1、蜜蜂周報(bào)第 10 期 1 / 51蜜 蜂 周 報(bào)第 10 期（2020 年 5 月 18 日-5 月 24 日）蜜蜂周報(bào)第 10 期 2 / 51關(guān)于數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的幾個(gè)關(guān)鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個(gè)問題都將成為一個(gè)范例,用來于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結(jié)，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平。波利亞l 分類恰當(dāng)?shù)貙?duì)題目、對(duì)解法進(jìn)行分類，能讓你的解題經(jīng)驗(yàn)更加有序，更有結(jié)構(gòu)化地在大腦里記憶，便于你解題時(shí)進(jìn)行檢索，確定解題方法。沃茲基碩德蜜蜂周報(bào)第 10 期 5 / 51202

2、0 年第 10 期目錄1.示意圖畫的不對(duì)就做不出來？ .12.五個(gè)條件各有用途以阿基米德折弦定理為背景的一道題.53.三個(gè)就要比一個(gè)難一點(diǎn)指數(shù)不等式的整數(shù)解問題.84.取點(diǎn)的問題2018 高考二卷文科 21 題.115.三次函數(shù)切線平行的兩點(diǎn)有何關(guān)系 .176.臨界狀態(tài)命題柯西不等式取等條件 .197.正四面體、球、圓都齊了 .198.不要隨便放縮條件有點(diǎn)特殊的解三角形.209.含參的不等式組問題.2210.轉(zhuǎn)化有點(diǎn)特別的橢圓定值問題 .2311.四邊形是由三角形構(gòu)成的 .2312.這不是高中的題等邊三角形折疊問題.2613.你可以叫它翅膀模型三棱錐外接球.2714.二面角型的外接球問題 .3

3、115.一個(gè)不太一樣的抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題 .3416.單位向量有什么特殊？對(duì)，它就是特殊！ .3717.三角化簡求值及無字證明 .4118.姑且把這種解法叫“類穿根法”.44蜜蜂周報(bào)1-9 合訂本下載.46附錄.46蜜蜂周報(bào)第 10 期 1 / 511.示意圖畫的不對(duì)就做不出來？這個(gè)題，我一開始是這樣畫示意圖的，搞半天沒出來。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 1 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 2 / 51后來看到其他老師的解法，哦，他們畫的圖竟然和我的不一樣！蜜蜂周報(bào) 第 10 期 2 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 3 / 51最簡單的方法可能是下面這種：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 3 / 51蜜蜂周報(bào)第 1

4、0 期 4 / 51坐標(biāo)法也可以。一個(gè)老師對(duì)確定 E 點(diǎn)位置的解釋。但是我沒有明白的是，對(duì)解題來說，畫示意圖只是開始解題的初始步驟，是在初步理解問題，我們是不可能畫很多功夫去判斷示意圖應(yīng)該怎么畫的，那已經(jīng)進(jìn)入到解題的步驟中了，況且這個(gè)題去解釋 E 的位置也不是那么顯然的？那怎么辦呢？只好靠運(yùn)氣了，我那種畫法，解不出來，是不是就換一種畫法。劉彥永老師指出此題與下面的公式有關(guān)。這個(gè)公式可以由斯特瓦爾特定理推導(dǎo)出來。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 4 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 5 / 512.五個(gè)條件各有用途以阿基米德折弦定理為背景的一道題這個(gè)題條件很多，很奇怪，一看就來者不善，其中那個(gè)條件：AB+BE

5、=CE，讓我一下就想到前一陣遇到的那個(gè)平幾味道很濃的題（在第六期，第七期都連續(xù)收錄），文章名字叫一個(gè)平幾味道很濃的解三角形問題，這個(gè)題：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 5 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 6 / 51但是這兩個(gè)問題，只是那一處條件比較像，其他地方好像都用不上。這怎么和圓發(fā)生聯(lián)系呢？最后，有老師指出，這個(gè)題的背景是“阿基米德折弦定理”，這是一個(gè)我不知道的定理。這樣就明白了，那幾個(gè)看似很奇怪的條件，都是干什么用的，都是為了保證滿足這個(gè)定理的適用條件。后來還是洪老師給出了完整解答。前半部分相當(dāng)于證明了這個(gè)定理的逆定理。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 6 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 7 / 51劉登成

6、老師給出了另一個(gè)解法 。對(duì)四點(diǎn)共圓方法不一樣。適用的方法就和第七期那個(gè)平幾味道很濃的題的解法有關(guān)系了，都是延長 CB，做出一個(gè)等腰三角形來，只不過這次是為了證明共圓。我得承認(rèn)，這個(gè)題用到了很多平面幾何的知識(shí)、思維方式，而我是不擅長平幾的，所以這樣的題做起來就吃力，甚至可以說是“自討苦吃”。我現(xiàn)在做題，基本上過濾的比較少，除非我看不懂條件的，都會(huì)思考一兩下。不過好在身邊有一些比較厲害的老師能解答出來，在這個(gè)過程中自己還是能學(xué)到一些東西的。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 7 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 8 / 513.三個(gè)就要比一個(gè)難一點(diǎn)指數(shù)不等式的整數(shù)解問題本題的標(biāo)答如下。（圖中減號(hào)應(yīng)為等號(hào)）這個(gè)答案

7、，我研究半天，又畫圖的，也搞不明白那個(gè) h(-6),h(-5)是怎么保證 3 個(gè)整數(shù)解的。下面的解法由劉登成老師提供：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 8 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 9 / 51后來看了劉登成老師的解答才明白。我忽略了一個(gè)至關(guān)重要的位置，就是切線。所以才有-5，-6 那個(gè)不等式組。那個(gè)切點(diǎn)是個(gè)非常重要的位置，一下就確定了三個(gè)整數(shù)解是-3，-4，-5.類似題（也可以說是本題的源頭）2015 年 1 卷理科 12 題蜜蜂周報(bào) 第 10 期 9 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 10 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 10 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 11 / 514.取點(diǎn)的問題2018 高考

8、二卷文科 21 題這個(gè)題剛一看到的時(shí)候，我并不知道是 2018 年高考題。這幾年也很少做題主要。后來搜索文獻(xiàn)才知道是高考真題。是那年的二卷文科。但從難度上看，我覺得不亞于那些用指對(duì)數(shù)編制的理科試題，因?yàn)樗灿玫搅恕叭↑c(diǎn)”這個(gè)技術(shù)。首先，葉超杰老師給出了他的解答，并且寫了一個(gè)文筆很贊的對(duì)取點(diǎn)進(jìn)行闡述的文章。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 11 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 12 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 12 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 13 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 13 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 14 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 14 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 15 / 5

9、1接著，苗勇老師給出了一個(gè)很不一樣的解法，看樣子很多人也是第一次看到。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 15 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 16 / 51這個(gè)方法的思路僅限于三次函數(shù)，是把函數(shù)式進(jìn)行了拆分，構(gòu)造了兩個(gè)不等式，而這兩個(gè)不等式方向相同，不等式組是有解的，一切看起來都很完美。證明了點(diǎn)的存在性。當(dāng)然也可以確定。其他解法如下：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 16 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 17 / 51相關(guān)文獻(xiàn)：崔榮軍老師對(duì)這個(gè)題的視頻講解導(dǎo)數(shù)之：找點(diǎn)091c71ff20ab7a01e754e590b005&chksm=fdca7cf6cabdf5e0d83f82f7177502a9f621d

10、48524e0f54faadd3e9eba517468757894c48cdf&mpshare=1&scene=23&srcid=0519f4O85CXDzKX2dbm5xClB&sharer_sharetime=1589845567569&sharer_shareid=6ff02c21ce968fcb00b16b9b779e0887#rd5.三次函數(shù)切線平行的兩點(diǎn)有何關(guān)系題目和洪老師的解答：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 17 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 18 / 51盧軍老師的解答：這個(gè)題的解答思路倒也很自然，結(jié)構(gòu)都在暗示問題的解決和導(dǎo)數(shù)那個(gè)式子有關(guān)系。我

11、覺得這個(gè)題后面還有一些東西應(yīng)該，比如，它的條件很明顯是表示兩個(gè)切線平行的點(diǎn)，那么它們是否有更一般的關(guān)系式？那個(gè)不等式，(x - x )2 af '(x ) f '(x ) 1 2= < ，為什么是1 22這個(gè)樣子的？編題的人怎么想到編這個(gè)不等式的？這個(gè)不等式應(yīng)該有什么意義（比如幾何意義 。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 18 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 19 / 516.臨界狀態(tài)命題柯西不等式取等條件嗯，這個(gè)題明顯就是運(yùn)用柯西不等式取等條件命制的了。7.正四面體、球、圓都齊了蜜蜂周報(bào) 第 10 期 19 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 20 / 518.不要隨便放縮條件有點(diǎn)特殊的

12、解三角形這個(gè)題我做的時(shí)候，一開始就幾乎是下意識(shí)地把第一個(gè)條件用基本不等式放錯(cuò)，得到這樣兩個(gè)條件：這樣兩個(gè)條件放在一起的時(shí)候，我根據(jù)以前的解題經(jīng)驗(yàn)，判斷這個(gè)題是根據(jù)“臨界狀態(tài)”命制的題目，應(yīng)該是構(gòu)造了某種不等式或者方程，在臨界未知取得等號(hào)，就求出了 C 的值，結(jié)果，順著這個(gè)思路往下，卡住了。以下解法均有盧軍老師提供：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 20 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 21 / 51應(yīng)該說上面兩個(gè)解法都比較難想到吧。我也有同感，本題的條件似乎不夠，所以盧老師的解法里增加了一些條件，比如設(shè)邊，設(shè)角。下面的解法由葉超杰老師提供，簡潔，漂亮！條件完美地結(jié)合。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 21 / 51

13、蜜蜂周報(bào)第 10 期 22 / 519.含參的不等式組問題蜜蜂周報(bào) 第 10 期 22 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 23 / 5110.轉(zhuǎn)化有點(diǎn)特別的橢圓定值問題我收錄的圓錐曲線問題比較少，這個(gè)題方法有點(diǎn)特別就收錄了。11.四邊形是由三角形構(gòu)成的標(biāo)題很奇怪，但是，是事實(shí)。解三角形的問題中，有一類是發(fā)生在四邊形中的。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 23 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 24 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 24 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 25 / 51下面的方法來自劉登成老師。我覺得算是通性通法。體現(xiàn)了解三角形問題的應(yīng)該有的思維模式，就是“在三角形中利用正余弦定理”，這個(gè)看似廢話，但

14、本題就是這樣的。只不過對(duì)角的關(guān)系要極為敏感。ABD=-15°，用下面的方法比較快推出：這個(gè)題，我得到的一個(gè)結(jié)論是：想都是問題，做才是答案。動(dòng)腦思考來確定思路是對(duì)的，但有些情況下，很多情況下，尤其對(duì)問題看的不太清楚的時(shí)候，我們需要?jiǎng)庸P寫一下，就是蜜蜂周報(bào) 第 10 期 25 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 26 / 51探索一下，把各種可能的、不可能的（只是你認(rèn)為不可能的）思路與可能性都寫寫，可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。做題，光想是不行的！所以說，解題的時(shí)候，大膽地探索是非常重要的！原地不動(dòng)才最可怕！12.這不是高中的題等邊三角形折疊問題這題應(yīng)該算初中題，作為高中老師來做，思路難免受阻，

15、因?yàn)椴涣?xí)慣啊！解答由劉登成老師提供。劉老師也教初中，附帶贈(zèng)送了幾個(gè)初中折疊問題。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 26 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 27 / 5113.你可以叫它翅膀模型三棱錐外接球這個(gè)題，因其幾何結(jié)構(gòu)特征，有老師稱為“翅膀模型”，很形象！這個(gè)題的簡單理解：當(dāng)兩個(gè)邊長為 r 的等邊三角形互相垂直時(shí)候，體積最大，確定了這個(gè)位置，求半徑就不難了。這樣從直觀上考慮，就變得很簡單了。蜜蜂周報(bào) 第 10 期 27 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 28 / 51（每個(gè)老師畫圖的習(xí)慣不同，這個(gè)圖我看不懂，但也收了）蜜蜂周報(bào) 第 10 期 28 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 29 / 51蜜蜂周報(bào) 第

16、10 期 29 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 30 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 30 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 31 / 5114.二面角型的外接球問題蜜蜂周報(bào) 第 10 期 31 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 32 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 32 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 33 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 33 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 34 / 5115.一個(gè)不太一樣的抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題蜜蜂周報(bào) 第 10 期 34 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 35 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 35 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 36 / 51比較一下，常見的抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題，

17、多是把條件直接拿來構(gòu)造新函數(shù)。這個(gè)題確實(shí)比較難一些，條件被當(dāng)成一個(gè)放縮的工具，對(duì)構(gòu)造得到的新函數(shù)單調(diào)性的判斷更復(fù)雜了一些。比如下面這個(gè)題：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 36 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 37 / 51我們仿照本題的命題手法可以改造成這樣（其他條件我沒進(jìn)行調(diào)整，只是把構(gòu)造這一步進(jìn)行了模仿）：16.單位向量有什么特殊？對(duì)，它就是特殊！蜜蜂周報(bào) 第 10 期 37 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 38 / 51上面這個(gè)解答的文本表達(dá)有點(diǎn)啰嗦，下面的簡潔一點(diǎn)：不過應(yīng)用這個(gè)解法，注意等號(hào)成立的條件：兩個(gè)向量的模的和和的模，等號(hào)成立的條件是兩個(gè)向量同向，即有正的倍數(shù)關(guān)系，則，蜜蜂周報(bào) 第 10

18、期 38 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 39 / 51可以看出，解答充分利用了“單位向量”的特殊性，如果忽略了這個(gè)特殊性，解答也許就會(huì)誤入歧途。變式題蜜蜂周報(bào) 第 10 期 39 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 40 / 51蜜蜂周報(bào) 第 10 期 40 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 41 / 51扣一下標(biāo)題，單位向量有什么特殊的呢？模都為 1。就是因?yàn)檫@個(gè)，所以有：| ma ± nb |=| mb ± na | （我把它叫系數(shù)可換性，這算一個(gè)隱含條件吧）17.三角化簡求值及無字證明題目：題目看起來還是比較友好，切化弦，和差角公式等等都用上，不難解決，算高考范圍內(nèi)：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 41 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 42 / 51比較引人入勝的是下面的圖像證明，或者說無字證明：另外一個(gè)類似問題：先看代數(shù)證明；蜜蜂周報(bào) 第 10 期 42 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 43 / 51再看無字證明：無字證明，這本身是一個(gè)很大的話題，有本書的名字就叫PROOF WITHOUT WORDS,這里再貼一個(gè)三角函數(shù)的無字證明：蜜蜂周報(bào) 第 10 期 43 / 51蜜蜂周報(bào)第 10 期 44 / 51此圖證明的是：18.姑且把這種解法叫“類穿根法”最近遇到了幾個(gè)這種題，形式上看比較