1、電力系統分析與保護研究生專業課主講：夏經德所用教材和主要參考書 所用教材 1現代電力系統分析，王錫凡等，科學出版社，2003年 2新型繼電保護和故障測距的原理與技術（第二版），葛耀中等，西安交通大學出版社，2007年 所用主要參考書 1電力系統分析 上冊，諸俊偉等，1998年 2電力系統分析 下冊，夏道止等，1998年所用教材和主要參考書 所用主要參考書 3Modern Power System Analysis（第三版），D P Kothari等，清華大學出版社，2009年 4電力系統繼電保護（第2版），張保會等，中國電力出版社，2010年 5 Power System Protection

2、, John B. Anderson等, IEEE Press Editorial Board, 1999年 6 風力發電與電力系統，周雙喜，魯宗相，中國電力出版社，2011年本科知識補償內容主要參考書1 電力系統分析（第二版），夏道止等，中國電力出版社，2011年版2 電力系統計算，五所高校和水利電力部合編，水利電力出版社，1978年版3 高壓電網繼電保護原理與技術，朱聲石，中國電力出版社，2005年版4 電機學，陳世元，中國電力出版社，2015年版現代電力系統分析主編：王錫凡副主編：方萬良，杜正春1 電力網絡的數學模型及求解方法電力網絡的數學模型及求解方法 本章包含以下內容： 1-1基本概

3、念 1-2導納矩陣 1-3網絡方程解法 1-4阻抗矩陣 思考問題 1-1基本概念 是現代電力系統分析的基礎 潮流和優化潮流、短路電流計算、靜態安全分析和動態穩定評估 包括線路、變壓器、并(串)聯電容等 等值電路、交流電路理論、集中參數 工頻狀態和分布參數的分析1.1.1 節點方程及回路節點方程及回路方程方程 節點電壓法和回路電流法 普遍采用節點方程，回路方程為輔 一個兩個電源和一個等值負荷系統1y1i1V6y2i2y3i3y4i4V6i5i4y5y24135 基爾霍夫第一定律 節點電壓2352124131532335221423324116135124)()(0)()()(0)()()(0)(

4、)(iVVyiVVyVVyVVyVVyVVyVVyVVyVyVVyVVy2523214121523 .53223154133243114352416540)(0)(0)(IVyVyIVyVyVyVyyyVyVyVyVyVyyyVyVyVyVyyy 左端流出電流，右端注入電流，規范化形式 節點方程反映節點電壓與注入電流的關系 矩陣形式可以表示為： 關聯矩陣的概念：不同程度反映網絡接線圖形 含有0、+1、1三種元素，不含具體參數 行號與節點號相對應，列號與支路號相對應555545435325215145454443432421413535434333232131252542432322212115

5、15414313212111IVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYYVI 為1時，電流向節點；為+1時，電流離開節點 節點關聯矩陣反過來唯一地確定網絡的接線圖 節點關聯矩陣和網絡節點方程之間有密切的關系 n個節點， b條支路。每條支路都列如下方程式 有電壓源支路，轉化為電流源的形式： 看作為向電力網絡節點的注入電流 b條支路基本方程式集中用矩陣表示BkBkBkVyIBkBkBkBkBkBkBkeyzeazy/1BKe BKzBKa BKyBKIBKV)(a)(bBBBVYI 霍夫第一定律，注入電流與支路電流有下關系 流向節

6、點 反之 節點電流列向量與支路電流列向量應有以下關系 網絡的節點關聯矩陣（圖1-1） 整個電力網絡消耗的功率為 式中所反映相應向量的共軛值，向量的標量積 從節點輸入總功率來看可以得到 可知 得到 推得 電力網絡的節點導納矩陣)2 , 1(1niIaIbkBkiki1ika1ikaBAII A1bBkBkiSI VIVTBAIIBBTBVIVAIBTVVATAAYYB1bBkBkiSI VBBIV1z1i1V6z2i2z3i3z4i4V6i5i4z5z1I2I3I1243535432514352652165342616414)(0)()(IzzzIzIzIzIzzzIzVIzIzIzzzV利用回

7、路電流法時，用阻抗表示參數比較方便，基爾霍夫第二定律，列出三個回路的電壓方程式 當回路電勢已知，可求回路電流和節點電壓 如果電力網絡有m 個獨立回路，矩陣的形式 根據三個獨立環路寫出它的“環路關聯矩陣” 為+1時環路電流方向與支路的一致， -1相反 并得到回路阻抗矩陣lllIZE mIII21lImEEE21lEmmmmmmZZZZZZZZZ212222111211.lZ011100110010101001BTBLBBZZ 移相器改變兩側相位，因此變比是一復數，如圖中1-7所示 有以下關系 根據功率守恒原理 最終得到0jijTiiIIVzIVijiITziVjVjIK:1jVjIKVVjj/j

8、jjjIVIVjjjijiTjTijjijiiiTjTiiVYVYzKVzKVIVYVYzKVzVI2TiizY1TijzKY1TjizKY1TjjzKY21導納矩陣是不對稱的1.2 1.2 節點導納矩陣節點導納矩陣 1.2.1 1.2.1 節點導納矩陣的基本概念節點導納矩陣的基本概念 節點i 加單位電壓而其余節點接地 不含移相器時導納矩陣為對稱矩陣 導納矩陣為（高度）稀疏矩陣nnninniniiiinianiYYYYYYYYYYYYYYYY212122222111211Y1.2.21.2.2節點導納矩陣的形成與修改節點導納矩陣的形成與修改 導納矩陣形成、特殊元件處理與矩陣修改 ( 1 ) 導

9、納矩陣的階數等于電力網絡的節點數； ( 2 ) 導納矩陣各行非對角元素中非零元素的個數等于對應節點所連的不接地支路數； ( 3 ) 導納矩陣各對角元素，即各節點的自導納等于相應節點所連支路的導納之和； ( 4 ) 導納矩陣非對角元素 等于節點 i與節點 j間支路的導納并取負號。)(a12z13z2I12I1I11V13I3I12z13z2I12I1I013I3I12z13z2I012I1I31I3I13V12z13z12z23z12321331231212310z10z)(b10I10z)(c10z)(d20z)(e 當節點i 、 j之間為變壓器支路時， 增加非零非對角元素 改變i節點 自導納

10、改變量 改變j節點 自導納改變量 當節點i 、 j之間為移相器支路時， 增加非零非對角元素 其它不變 從原網絡引一新支路，同時增一個新節點 在原有節點 i和 j間增加一條支路 在原有節點 i和 j間切除一條支路 在原有節點 i和 j間修改一條支路TijjiyYYK TTTiiyyKyKKY112211KyyKKyKYTTTjjTijzKY1TjizKY1 【例1-1】在下圖表示了一個網絡等值電路 015. 0 j05. 1 : 125. 0 j1 :05. 103. 0 j25. 0 j25. 0 j25. 0 j30. 008. 0j0.04+j0.250.1+j0.3533333.3300

11、0000. 074603.31000000. 066667.66000000. 049206.63000000. 074603.31000000. 073786.35584596. 1112033. 3929876. 0641509. 2754717. 019206.63000000. 0112033. 3829876. 098082.66453909. 1900156. 324024. 0641509. 2754717. 0900156. 3924024. 0291665. 6378742. 1jjjjjjjjjjjjjjjY1.3 1.3 電力網絡方程求解方法電力網絡方程求解方法 1.3.

12、1 1.3.1 高斯消去法高斯消去法 電力網絡方程主要用高斯消去法求解。 應用的初期，曾因內存限制采用過迭代法 致命缺點是存在收斂性問題 稀疏技術幾乎使迭代法為高斯法所代替 由消去運算和回代運算兩部分組成 消去又叫前代，可以按行，也可按列進行 通常 “消去按列進行，回代運算按行進行” 設有 n階線性方程組 實數或復數 形成 階增廣矩陣 按列消去過程 第一步，消去第一列：第一行規格化為 行消去 第一列對角線下各元素 第2到第 n行其他元素化為BAX ) 1( nn1,211, 2222211, 11121121222221111211nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaba

13、aabaaabaaaBAA)1(1, 1)1(13)1(121naaa111)1(1aaajj) 1, 3 , 2(njA1,3121,naaa) 1 (11) 1 (jiijijaaaa) 1, 3 , 2(nj), 3 , 2(ni 上標(1)表示該元素第一次運算的結果。這時矩陣 變為 ，同解的方程組是 第二步，消去第二列，第二行規格化為 行消去 第二列對角線下各元素并得到結果 A1A)1(1,)1()1(2)1(1, 2)1(2)1(22)1(1, 1)1(1)1(121111nnnnnnnnnaaaaaaaaaBAA11BXA)2(1, 2)2(2310naa) 1, 4 , 3(/)

14、1 (22)1 (2)2(2njaaajjA)2(2)1(2)1()2(jiijijaaaa) 1, 4 , 3(nj), 4 , 3(ni)2(1,)2()2(3)2(1, 3)2(3)2(33)2(1, 2)2(2)2(23)1(1, 1)1(1)1(13)1(1222211nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaBAA 一般地，在消去第k 列時要做以下的運算 對矩陣 n 次消去運算，使矩陣 對角線以下元素全部化為零，從而得到增廣矩陣 對應方程組 與原方程組同解) 1, 1(/)1()1()(nkjaaakkkkkjkkj), 1(),1, 1()()1()1()(nkinkjaa

15、aakkjkikkijkijAA)(1,)3(1, 3)3(3)2(1, 2)2(2)2(23)1(1, 1)1(1)1(13)1(121111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaBAAnnBXA)(1,)3(1, 3)3(33)2(1, 2)2(23)2(232)1(1, 1)1(13)1(132)1(121nnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxax 按行回代過程，第 年n個方程可知 代入第 n-1個方程 代入第 i個方程 這就是按行回代的一般公式 【例1-2】利用高斯消去法求解下列方程組)(1,nnnnaxnnnnnnnnxaax)1(, 1)1(1, 11

16、nijjiijiniixaax1)()(1,) 1 , 2 ,(ni 2232524131214321xxxxxxxxxx1.3.2 1.3.2 因子表和三角分解因子表和三角分解 方程組需要多次求解，每次僅改變常數項B，而系數矩陣 A是不變的，利用因子表求解 對常數項B一種記錄表格，消去過程中對常數項B 中的第 i個元素 的運算) 1() 1()(/iiiiiiiabb), 2 , 1(ni)()1()1()(kkkikkikibabb) 1, 2 , 1(ikib 下三角部分和上三角部分合一起得因子表 下三角元素進行消去，上三角元素進行回代 也可以表示為如下形式) 1()3(4)2(3) 1

17、 (21)4(4)3(44)2(43) 1 (4241)3(3)3(34)2(33) 1 (3231)2(2)2(24)2(23) 1 (2221) 1 (1) 1 (14) 1 (13) 1 (1211nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnndlllludllluudlluuudluuuud43214444342413343332312242322211141312111)( iiiiiad)(iijijau)1( jijijal()ij()ij 下三角元素就是矩陣消去過程運算的元素 保留在原來位置，對角元素取倒數到下三角部分；上三角元素就

18、是矩陣消去的結果 求出例1-2中線性方程組系數矩陣A的因子表，用該因子表對下列常數項 求解 不難驗證，因子表與其系數矩陣A有如下關系 ，進一步分解為： 原系數矩陣A一般可以表示為 可以看出 或 可以證明當矩陣A為對稱時，上式必然成立iiiiiidbb/)()(1), 1()()1()(nkiblbbkkikkiki)(nnnbx nijjijiiixubx1)(ULALDL LDUA ULTTLUT0211B1.3.3 1.3.3 稀疏技術稀疏技術 充分利用電力網絡方程組的稀疏特性 盡量減少不必要的計算以提高求解的效率 當線性方程組的稀疏特性得到充分利用時，不僅在形成因子表中減少計算量，更重要

19、的是減少求解方程組時前代和回代的計算量；因子表中有多少零元素，就減少多少乘加的運算量【例1-4】試用稀疏技術求解例1-2的線性方程組 相關內容見教材25頁2232524131214321xxxxxxxxxx1.3.4 1.3.4 稀疏向量法稀疏向量法 稀疏技術已用于解決幾乎所有大型電力網絡 主要解決線性方程右端向量僅有少量非零元素 對待求向量中個別元素感興趣的情況 方法簡單，但節省的計算量和內存量非常可觀 潮流、短路、最優潮流和靜態安全廣泛運用 稀疏向量法可用于滿或稀疏矩陣的線性方程組 節點電壓方程為： Y為對稱的n階方陣 經過三角分解 方程組寫成 上式分解為 當Y陣對稱時，L和U互為轉置陣

20、消去過程表示為 回代過程表示為 在用稀疏向量法時，消去過程必須按列進行 回代過程必須按行進行才能達到高效的目的 存儲方案必須滿足可直接找出 各列和 各行最小足碼的非零非對角元素，實際不難得到IYV LDUY ILDUV ILX XDWWUV ILDW11WUV1【例1-5】求解如下線性方程組： 相關內容見教材29頁0201204321434241VVVVVVVVVV 獨立向量I是稀疏的，但待求 V一般并不稀疏 稀疏向量可以指I或V中感興趣的幾個元素 消去過程只用 某幾列元素，稱為快速消去FF 只需求向量 的幾個元素，則回代過程只用V 中某幾行元素，稱之為快速回代過程FB FF的有效列子集與L

21、和 I的稀疏結構有關，FB的有效行子集與U 和V 的稀疏結構有關。 提高稀疏矩陣運算的效率 1）獨立向量I 清零，非零元素置入I ，形成初始 ； 2） I向下搜索非零元素，最小非零元素號置入k ； 3）用 L陣的第k列對I進行消去過程運算； 4）k=n當 時，終止。否則轉到第2步。 在FF中只進行必要的非零元素的運算 在清零和搜索上卻做了大量不必要的運算 FB有和上述類似，但浪費的計算量可能更大 關鍵是預先高效地找出因子化路徑 當向量 中只一個非零元素時，為單元素向量 設其點號為k，求得其相應的因子化路徑： 1）令k為路徑中第一個點號； 2）尋找L/U陣的k 列/行中最小非零元素點號，將此點號

22、置入k，并列入路徑中； 3）如果k=n當 時，終止。否則轉到第2步。 因子化路徑可由因子表指針數組直接確定【例1-6】試求圖1-11所示電力網絡的因子化路徑。 該電力網絡共有21條支路，故共有21個黑點所代表的非對角元素。相關內容見30頁 因子表結構確定單元素向量因子化路徑132435101412915617811T000000000010001I123456789101112131415123456789101112131415 其因子化路徑為上述 及 時因子化路徑的并集： 因子表結構可列出以下鏈接表1k5k15141311512721點號鏈接點號點號鏈接點號1281027910341012

23、481113511121369131471214151514131151210843967211.3.5 1.3.5 電力網絡節點編號優化電力網絡節點編號優化 因為消去過程或分解過程中會產生新的非零元素，即注入元素。 由于節點l 、i 及節點l 、 j間無直接聯系，故可斷定，在其導納矩陣中相關元素為零。ijl1 消去節點1后，網絡將要在節點i 、 j，l 、i 及l 、 j間出現新支路，出現了兩個注入元素。 消去節點k 時，以 k為中心的星形將變為以與k節點 直接聯系的節點為頂點的網形網絡 如果與 k相連的節點數為 Jk，則支路數應等于從Jk中任意取兩個節點的組合數Jk *（ Jk -1）/2

24、。 已有 Dk條支路數，增加的新支路數： 不同編號方案所得到注入元素的數目也不相同。 尋求一種使注入元素數目最少的節點編號方式 取一些簡化的方法，求出一個相對的節點編號優化方案，并不一定追求“最優”方案kKKkDJJb) 1(21 （1）靜態按最少出線支路數編號 按出線數由少到多的順序編號，相同時任意 出線數最少的所對應的行中非零元素也最少 非常簡單，適于接線方式較簡單，即環路較少 （2）動態地按最少出線支路數編號 每消一個節點后，選出線路數最少的節點進行編號，就可得到更好效果，半動態優化法。 （3）動態地按增加出線數最少編號 按消去節點后增加出線數最少的原則編號， 這種編號方法的工作量比以上

25、兩種方法大得多。12346310節點編號圖形導納矩陣下三角矩陣注入元素12345 12345 1234512345 非零元素非零注入元素 【例17】 試對圖1-16所示電力網絡進行節點編號優化。 1用靜態優化法編號 在消去過程中出現四條 2用半動態優化法編號 在消去過程中出現二條 3用動態優化法編號 在消去過程中出現一條MNOPQRST1.4 1.4 節點阻抗矩陣節點阻抗矩陣 1.4.1 1.4.1 節點阻抗矩陣的物理意義節點阻抗矩陣的物理意義 電力網絡節點方程式的一般形式為 導納矩陣的逆矩陣直接求解YVI 1YZZIV nnnininnnniniiiiiinniinniiIZIZIZIZVI

26、ZIZIZIZVIZIZIZIZVIZIZIZIZV22112211222221212112121111nnninniniiiininiZZZZZZZZZZZZZZZZ2121222221111211Z 和導納矩陣同階的方陣，在電力網絡節點 i注入單位電流，而使其它節點全部開路 ( 1 ) 阻抗矩陣對角元素 ，自阻抗 ( 2 )非對角元素 ，即i節點 與j節點 間的互阻抗 由于阻抗矩陣是滿矩陣 阻抗矩陣的應用受到一定限制),2, 1(01ijnjIIjiinniiiiiZVZVZVZV22111.4.2 用節點導納矩陣求節點阻抗矩陣 矩陣求逆方法很多，僅對解線性方程組的求逆方法做一補充介紹 解

27、線性方程： 可求出第j列元素 對稱的導納矩陣可以分解 改成 一般只需求阻抗矩陣某些元素的情況下 ，才宜采用這種解網絡節點方程方法。 計算網絡某一對節點的輸入阻抗及 各節點對之間的轉移阻抗jBYZjj0001000jBnj, 2, 1TLDLY jjTBZLDLjjTWZLjjXDW jjBLX 可向i 、 j兩節點分別通入電流： 計算 ， i 、 j節點對的輸入阻抗為： i 、 j 節點對與 k 、 l 節點對 之間轉移阻抗為：11jiIIjiij001010FjiijijVVZlkijklVVZ1.4.3 1.4.3 用支路追加法求阻抗矩陣用支路追加法求阻抗矩陣 支路追加法計算上較直觀，也易

28、實現網絡接線變更對阻抗矩陣的修正，廣泛應用。 可以先用 形成一階矩陣。 追加支路 ，增加了節點，樹支階數加1。10z14z12z25z20z23z13z2143510z12z 追加支路 ，給網絡增加了一個鏈支環路。 追加樹支 ，增加節點3，矩陣變為三階， 追加樹支 ，增加節點4，矩陣變為四階； 追加樹支 ，增加節點5，矩陣變為五階； 追加鏈支 ，不增加節點，矩陣仍為五階。 支路追加順序對阻抗矩陣運算量有很大的影響。 （1） 追加樹支，已形成了m階阻抗矩陣20z13z14z25z23zmmmimmimiiiimimiNZZZZZZZZZZZZZZZZZ2121222221111211 節點i追加

29、樹支 以后，出現了一新的j節點 階數應變為m+1，假設這時的阻抗矩陣為 因此可以斷定： m階矩陣就是未追加支路 時原來阻抗矩陣。 j節點 的電壓顯然等于： 根據阻抗矩陣物理意義可以得到：ijZjjmjmjjjjmmmjimijmjmimiiiimimiNZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ21221121222221111211111121211111,mmiiZZZZZZZZijzmimjiiijijijZZZZZZZZ,22111ijijzVVijiijjzZZ 雖然矩陣增加一階，但新矩陣運算量卻非常小。 (2) 追加鏈支，在節點 i、j之間追加鏈支 設向新網絡注入電流 的

30、列向量為I： 節點電壓的列 向量為V ： 應滿足以 下關系：1122,jijijiiijmmiZZZZZZZZijzN1V2ViVjV1I2IiIjIijIijzmVmImjiIIIII21ImjiVVVVV21VIZVN 流入原網絡 的節點電流應為： 為一個與鏈支和原網絡連接 情況有關的列矩陣： 原網絡的節點方程可知： 令 則知 為一列矩陣： 節點i 、j間的電壓差 可以得到：ijMIAIImijjijiIIIIIII21MAjiM001010AijMNNNIAZIZIZVLMNZAZmjmijjjiijiijijiLZZZZZZZZZZ2211ZijLNZIZVIVATMijijjiIzV

31、VijijijIIzLTMNTMZAIZA 由此式即可解出： 可以得到： 網絡的阻抗矩陣為： 新阻抗矩陣 中各元素的計算公式： 但追加鏈支時必須上式修正原阻抗矩陣的全部元素，運算量很大。IZTLLLijZI1ijijjjiiijLLzZZZzZ2LTMZATMNNTMTL)A(ZZAZIZZ1ZVTLLLLN)(ZTLLLLNNZZ1ZZZmlmkZZZZZLLLlLkklkl, 2 , 1, 2 , 1 不用型等值電路，直接追加變壓器支路方法。 當用它等值電路代替，節點 j開路時，從節點 i看變壓器的 型等值電路也是開路的，節點i 、節點j和地構成的回路的阻抗為： 而節點i和地之間的阻抗為：

32、* 如何求中 新增加的元素。N1jI12imijzKIiK:1)(a12ijijKz1KKzijKzKij12iI1V2ViV1I2IKIijijZK:1jImIjV m)(c)(bNNijijijijzKKzKKKzz112000-1iijKzzKNZ 相當于從i節點 側向原網絡通入電流 K，因此各節點的電壓應為： 節點 的電壓為： 這樣就可以得到： 討論追加變壓器鏈支的情況。網絡注入電流列向量為 I，則注入原網絡的電流列向量應為：mimiiiiiKZVKZVKZVKZV,2211)()(2ijiiijijzZKKzVKVmimjiiijijijKZZKZZKzZKzZ,2211)(2ijiijjzZKZ 總之，用支路追加法求阻抗矩陣的過程，就是不斷追加支路的過程。因此當網絡發生改變，需要增加支路時，可以直接用前面的公式實現阻抗矩陣的修改。ijMIAIImijjijiIIIIKIII21jiKM00100AmjmijjjiijiijijiLZKZZKZZKZZKZZKZ2211ZV