1、§ 16.3 建立數學模型的方法、步驟、特點及分類 學習目標 1. 能表述建立數學模型的方法、步驟；2. 能表述建立數學模型的逼真性、可行性、漸進性、強健性、可轉移性、非預制性、條理性、技藝性和局限性等特點；3. 能表述數學建模的分類；4. 會采用靈活的表述方法建立數學模型；5. 培養建模的想象力和洞察力。一、建立數學模型的方法和步驟般說來建立數學模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法，一類是測試分 析方法機理分析是根據對現實對象特性的認識、分析其因果關系，找出反映內部機理的規律 建立的模型常有明確的物理或現實意義. §16.2 節的示例都屬于機理分析方法。 測試

2、分折將研究對象視為一個 “黑箱”系統，內部機理無法直接尋求，可以測量系統的輸人輸出數據、并以此為 基礎運用統計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個與數據擬合得最好的模 型。這種方法稱為系統辨識 (System Identification) 將這兩種方法結合起來也是常用的建模 方法。即用機理分析建立模型的結構，用系統辨識確定模型的參數可以看出，用上面的哪一類方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的決 定的 如果掌握了機理方面的一定知識， 模型也要求具有反映內部特性的物理意義。 那么應該以 機理分析方法為主當然 , 若需要模型參數的具體數值，還可以用系統辨識或其他統計方

3、法得 到如果對象的內部機理基本上沒掌握，模型也不用于分析內部特性 , 譬如僅用來做輸出預報， 則可以系統辯識方法為主 系統辨識是一門專門學科， 需要一定的控制理論和隨機過程方面的知 識以下所謂建模方法只指機理分析。建模要經過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與實際問題的性質、建模的目的等有關，從 § 16.2 節的幾個例子也可以看出這點下面給出建模的般步驟，如圖16-5 所示圖 16-5 建模步驟示意圖模型準備 首先要了解問題的實際背景， 明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現象、 數據等，盡量弄清對象的特征 , 由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準備工作情況 明才能方法對，

4、這一步一定不能忽視， 碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教， 盡量掌握第 一手資料 .模型假設 根據對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語 言做出假設， 可以說是建模的關鍵一步 一般地說， 一個實際問題不經過簡化假設就很難翻譯成 數學問題， 即使可能， 也很難求解不同的簡化假設會得到不同的模型假設作得不合理或過份 簡單， 會導致模型失敗或部分失敗， 于是應該修改和補充假設；假設作得過分詳細，試圖把復雜 對象的各方面因素都考慮進去， 可能使你很難甚至無法繼續下一步的工作 通常，作假設的依據， 一是出于對問題內在規律的認識， 二是來自對數據或現象的分析， 也可以是二者的

5、綜合 作假設 時既要運用與問題相關的物理、 化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發揮想象力、洞察力 和判斷力， 善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均 勻化經驗在這里也常起重要作用 寫出假設時， 語言要精確， 就象做習題時寫出已知條件那樣模型構成 根據所作的假設分析對象的因果關系， 利用對象的內在規律和適當的數學工具， 構造各個量 （ 常量和變量 ）之間的等式 （ 或不等式 ）關系或其他數學結構 這里除需要一些相關學科 的專門知識外，還常常需要較廣闊的應用數學方面的知識，以開拓思路. 當然不能要求對數學學科門門精通 , 而是要知道這些學科能解決哪一類問題以

6、及大體上怎樣解決相似類比法，即根據 不同對象的某些相似性， 借用已知領域的數學模型， 也是構造模型的一種方法 建模時還應遵循 的一個原則是， 盡量采用簡單的數學工具， 因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少數專家欣賞 .模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近 代的數學方法，特別是計算機技術模型分析 對模型解答進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變量間的依賴關系 或穩定狀況， 有時是根據所得結果給出數學上的預報， 有時則可能要給出數學上的最優決策或控 制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數據的穩定性或靈敏性分析等模型檢

7、驗 把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，并用實際的現象、數據與之比較，檢 驗模型的合理性和適用性 這一步對于建模的成敗是非常重要的， 要以嚴肅認真的態度來對待 當 然，有些模型如核戰爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了 模型檢驗的結果如果不符合或者部 分不符合實際， 問題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模有些模型要經過幾 次反復，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意模型應用 應用的方式自然取決于問題的性質和建模的目的，這方面的內容不是本書討論 的范圍。應當指出，并不是所有建模過程都要經過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分 明建模時不應拘泥于形式上的按部就班，本書的建模實

8、例就采取了靈活的表述方式二、數學模型的特點 我們已經看到建模是利用數學工具解決實際問題的重要手段。數學模型有許多優點，也有 弱點。 建模需要相當豐富的知識、 經驗和各方面的能力，同時應注意掌握分寸下面歸納出數學 模型的若干特點，以期在學習過程中逐步領會模型的逼真性和可行性 一般說來總是希望模型盡可能逼近研究對象， 但是一個非常逼真 的模型在數學上常常是難于處理的， 因而不容易達到通過建模對現實對象進行分析、 預報、 決策 或者控制的目的，即實用上不可行另一方面，越逼真的模型常常越復雜，即使數學上能處理， 這樣的模型應用時所需要的“費用”也相當高，而高“費用”不一定與復雜模型取得的“效益” 相匹

9、配所以建模時往往需要在模型的逼真性與可行性， “費用”與“效益”之間做出折衷和抉 擇模型的漸進性 稍微復雜一些的實際問題的建模通常不可能一次成功，要經過上一節描述 的建模過程的反復迭代， 包括由簡到繁， 也包括刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型在科學發 展過程中隨著人們認識和實踐能力的提高， 各門學科中的數學模型也存在著一個不斷完善或者推 陳出新的過程從 19 世紀力學、熱學、電學等許多學科由牛頓力學的模型主宰，到20世紀愛因斯坦相對論模型的建立，是模型漸進性的明顯例證模型的強健性 模型的結構和參數常常是由對象的信息如觀測數據確定的，而觀測數據是 允許有誤差的 一個好的模型應該具有下述意義的強健

10、性： 當觀測數據 （ 或其他信息 ）有微小改變 時，模型結構和參數只有微小變化，并且一般也應導致模型求解的結果有微小變化模型的可轉移性 模型是現實對象抽象化、 理想化的產物， 它不為對象的所屬領域所獨有， 可以轉移到另外的領域 在生態、 經濟、社會等領域內建模就常常借用物理領域中的模型模型 的這種性質顯示了它的應用的極端廣泛性模型的非預制性 雖然已經發展了許多應用廣泛的模型，但是實際問題是各種各樣、變化 萬千的， 不可能要求把各種模型做成預制品供你在建模時使用。 模型的這種非預制性使得建模本 身常常是事先沒有答案的問題 （Open end problem） 在建立新的模型的過程中甚至會伴隨著新

11、 的數學方法或數學概念的產生模型的條理性 從建模的角度考慮問題可以促使人們對現實對象的分析更全面、更深入、更具條理性， 這樣即使建立的模型由于種種原因尚未達到實用的程度，對問題的研究也是有利的。模型的技藝性 建模的方法與其他一些數學方法如方程解法、規劃解法等是根本不同的， 無法歸納出若干條普遍適用的建模準則和技巧 有入說。 建模目前與其是一門技術、 不如說是一 種藝術是技藝性很強的技巧經驗、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中 起的作用往往比一些具體的數學知識更大模型的局限性 這里有幾方面的含義第一，由數學模型得到的結論雖然具有通用性和精 確性，但是因為模型是現實對象簡化、理想化

12、的產物，所以一旦將模型的結論應用于實際問題， 就回到了現實世界， 那些被忽視、 簡化的因素必須考慮， 于是結論的通用性和精確性只是相對的 和近似的 第二， 由于人們認識能力和科學技術包括數學本身發展水平的限制， 還有不少實際問 題很難得到有著實用價值的數學模型 如一些內部機理復雜、 影響因素眾多、 測量手段不夠完善、 技藝性較強的生產過程， 像生鐵冶煉過程， 需要開發專家系統， 與建立數學模型相結合才能獲得 較滿意的應用效果 專家系統是一種計算機軟件系統， 它總結專家的知識和經驗， 模擬人類的邏 輯思維過程， 建立若干規則和推理途徑， 主要是定性地分析各種實際現象并做出判斷 專家系統 可以看成

13、計算機模擬的新發展 第三，還有些領域中的問題今天尚未發展到用建模方法尋求數量 規律的階段， 如中醫診斷過程， 目前所謂計算機輔助診斷也是屬于總結著名中醫的豐富臨床經驗 的專家系統建模過程是一種創造性思維過程，除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、邏輯思維范 疇的能力之外， 直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用。 當由于各種限制利用已有知識難以對研 究對象做出有效的推理和判斷時，憑借相似、類比、猜測、外推等思維方式及不完整、不連續、 不嚴密的，帶啟發性的直覺和靈感，去“戰略性”地認識對象，是人類創造性思維的特點之一， 也是人腦比按程序邏輯工作的計算機、 機器人的高明之處 歷史上不乏在科學家的直覺和

14、靈感的 火花中誕生的假說、 論證和定律 當然，直覺和靈感不是憑空產生的，它要求人們具有豐富的背 景知識， 對問題進行反復思考和艱苦探索， 對各種思維方法運用嫻熟相互討論和思想交鋒，特 別是不同專業的成員之間的探討， 是激發直覺和靈感的重要因素 所以由各種專門人才組成的所 謂團隊工作方式 （Team work） 越來越受到重視前面說過， 建模可以看成一門藝術 藝術在某種意義下是無法歸納出幾條準則或方法的 名出色的藝術家需要大量的觀摩和前輩的指教， 更需要親身的實踐 類似地， 掌握建模這門藝術 培養想象力和洞察力， 一要大量閱讀、 思考別人做過的模型，二要親自動手，認真做幾個實際題 目三、數學模型

15、的分類數學模型可以按照不同的方式分類，下面介紹常用的幾種1. 按照模型的應用領域 （ 或所屬學科 ） 分 如人口模型、 交通模型、環境模型、生態模型、 城鎮規劃模型、 水資源模型、 再生資源利用模型、污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學 科如生物數學、醫學數學、地質數學、數量經濟學、數學社會學等2. 按照建立模型的數學方法 （ 或所屬數學分支 ） 分如初等數學模型、幾何模型、微分方 程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規劃論模型等按第一種方法分類的數學模型教科書中，著重于某一專門領域中用不同方法建立模型，而 按第二種方法分類的書里， 是用屬于不同領域的現成的數學模型來解釋某種數學技巧的應用 在 本

16、書中我們重點放在如何應用讀者已具備的基本數學知識在各個不同領域中建模3. 按照模型的表現特性又有幾種分法：確定性模型和隨機性模型 有所謂突變性模型和模糊性模型取決于是否考慮隨機因素的影響 近年來隨著數學的發展， 又靜態模型和動態模型 取決于是否考慮時間因素引起的變化線性模型和非線性模型取決于模型的基本關系，如微分方程是否是線性的離散模型和連續模型 指模型中的變量 （主要是時間變量 ） 取為離散還是連續的 雖然從本質上講大多數實際問題是隨機性的、動態的、非線性的，但是由于確定性、靜態、 線性模型容易處理， 并且往往可以作為初步的近似來解決問題， 所以建模時常先考慮確定性、 靜 態、線性模型 連續

17、模型便于利用微積分方法求解，作理論分析，而離散模型便于在計算機上作數值計算， 所以用哪種模型要看具體問題而定 在具體的建模過程中將連續模型離散化， 或將離 散變量視作連續，也是常采用的方法4. 按照建模目的分 有描述模型、分析模型、預報模型、優化模型、決策模型、控制模型 等5. 按照對模型結構的了解程度分 有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型這是把研究 對象比喻成一只箱子里的機關， 要通過建模來揭示它的奧妙 白箱主要包括用力學、熱學、電學 等一些機理相當清楚的學科描述的現象以及相應的工程技術問題， 這方面的模型大多已經基本確 定，還需深入研究的主要是優化設計和控制等問題了灰箱主要指生態、氣象、經

18、濟、交通等領 域中機理尚不十分清楚的現象， 在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做 至于黑 箱則主要指生命科學和社會科學等領域中一些機理 （ 數量關系方面 ）很不清楚的現象 有些工程技 術問題雖然主要基于物理、 化學原理， 但由于因素眾多、 關系復雜和觀測困難等原因也常作為灰 箱或黑箱模型處理當然，白、灰、黑之間并沒有明顯的界限，而且隨著科學技術的發展，箱子 的“顏色”必然是逐漸由暗變亮的習題 16.3為了培養想象力、洞察力和判斷力，考察對象時除了從正面分析外還常常需要從側面或反 面思考試盡可能迅速地回答下面的問題：1、某甲早 8 時從山下旅店出發沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿次日早 8時沿同一路徑下山， 下午 5時回到旅店 某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點 為 什么 ?2、37 支球隊進行冠軍爭奪賽， 每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪， 直至比賽結束。問共需進行多少場比賽 ?3、甲乙兩站之間有電車相通 , 每隔 10分鐘甲乙兩站相互發一趟車 , 但發車時刻不定相同， 甲乙之間有一中間站丙， 某人每天在隨機的時刻到達丙站、 并搭乘最先經過丙站的那趟車， 結果 發現 100天中約有 90 天到達甲站 ,僅約 10天到達乙站問開往甲乙兩站的電車經過丙站的時刻 表是如何安排的