b，然后寫上它們的差大減小，直到黑板上剩下一個數為止。問：黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什么？課后練習答案1. 有。解：當 n=2 時，方程x1+x2=x1x2有一個自然數解：x1=2， x

11、2=2；當 n=3 時，方程 x1+x2+x3=x1x2x3有一個自然數解： x1=1， x2=2， x3=3；當 n=4 時，方程 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一個自然數解： x1=1， x2 =1， x3=2， x4=4。一般地，方程x1+x 2+x3+ +xn-1 +xn =x1x2x3 xn-1 xn有一個自然數解：x1=1，x2=1，xn-2=1 ，xn-1 =2，xn=n。2.3508 。解：仿例 3。當有 3n個數時，留下的數是1 號。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案小于 8899 的形如 3n的數是 38=6561，故從 1 號

12、開場按規那么劃數，劃了 8899-6561=2338 個數后，還剩下 6561 個數。下一個要劃掉的數是 2388÷ 2× 3+1=3507，故最后留下的就是 3508。3.1024 。解：質數 a1有 2 個約數： 1 和 a，從而 A a1 =2；2 個質數 a1， a2的積有 4 個約數： 1， a1， a2， a1a2，從而Aa1× a2 =4=22；3 個質數 a1， a2， a3的積有 8 個約數：1， a1， a2， a3， a1a2， a2a3， a3a1， a1a2a3，從而 A a1× a2× a3=8=23；于是， 10

13、個質數 a1， a2， a10的積的約數個數為Ax =210=1024。4. 存在。提示：如果一個三角形內還有別的點，那么這個點與三角形的三個頂點還能連結，與已“不能再連結矛盾。5. 有。解：設 A 和 B 兩人是距離最近的兩個小朋友，顯然他們應該互射。此時如果有其他的小朋友射向他們中的一個，即 A，B 中有一人挨了兩槍，那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果沒有其他的小朋友射向A 或 B，那么我們再考慮剩下的三個人D， E， F：假設 D， E的距離是三人中最近的，那么 D，E 互射，而 F 必然射向他們之間的一個，此時F身上是干的。6. 假設沒有 4 只猴子分的花生一樣多，那么至多 3

14、只猴子分的花生一樣多。我們從所需花生最少情況出發考慮：得 1 粒、 2 粒、 3 粒 32 粒的猴子各有 3 只，得 33 粒花生的猴子有 1 只，于是 100 只猴子最少需要分得花生3× 0+1+2+32 +33=1617粒，現在只有 1600 粒花生，無法使得至多3 只猴子分的花生一樣多，故至少有4 只猴子分的花生一樣多。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案7. 一樣多。提示：從整體看，甲、乙兩桶所裝的液體的體積沒有發生變化。甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同樣體積的牛奶入乙桶。所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一樣多。8. 奇數。解：黑板上開場時所有

15、數的和為S=1+2+3+1998=1997001，是一個奇數，而每一次“操作，將a+b變成了 a-b ，實際上減少了2b，即減少了一個偶數。因為從整體上看，總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，所以最后黑板上剩下一個奇數。例題答案：1分析與解：如果桌子大小只能容納一枚硬幣，那么先放的人當然能夠取勝。然后設想桌面變大，注意到長方形有一個對稱中心，先放者將第一枚硬幣放在桌子的中心，繼而把硬幣放在后放者所放位置的對稱位置上，這樣進展下去，必然輪到先放者放最后一枚硬幣。2分析：從最簡單的情況考慮：如果中間的1996 個點全部染成紅色，這時異色線段只有1條，是一個奇數。然后我們對這種染色方式進展調整：將某些

16、紅點改成藍點并注意到顏色調專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案整時，異色線段的條數隨之有哪些變化。由于顏色的調整是任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了。解：如果中間的1996 個點全部染成紅色，這時異色線段僅有1 條，是一個奇數。將任意一個紅點染成藍色時，這個改變顏色的點的左右兩側相鄰的兩個點假設同色，那么異色小線段的條數或者增加2 條相鄰的兩個點同為紅色，或者減少2 條相鄰的兩個點同為藍色；這個改變顏色的點的左右兩側相鄰的兩個點假設異色，那么異色小線段的條數不變。綜上所述，改變任意個點的顏色，異色線段的條數的改變總是一個偶數，從而異色線段的條數是一個奇數。

17、3分析：這個問題與上一講練習中的第8 題非常相似，只不過本例是報1 的離開報 2 的留下，而上講練習中相當于報1 的留下報2 的離開，由上講練習的結果可以推出本例的答案。本例中編號為1 的學生離開后還剩999 人，此時，如果原來報2 的全部改報1 并留下，原來報 1 的全部改報2 并離開，那么，問題就與上講練習第8 題完全一樣了。因為剩下999 人時，第 1 人是 2 號，所以最后剩下的人的應比上講練習中的大1，是975 1=976號。為了加深理解，我們重新解這道題。解：如果有2n個人，那么報完第 1 圈后，剩下的是 2 的倍數號；報完第2 圈后，剩下的是 22的倍數號報完第 n 圈后，剩下的

18、是2n的倍數號，此時，只剩下一人，是2n號。如果有 2n d 1 d 2n人，那么當有 d 人退出圈子后還剩下 2n人。因為下一個該退出去的是2d 1號，所以此時的第2d1號相當于 2n人時的第1 號，而 2d 號相nn2d 號。當于 2 人時的第2 號，所以最后剩下的是第由 1000=29 488 知，最后剩下的學生的編號是488× 2=976號。4分析與解：先考慮每行每列都有一格涂紅，比擬方便的涂法是在一條對角線上涂6 格紅色的，如圖1。任意劃掉 3 行 3 列，可以設想劃行劃列的原那么是：每次劃掉紅格的個數越多越好。對于圖 1，劃掉 3 行去掉 3 個紅格，還有3 個紅格恰在3

19、 列中，再劃掉3 列就不存在紅格了。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案所以，必然有一些行有一些列要涂2 個紅格，為了盡可能地少涂紅格，那么每涂一格紅色的，一定要使多出一行同時也多出一列有兩格紅色的。先考慮有 3 行中有 2 格涂紅，如圖2。顯然，同時也必然有3 個列中也有2 格涂紅。這時，我們可以先劃掉有2 格紅色的3 行，還剩下 3 行，每行上只有一格涂紅，每列上也只有一格涂紅，那么在劃掉帶紅格的3 列就沒有紅格了。為了使得至少余下一個紅格，只要再涂一格。此紅格要使圖中再增加一行和一列有兩個紅格的，如圖3。結論是：至少需要涂紅10 個方格。5.解：從最不利的

20、極端情況考慮：翻開第一個房間要20 次，翻開第二個房間需要19 次共計最多要開20 19 18 1=210次。6.解：從極端情況觀察入手，設B 是勝的次數最多的一個選手，但因B 沒獲全勝，故必有選手 A 勝 B。在敗給B 的選手中，一定有一個勝A 的選手 C，否那么， A 勝的次數就比B 多一次了，這與B 是勝的次數最多的矛盾。所以，一定能夠找到三名選手A， B， C，使得 A 勝 B， B勝 C， C勝 A。7. 證明：如果去掉選手 H，能使余下的選手中，任意兩個選手已賽過的對手仍然都不完全一樣，那么我們稱 H為可去選手。我們的問題就是要證明存在可去選手。設 A 是已賽過對手最多的選手。假設

21、不存在可去選手，那么A 不是可去選手，故存在選手B 和 C，使當去掉A 時，與 B 賽過的選手和與C 賽過的選手一樣。從而B和C不可能賽過，并且B和C中一定有一個不妨設為 B與 A 賽過，而另一個即C未與 A 賽過。又因 C不是可去選手，故存在選手D， E，其中 D 和 C賽過，而E 和 C 未賽過。顯然， D 不是 A，也不是 B，因為 D與 C 賽過，所以D 也與 B 賽過。又因為B 和 D賽過，所以 B 也與 E 賽過，但E 未與 C賽過，因而選手E 只能是選手A。于是，與 A 賽過的對手數就是與E 賽過的對手數，他比與D 賽過的對手數少1，這與假設 A 是已賽過對手最多的選手矛盾。故一

22、定存在可去選手。8.解：考慮這個方格棋盤的左上角、右上角及右下角內的數A， B， S。設存在一個填數方案，使任意相鄰兩格中的數的差不大于4，考慮最大和最小的兩個數專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案1 和 64 的填法，為了使相鄰數的差不大于4，最小數 1 和最大數的“距離越大越好，即把它們填在對角的位置上A=1， S=64。然后，我們沿最上行和最右行來觀察：因為相鄰數不大于4，從 A BS 共經過 14 格，所以 S 1+4× 14=57每次都增加最大數4，與 S=64 矛盾。因而， 1 和 64 不能填在“最遠的位置上。顯然，1 和 64 如果填在

23、其他任意位置，那么從1 到 64 之間的距離更近了，更要導致如上的矛盾。因此，不存在相鄰數之差都不大于4 的情況，即不管怎樣填數必有相鄰兩數的差大于4。9.解：我們考察表格中填入的所有數的和的奇偶性：第一次“操作之前，它等于9，是一個奇數，每一次“操作，要改變一行或一列四個方格的奇偶性，顯然整個16 格中所有數的和的奇偶性不變。但當每一格中所有數字都變成1 時，整個 16 格中所有數的和是16，為一偶數。故不能通過假設干次“操作使得每一格中的數都變成1。10.解：要把三堆石子都取光是不可能的。按“操作規那么，每次拿掉的石子數的總和是3 的倍數，即不改變石子總數被3 除時的余數。而1998+99

24、8+98=3094，被 3 除余 1，三堆石子被取光時總和被3 除余 0。所以，三堆石子都被取光是辦不到的。11. 解：設 M=max a+b+c， b+c+d， c+d+e， d+e+f ，e+f+g 。因為 a+b+c， c+d+e， e+f+g 都不大于 M，所以專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案§2數學方法選講2四、從反面考慮解數學題，需要正確的思路。對于很多數學問題，通常采用正面求解的思路，即從條件出發，求得結論。但是，如果直接從正面不易找到解題思路時，那么可改變思維的方向，即從結論入手或從條件及結論的反面進展思考，從而使問題得到解決。1某

25、次數學測驗一共出了10 道題，評分方法如下：每答對一題得4 分，不答題得0 分，答錯一題倒扣1 分，每個考生預先給10 分作為根底分。問：此次測驗至多有多少種不同的分數？2一支隊伍的人數是5 的倍數，且超過1000 人。假設按每排4 人編隊，那么最后差3 人；假設按每排 3 人編隊，那么最后差2 人；假設按每排2 人編隊，那么最后差1 人。問：這支隊伍至少有多少人？專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案3在八邊形的8 個頂點上是否可以分別記上數1， 2， 8，使得任意三個相鄰的頂點上的數的和大于13？4有一個1000 位的數，它由888 個 1 和 112 個 0

26、 組成，這個數是否可能是一個平方數？五、從特殊情況考慮對于一個一般性的問題，如果覺得難以入手，那么我們可以先考慮它的某些特殊情況，從而獲得解決的途徑，使問題得以“突破，這種方法稱為特殊化。對問題的特殊情況進展研究，一方面是因為研究特殊情況比研究一般情況較為容易；另一方面是因為特殊的情況含有一般性，所以對特殊情況的研究常能提醒問題的結論或啟發解決問題的思路，它是探索問題的一種重要方法。運用特殊化方法進展探索的過程有兩個步驟，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通過第一步驟得到的信息，還要回到一般情況予以解答。5如以下圖，四邊形 ABCD和 EFGH都是正方形，且邊長均為2cm。又 E 點是正方形A

27、BCD的中心，求兩個正方形公共局部圖中陰影局部的面積S。6是否在平面上存在這樣的40 條直線，它們共有365 個交點？專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案7如右圖，正方體的8 個頂點處標注的數字為a， b， c，d， e，求 a+b+c+d - e+f+g+h 的值。8將 n2個互不相等的數排成下表：a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3ann先取每行的最大數，得到 n 個數，其中最小數為 x；再取每列的最小數，也得到 n 個數，其中最大數為 y。試比擬 x 和 y 的大小。六、有序化當我們研究的對象是一些數的時候，我們常常將這些數排

28、一個次序，即將它們有序化。有序化的假設，實際上是給題目增加了一個可供使用的條件。9將 10 到 40 之間的質數填入以下圖的圓圈中，使得3 組由“所連的4 個數的和相等，如果把和數相等的填法看做同一類填法，請說明一共有多少類填法？并畫圖表示你的填法。10有四個互不相等的數，取其中兩個數相加，可以得到六個和：24，28，30，32，34，38。求此四數。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案11互不相等的12 個自然數，它們均小于36。有人說，在這些自然數兩兩相減大減小所得到的差中，至少有3 個相等。你認為這種說法對嗎？為什么？12有 8 個重量各不一樣的物品，每個

29、物品的重量都是整克數且都不超過15 克。小平想以最少的次數用天平稱出其中最重的物品。他用了如下的測定法：（ 1把 8 個物品分成 2 組，每組 4 個，比擬這 2 組的輕重；（ 2把以上 2 組中較重的 4 個再分成 2 組，即每組 2 個，再比擬它們的輕重； 3把以上2 組中較重的分成各1 個，取出較重的1 個。小平稱了 3 次天平都沒有平衡，最后便得到一個物品。可是實際上得到的是這8 個物品當中從重到輕排在第5 的物品。問：小平找出的這個物品有多重？并求出第二輕的物品重多少克？課后練習1. 育才小學 40 名學生參加一次數學競賽，用 15 分記分制即分數為 0，1，2，15。全班總分為20

30、9 分，且一樣分數的學生不超過5 人。試說明得分超過12 分的學生至多有9人。2. 今有一角紙幣、二角紙幣、五角紙幣各 1 X，一元幣 4 X，五元幣 2 X，用這些紙幣任意付款，一共可以付出多少種不同數額的款項？3. 求在 8 和 98 之間不包括 8 和 98，分母為 3 的所有最簡分數的和。4. 如右圖，四邊形 ABCD的面積為 3，E，F 為邊 AB 的三等分點， M，N 是 CD邊上的三等分點。求四邊形 EFNM的面積。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案5. 直線上分布著 1998 個點，我們標出以這些點為端點的一切可能線段的中點。問：至少可以得到多

31、少個互不重合的中點？6. 假定 100 個人中的每一個人都知道一個消息，而且這100 個消息都不一樣。為了使所有的人都知道一切消息，他們一共至少要打多少個？7. 有 4 個互不相等的自然數，將它們兩兩相加，可以得到 6 個不同的和，其中較小的 4個和是 64， 66， 68， 70。求這 4 個數。8. 有五個砝碼，其中任何四個砝碼都可以分成重量相等的兩組。問：這五個砝碼的重量相等嗎？為什么？課后練習答案1. 假設得分超過 12 分的學生至少有 10 人，那么全班的總分至少有5× 12+13 +5× 0+1+2+3+4+5 =210分，大于條件 209 分，產生了矛盾，故得

32、分超過12 分的學生至多有9 人。2.119 種。解：從最低幣值 1 角到最高幣值 14 元 8 角，共 148 個不同的幣值。再從中剔除那些不能由這些紙幣構成的幣值。經計算，應該剔除的幣值為 i+0.4 元 i=0 ， 1， 2， 14及 j+0.9 元 j=1 ，2， 3， 13，一共 29 種幣值。所以，一共可以付出 148-29=119 種不同的幣值。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案3.9540 。=2× 8+9+97 +97-8+1 =9540。4.1 。解：先考慮ABCD是長方形的特殊情況，顯然此時EFNM的面積是1。下面就一般情況求解

33、。連結 AC， AM， FM， CF，那么5.3993 個。解：為了使計算互不重復，我們取距離最遠的兩點A， B。先計算以A 為左端點的所有線段，除 B 外有 1996 條，這些線段的中點有 1996 個，它們互不重合，且到點 A 的距離小于AB長度的一半。同樣，以 B 為右端點的所有線段，除 A 外有 1996 條，這些線段的中點有 1996 個，它們互不重合，且到點 A 的距離小于 AB長度的一半。這兩類中點不會重合，加上 AB的中點共有 1996+1996+1=3993個，即互不重合的中點不少于 3993 個。另一方面，當這 1998 個點中每兩個相鄰點的間隔都相等時，不重合的中點數恰為

34、3993。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案這說明，互不重合的中點數至少為3993 個。6.198 個。解：考慮一種特殊的通話過程：先由99 人每人打一個給A， A 再給 99 人每人打一個，這樣一共打了198 個，而且每人都知道了所有的消息。下面我們說明這是次數最少的。考慮一種能使所有人知道一切消息的通話過程中的關鍵性的一次通話，這次通話后，有一個接話人A 知道了所有的消息，而在此之前還沒有人知道所有的消息。除了 A 以外的 99 人每人在這個關鍵性的通話前，必須打出一次，否那么A 不可能知道所有的消息；又這 99 人每人在這個關鍵性的通話后，又至少收到一個

35、，否那么它們不可能知道所有的消息。7.30 ，34， 36，38 或 31， 33， 35， 39。解：設 4 個數為 a， b， c，d，且 a b c d，那么 6 個和為 a+b，a+c，a+d， b+c，b+d，c+d。于是有a+b a+c a+db+d c+d和 a+b a+c b+cb+d c+d。分別解這兩個方程組，得8. 相等。解：設這五個砝碼的重量依次為ab c d e。去掉 e，那么有 a+d=b+c；去掉 d，那么有 a+e=b+c。 專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案比擬，得d=e。去掉 a，那么有 b+e=c+b；去掉 b，那么有 a

36、+e=c+d。 比擬，得a=b。將 a=b 代入得 c=d，將 d=e 代入得 b=c。所以 e=b=c=d=e。例題答案：1分析：最高的得分為50 分，最低的得分為0 分。但并不是從0 分到 50 分都能得到。從正面考慮計算量較大，故我們從反面考慮，先計算有多少種分數達不到，然后排除達不到的分數就可以了。解：最高的得分為50 分，最低的得分為0 分。在從 0 分到 50 分這 51 個分數中，有 49，48，47，44，43，39 這 6 種分數是不能到達的，故此次測驗不同的分數至多有51-6=45種。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案2分析：從條件“假設按

37、每排4 人編隊，那么最后差3 人的反面來考慮，可理解為“假設按每排 4 人編隊，那么最后多 1 人。同理，按 3 人、 2 人排隊都可理解為多 1 人。即總人數被 12 除余 1。這樣一來，原題就化為：一個 5 的倍數大于1000，且它被 12 除余 1。問：這個數最小是多少？解：是 5 的倍數且除以12 余 1 的最小自然數是25。因為人數超過1000 ，3 ，4，5=60 ，所以最少有25+60× 17=1045人。3解：將八邊形的8 個頂點上的數依次記為a1，a2，a3， a8，那么有 S=a1+a2+a3+a8=1+2+3+ +8=36。假設任意 3 個相鄰頂點上的數都大于1

38、3，因為頂點上的數都是整數，所以a1+a2+a314；a2+a3+a414；a7+a8+a114；a8+a1+a214。將以上 8 個不等式相加，得 3S 112，從而 S 37 ，這與 S=36 矛盾。故結論是否認的。4解：假設這個數為A，它是自然數a 的平方。因為 A 的各位數字之和888 是 3 的倍數，所以a 也應是 3 的倍數。于是a 的平方是9的倍數，但888 不是 9 的倍數，這樣就產生了矛盾，從而A 不可能是平方數。5.分析：我們先考慮正方形 EFGH的特殊位置，即它的各邊與正方形 ABCD的各邊對應平行的情況見上圖。此時，顯然有得出答案后，這個問題還得回到一般情況下去解決，解

39、決的方法是將一般情況變成特殊情況。解：自 E 向 AB和 AD分別作垂線EN和 EM右圖，那么有S=S PME+S四邊形 AMEQ又 SPME=S EQN，故S=S EQN+S四邊形 AMEQ=S 正方形 AMEN6.分析與解：先考慮一種特殊的圖形：圍棋盤。它有38 條直線、 361 個交點。我們就從這種特殊的圖形出發，然后進展局部的調整。專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案先加上 2 條對角線，這樣就有40 條直線了，但交點仍然是361 個。再將最右邊的1 條直線向右平移1 段，正好增加了4 個交點見上圖。于是，我們就得到了有365 個交點的40 條直線。7.

40、分析：從這8 個數都相等的特殊情況入手，它們滿足題目條件，從而得所求值為0。這就啟發我們去說明a+b+c+d=e+f+g+h 。解：由得3a=b+e+d， 3b=a+c+f ，3c=b+d+g， 3d=a+c+h，推知3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h ，a+b+c+d=e+f+g+h ，（ a+b+c+d - e+f+g+h =0。8. 分析：先討論 n=3 的情況，任取兩表：137123256456894789左上表中 x=6，y=4；右上表中x=3， y=3。兩個表都滿足x y，所以可以猜測x y。解：設 x 是第 i 行第 j 列的數 aij ， y 是第

41、l 行第 m列的數 alm 。考慮 x 所在的行與y 所在的列穿插的那個數，即第 i 行第 m列的數 aim 。顯然有 aij aim alm ，當 i=l ，j=m 時等號成立，所以 x y。9. 解： 10 到 40 之間的 8 個質數是11， 13， 17， 19， 23，29， 31，37。根據題目要求，除去最左邊和最右邊的2 個質數之外，剩下的6 個質數在同一行的2個質數的和應分別相等，等于這6 個數中最小數記為a與最大數記為b之和 a+b。根據 a， b 的大小可分為6 種情況：當 a=11， b=29 時，無解；當 a=11， b=31 時，有 11+31=13+29=19+23

42、，得到如下填法：當 a=11， b=37 時，有 11+37=17+31=19+29，得到如下填法：當 a=13， b=31 時，無解；當 a=13， b=37 時，無解；專業資料整理WORD格式文檔大全專業資料整理WORD格式實用標準文案當 a=17， b=37 時，無解。所以，共有 2 類填法。10. 解：設四個數為 a， b， c，d，且 a b c d，那么六個和為 a+b，a+c，a+d， b+c，b+d，c+d，其中 a+b 最小， a+c 次小， c+d 最大， b+d 次大， a+d 與 b+c 位第三和第四。分別解這兩個方程組，得11. 解：設這 12 個自然數從小到大依次為 a1，a2，a3， a12，且它們兩兩相減最多只有 2 個差相等，那么差為1，2， 3， 4， 5 的都最多只有2 個。從