1、幾何畫板輔助高中數學教學的研究    幾何畫板輔助高中數學教學的研究    幾何畫板輔助高中數學教學的研究 幾何畫板一、問題的提出 問題的提出 新大綱明確指出“現代技術的使用將會深刻地影響數學教學內容、方法和目標的改變。” 多媒體計算機的出現、網絡技術的運用、信息時代的來臨，正在給教育帶來深刻的變化。教 育技術的更新更新了教學手段、教學方法，教學模式正在發生變化，勢必引起教學內容、教 育思想、教學理論變革。隨著計算機走進學校、家庭，教育也像經濟一樣，走向“全球一體 化”，教室在“縮小”，但學校在“擴大”。正如比爾蓋

2、茨所說“你的工作場所和你關于教 育的觀念將被改變，也許改變得面目全非。”以多媒體計算機 核心的輔助教學的研究正在日 益興起，“一切有條件和能夠創造條件的學校，都應使計算機及其網絡成為數學課堂教育的 輔助工具”(新大綱)。不要夸大計算機的作用，但是更不能采取抵制態度、忽視計算機在教 學中的作用。 但如何搞好計算機輔助教學工作？這是每一個教師經常思考的，當然計算機輔助教學的 優勢及做法，從理論上講已有許多論文、專著講的頭頭是道，從實踐上看，有許多成功之作， 能讓你五體投地。從這個意義上講計算機輔助教學是一個不成問題的問題。但是從事這項工 作的教師都知道這還是一個大問題。 在如何評價計算機對高中數學

3、教學的輔助作用時，一個不容回避的事實是，計算機對高 中數學的影響并不大，計算機教育與數學教育還是嚴重脫節，絕大多數的數學課依舊是粉筆 加黑板的傳統教學模式。 為什么計算機進入數學課堂的步履如此艱難呢? 原因至少有以下幾個：、沒有充分考 慮到怎樣利用計算機技術才能和數學教學有機的結合起來。、在強調教育技術的同時沒有 充分考慮發揮教師的作用，、沒有找準計算機技術與數學結合的契機。、部分數學教師 掌握計算機的能力較弱。故難以把計算機技術和數學教學完美地結合起來。 計算機輔助數學教學，不能完全照搬其它學科成功經驗。數學學科的自身的特點限制了 不可能在課堂上大量引入影視資料和音樂，不可能一面分析數學問題

4、一面播放著音樂，也不 能來一個從黑板到屏幕的大搬家。事實上數學是集嚴密性、邏輯性、精確性、創造性和想象 力于一身的科學，數學教師在黑板上的作圖、證明、解題的過程本身就是一個不可缺少示范 教學過程，。同時數學是一個相對完備、封閉王國，對數學定義來不得半點拓寬，對定理來 不得半點變動。 因此怎樣將高科技的計算機技術與高中數學教學有機結合在一起，起到促進教育現代化1的進程，一直是一個未徹底解決的問題。 二、用幾何畫板輔助高中數學教學 幾何畫板 1.幾何畫板軟件簡介 幾何畫板 幾何畫板 ，顧名思義是“畫板”，能畫各種歐幾里德幾何圖形；能畫出解析幾何中的所 有二次曲線；也能畫出任意一個初等函數的圖象（給

5、出表達式） 。不僅如此，還能夠對所有畫 出的圖形、圖象進行各種“變換”，如平移、旋轉、縮放、反射等。 幾何畫板還提供了“測 量”、“計算”等功能，能夠對所作出的對象進行度量，如線段的長度、弧長、角度、面積等等， 并把結果動態地顯示在屏幕上。 幾何畫板所作出的幾何圖形是動態的，可以在變動的狀態 下，保持不變的幾何關系，比如，無論您拖動三角形的一個頂點怎么移動，任意一邊上的高 總保持與這邊垂直。 幾何畫板還能對動態的對象進行“跟蹤”，并能顯示該對象的“軌跡”， 如點的軌跡、 線的軌跡， 形成曲線或包絡， 而且這種“跟蹤”可以是人工的也可以是自動的。 幾 幾何畫板 何畫板能把您認為不必要的對象“隱藏

6、”起來，然后又可以根據需要“顯示”出來。 還能把您的畫圖工作制成為“腳本”，減輕您的工作量，如把您畫正方體的過程記錄下來，以 后使用此“腳本”畫正方體，只要兩、三秒鐘。 2、幾何畫板在函數方面的初步應用 、幾何畫板 、幾何畫板 大家知道， 指數函數 y=ax (a>0 且 a1)的圖像，因 a 的取值不同它的圖像產生不同的變化 趨勢。傳統的教法是老師要在黑板上或幻燈片分別作出若干個具體的圖像，最后再“觀察”總 結歸納出指數函數的一般圖像的變化規律和性質。事實上這個所謂的“觀察”是老師告訴學生 如何如何的結果。現在用幾何畫板作出課件指數函數的圖像，上課時讓學生自己動 手拖動兩個控制按鈕 a

7、，就可以實現觀察圖像變化的整個過程，真正由學生自己通過觀察歸 納總結出指數函數圖像在各種情況下的變化趨勢和性質(如圖一)。baa圖一2圖二在使用幾何畫板之前，講授 y = ax +b (a,bR)的圖像時，老師告訴學生當 a,b 分別 x取何值時，該函數的圖像是如何如何變化的，學生完全是靠記憶老師講述的結果“掌握”知識 的。所以，在實際解題應用時，經常因為單調區間不清楚而出錯。使用幾何畫板給學生 演示 y = ax + b 的圖像，使學生真正觀察到了當 a>0 且 b>0、a>0 且 b<0、a<0 且 b>0、 xa<0 且 b<0 時的四類圖

8、像的變化過程，同時還觀察到了每類圖象的漸近線。特別是對于 y = ax + b xc,d的單調區間、最值問題有了一個更形象直觀的認識。每當學生遇到這樣的 x問題時，就可以在大腦里自動生成具有動感的圖像，為理解題意、分析問題、打開了一個方 便之門(如圖二)。 在講授函數 yAsin(x+)+k 的圖像時，要用幾個課時的時間分別對 A、k 的不同 取值做出圖象，然后再“觀察”總結，沒有動態的演示，沒有更多的比較、更多的探索。現 在用幾何畫板展示y=Asin(x+)+k 的圖像，讓學生分別拖動控制按鈕 A、K， 就可以真正觀察到函數圖像生成的變化過程及結果。學生間可以很好的“協作” ，容許學生對 一

9、切想探試的值進行探試，來加深對這一問題的認識。僅用一課時就可以完成教學任務、實 現教學目標(如圖三)。42Ak5-2圖三 3 、幾何畫板在解析幾何教學中的初步應用 、幾何畫板 幾何畫板 用幾何畫板展示直線、圓、圓錐曲線非常方便。用幾何畫板展示曲線關于某點 某線的對稱圖形讓學生一目了然，也可以用幾何畫板展示習題。如，一個定圓 C 半徑為 r，圓 C 上一動點 P 關于定點 A 的對稱點為 Q，將 CP 按逆時針方向繞 C 點旋轉 90 度，得到 圓 C 上另一個點 M，試求 MQ 的最值，以及是否存在 r 使 M、Q 兩點重合的問題。讓學生做 出這個課件，只需拉動點 P 在圓 C 上滑動，或讓

10、P 在 C 上動畫，就可以直觀形象地觀察出 P 在何時 MQ 最大或最小.,再通過拖拉按鈕 r，可以看出確實存在 r 的某一個值，使 M、Q 重合。3這樣以來學生對習題有了一個圖象形成和變化的過程，為利用代數方法的計算提供了一個動 畫思維的基礎(如圖四)。 在課件拋物線的性質中，通過動畫給學生展示了以拋物線過焦點的弦為直徑的圓總 與其準線相切；以焦半徑為直徑的圓總與過頂點且垂直于對稱軸的直線相切的“活圖”。有了 這樣的動畫思維，進而激發學生自己動手用所學的知識證明這一圖象事實的興趣。M Q C AP圖四 4、幾何畫板在立體幾何的初步應用 、幾何畫板 、幾何畫板圖五幾何畫板繪制各種立體圖形非常直

11、觀，可以解決學生從平面圖形向立體圖形、從二 維空間向三維空間過渡的難題。因為它確實能把一個“活”的立體圖形展現在學生的眼前。為 培養學生的空間想象能力開辟了一條捷徑。 幾何畫板對圖形的可控變功能為一圖多用提供了一寬松的環境，可以減少大量的不 必要的重復做圖。如在教授棱柱、棱錐、棱臺時，我制作了課件柱錐臺，上課時只需要 通過控制按鈕改變所需多面體的棱數、觀察視角及柱錐臺的相互轉化、傾斜程度。還可以分 別度量高、面積和體積。通過幾何畫板可以將原來黑板或幻燈片上的“死圖象”變成一 個“活圖象”，真正把學生引入數形的世界。幾何畫板減少了許多不必要的重復勞動， 節省了課堂時間， 提高了上課時間的利用率，

12、 為提高 45 分鐘的授課質量奠定了基礎(如圖六)。S 棱棱 棱棱 棱棱AB圖六C 拉動拉拉棱拉45.運用幾何畫板 突破教學難點 運用幾何畫板 ，突破教學難點 運用 ， 在數學中引入坐標，數和形就統一起來了。有些數量關系借助圖形的性質，可以形象、 直觀地表現出來，同樣一些圖形的性質，借助數量的計算也可以顯示出來。因此每位教師都 非常重視數形結合的教學，上課時盡量地畫好圖形，力求使圖形展現出其變化的趨勢。但是 無論怎么畫，怎么用一個又一個的幻燈片給學生展示，也只能給出一個“死圖”，如若加上教 師生動的語言描述，還可以使部分有圖像想象能力的學生在大腦中產生“活圖”。但對另一部 分學生就達不到預期的

13、目的，也只有靠死記硬背老師所講述的結論來“掌握”知識。使用幾 何畫板，才真正實現了有形有色有聲有變化過程的“活”的圖形的數形結合的教學美夢，下 面以幾何畫板在平面解析幾何中的應用為例說明運用幾何畫板如何突破教學難點。 平面解析幾何教學中，由于受工具、課時或時空等諸多因素的局限，數與形的結合過程 往往不好表現，效果不盡人意。曲線作為動點的運動軌跡只能依靠想象，方程作為變量間的 數量關系也只能依賴示意圖。這種“一本書、一張嘴、粉筆加黑板”的教學模式，不僅教師教 得苦、學生學得累，而且難以發現變化的圖形中，恒定不變的幾何規律。運用“幾何畫板”神 奇的測算本領和絕妙的動態模擬，創設問題情景，激發學生學

14、習興趣，突破用傳統教學手段 不好解決的教學難點，對提高課堂教學的時效大有脾益。 (1)、運用幾何畫板 突出概念的形成過程 、運用幾何畫板 ，突出概念的形成過程 ， 曲線的方程和方程的曲線是解析幾何的重要概念，理解辨析“兩個關系” 是教學的難點，學生不理解規定“曲線上點的坐標都是方程的解”和“以方程的解為坐標的點都 在曲線上”的意義何在，各自起何作用，只從字句上死記硬背，或干脆認為同義反復，隨后面 對充分必要條件、軌跡的純粹性完備性等一系列數學抽象學生更加費解，以至于高三總復習 時，還有相當一部份學生對 90 全國高考題：y 3 設全集I = ( x, y ) | x, y R, M = ( x

15、, y ) | = 1, N = ( x, y ) | y x + 1, 那么 x2 MUN等于( ) (A) (B) (2,3) (C) (2,3) (D) (x,y)|y=x+1無法進行正確選擇。 例 1 證明以坐標原點為圓心，半徑等于 5 的圓的方程是 x2+y2=25，并判斷點 M1(3,4)， M2(2 5 ,2) 是否在這個圓上。 借助“幾何畫板”平臺，通過上例引出兩個關系，直觀表示概念的形成過程。 正面演示： O： 2+y2=25 上任取一點 P， 在 x “測算”坐標值后計算平方和， 顯示 x02+yO2=25，5制作動畫讓點 P 沿O 移動，學生觀察到隨點 P 的運動其坐標值自動更新，但 x02+yO2=25 保 持不變。另一方面，選中兩端點在 x 軸上的O 直徑，在其上任取一點 P，“測算”該點橫坐標 x，計算 ± 25 x 2 作為縱坐標 y，繪制點 M、M/，緩緩拖動點 P，容易發現點 M、M/總在O 上。這樣通過上述的動態模擬，用學生的親身體驗建立起“曲線上的點”與“方程的解”之間的 對應關系，完成對“兩個關系”的意義構建。 構造反例： 方程(1) y = 25 x 2 (2) x4y4+25y2