1、中國海洋大學試題答案學年第 2 學期試題名稱 ：熱力學與統計物理（A）共 2 頁第 1 頁專業年級 :學號姓名授課教師名楊愛玲分數填空題（共 40 分）1 .N 個全同近獨立粒子構成的熱力學系統，如果每個粒子的自由度為 的一 r, 系統的自由度為（ Nr ）。系統的狀態可以用（ 2Nr ）維 r 空間中個代表點表示。2 對于處于平衡態的孤立系統，如果系統所有可能的微觀狀態數Q,則每一微觀狀態出現的概率為（1/? ），系統的熵為為kin ?玻色統計與費米統計的區別在于系統中的粒子是否遵從（泡利不相容原理）原理，其中（費米）系統的分布必須滿足0 <玻色系統和費米系統在滿足（經典極限條件 （或

2、 e a <<1 ）或 e a>>1 ）條件時，可以使用玻爾茲曼統計。dU - 7 a d * _ 二 da ll1給出內能變化的兩個原因，其中（、；|dai ）項描述傳熱， （ a aid ；i ）項描述做功。l|6 . 對粒子數守恒的玻色系統，溫度下降會使粒子的化學勢（升高） ; 如果溫度足夠低，則會發生（玻色一一愛因斯坦凝聚）。這時系統的能量 U0=（ 0）, 壓強 p0=（ 0）, 熵 S0=（ 0）。1 2( Px2 2 2ax bx2m-P Pyz )已知粒子遵從經典玻爾茲曼分布，其能量表達式為，粒子的平均能量為 ( 2kT b2/4a當溫度（很低）或粒子數

3、密度（很大）時，玻色系統與費米系統的量子關聯效應會很強。如果系統的分布函數為P s，系統在量子態s 的能量為Es, 用 p s 和 Es 表示：系統的平均能量為（能量漲落為(d(E s -E) 2 )( 如寫成E2 -(E) 2 也得分 ) 。10 . 與宏觀平衡態對應的是穩定系綜，穩定系綜的分布函數歸一P s 具有特點（ d P s / dt=0 或與時間無關等同樣的意思也得分），同時 P s 也滿足化條件。二. 計算證明題（每題10 分，共 60 分）1 ?假定某種類型分子（設粒子可以分辨）的許可能及為0,3,23,3Q OOO而且都是非簡并的，如果系統含有6個分子，問:, ,（1）與總能

4、量3 3 相聯系的分布是什么樣的分布？分布需要滿足的條件是什么?（2）根據公式 0 aj = -n 蛍引計算每種分布的微觀態數!''ai1|（3）確定各種分布的概率。解：能級：2,2,4,能量值：0,3,23, 33,簡并度：1,1,1,1,分布數：a1,a2 ,a3,a4.分布 $ J 要滿足的條件為：一 ai = N = 6i' a i = E = 3 'i滿足上述條件的分布有：A： aj _ 5,0, 0,1,0, ？B：佝J = I4,1,1, 0, 0,. /C： C - 3,3, 0,0,0 ，？6!1 A1 =6；5!匯 1!各分布對應的微觀態數為

5、 :6 !1二 30;4! 1! 1!6!1二 203!3!R R1C =23456- 30?20 = 56所有分布總的微觀態數為 :PA - 門 A/'J= 6/56 = 0.107;各分布對應的概率為：p B= 30 /56 = 0.536;P C=20 / 56 =0.357;2 ?表面活性物質的分子在液面( 面積為A) 上做二維自由運動,可以看作二維理想氣體，設粒子的質量為m, 總粒子數為N。(1)求單粒子的配分函數Z1；(2)在平衡態，按玻爾茲曼分布率，寫出位置在x 到 x+ dx,y 到 y+ dy 內，動量在px 到px+ dp x,py 到 py+ dp y 內的分子數

6、dN ;(3) 寫出分子按速度的分布；(4) 寫出分子按速率的分布。解: (1) 單粒子的配分函數乙勺 =亠 “対弘入 ) dxdydp xdp y =$ (2 兀 mkT )h、h/ 、s&dxdydp xdPy N 鳥 dxdydp x dP y( 2) dN- 2 = - 2 LhZ1h(3) 將(1) 代入( 2),并對 dxdy 積分，得分子按速度的分布為m 事 2 2dN v = N( - )e(vx - V y )dvx dV y(4) 有 ( 3) 可得分子按速率的分布為 : (1) 溫度為 T 時處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數之比，并說明在2irkT2mv/ m

7、、 "2kT .()e vdv kT3 ?定域系含有N 個近獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能級 1 = 一 0 ,e 2= 0 ，其中 e 0 大于零且為外參量y 的函數。求 :極端高溫和極端低溫時粒子數比的特點;(2 ) 系統的內能和熱容量;(3) 極端高溫和極端低溫時系統的熵。解： ( 1) 單粒子的配分函數為 :八 e" 乂 -"e"二 e " e"lN - 1 e -0e處于基態的粒子數為 :N eN1N打-'-0;Ze e2m vm 詬2 二 N ( - ) e vdv2irkT處于激發態的粒子數為:N2 = N -

8、Z!e溫度為 T 時處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數之為N2 e'0 e_kT:e極端高溫時 :_ N 20 kT, _,.1, 即處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數基本相同;N 1極端低溫時 :0kT ,上癢 0 ,即粒子幾乎全部處于基態。N 1(2) 系統的內能 :： InZ-N ln(e cPcPdU )VN ；熱容量： CV。 2 3kT 2(3) 極端高溫時系統的熵 :極端低溫時系統的熵:S=04 ?對弱簡并的非相對論費米氣體，求 :(1 ) 粒子數分布的零級近似fo 與一級修正項 f i；(2) 證明：與零級近似相比, 粒子數的相對修正量和內能的相對修正量均正比于 e

9、 一。解：費米氣體分布函數為:：(1) f =e-l 一1 +e12 .( 2) D ( ；)d ; = CV ；2d ;e 2 C V ;2d ;coc1f0D( ； ) d ；e = CV h ；U 耳； D( ； )doc ef0 ； D ( ;)d :5 ?金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數密度n,(1) 簡述： T = 0K 時電子氣體分布的特點，并說明此時化學勢p 0 的意義 ;-3；00(2) 證明： T = 0K 時電子的平均能量5 ，簡并壓強Po(3) 近似計算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容之比。T=0K( 1) p 表示 T = 0K 時電子的最能量。電子

10、從=0 的能級開始，先占據低能級，然后占據高能級，遵從泡利不相容原1理。f = 1 ( < po) ； f = 0( >4Id ；041) ； fD ( ；)0；CV；=0d ；2d4；1=? 010f s2 d z5fD0CV ；( ；)d ；2d ；P。1050 T>OK 時：f( 呂 ; f =L ( 戸小； f <1(2 2 2kTT>0K 時，只有在卩附近 kT 量級范圍內的電子可躍遷到高能級，對CV 有貢獻，設這部分電子的數目為N eff , 則 Neff = N 。每一電子對“" 人 =亠亠亠,“ e 33kkT3Nk kT3Nk kT3N

11、k TCV 的貢獻為 3kT/2, 則金屬中自由電子對Cv 的貢獻為 CVe kxN N-()()()22#2#2kTf2TfC e1 T晶格的熱容量為Cv = 3Nk ,_ _ $ 0(T f :10 _10 )CV2Tfhr iU =Uo+ 一處十6. 固體的熱運動可以視為3N 個獨立簡正振動，每個振動具有各自的簡正頻率3i，內能的表達式為：i e1 ，式中的求和遍及所有的振動模式，實際計算時需要知道固體振動的頻譜。( 1 ) 寫出愛因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加以簡單說明；( 2) 用愛因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；( 3 ) 用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T3。N 個分子的振動簡化為 3N 同頻率 ( 3 的簡諧振動，每個振子的能級為1解： ( 1) 愛因斯坦模型：前=5 十丄辰；22德拜模型： N 個分子的振動簡化為 3N 個簡正振動，每個振子的頻率不同，且有上限COD , D(C0)d =Ba.Dng)e 2(2) 愛因斯坦模型 ：Z1=無 00(=e2 - - 爭畐 ;ln1 e社3 N 衣灼 3 N /j?U=dNl nZ =+ 胃郁 12e 阿 7(U加 2e kT5 =( )V =3Nk( )-tf-TT rcTkT(e創-1)高溫時：e*"kT一1止耘i / kT ,e 勵kTt 1, C V t3N k/c、