1、蜜蜂周報第 10 期 1 / 51蜜 蜂 周 報第 10 期（2020 年 5 月 18 日-5 月 24 日）蜜蜂周報第 10 期 2 / 51關(guān)于數(shù)學解題學習的幾個關(guān)鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個問題都將成為一個范例,用來于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結(jié)，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。波利亞l 分類恰當?shù)貙︻}目、對解法進行分類，能讓你的解題經(jīng)驗更加有序，更有結(jié)構(gòu)化地在大腦里記憶，便于你解題時進行檢索，確定解題方法。沃茲基碩德蜜蜂周報第 10 期 5 / 51202

2、0 年第 10 期目錄1.示意圖畫的不對就做不出來？ .12.五個條件各有用途以阿基米德折弦定理為背景的一道題.53.三個就要比一個難一點指數(shù)不等式的整數(shù)解問題.84.取點的問題2018 高考二卷文科 21 題.115.三次函數(shù)切線平行的兩點有何關(guān)系 .176.臨界狀態(tài)命題柯西不等式取等條件 .197.正四面體、球、圓都齊了 .198.不要隨便放縮條件有點特殊的解三角形.209.含參的不等式組問題.2210.轉(zhuǎn)化有點特別的橢圓定值問題 .2311.四邊形是由三角形構(gòu)成的 .2312.這不是高中的題等邊三角形折疊問題.2613.你可以叫它翅膀模型三棱錐外接球.2714.二面角型的外接球問題 .3

3、115.一個不太一樣的抽象函數(shù)導數(shù)問題 .3416.單位向量有什么特殊？對，它就是特殊！ .3717.三角化簡求值及無字證明 .4118.姑且把這種解法叫“類穿根法”.44蜜蜂周報1-9 合訂本下載.46附錄.46蜜蜂周報第 10 期 1 / 511.示意圖畫的不對就做不出來？這個題，我一開始是這樣畫示意圖的，搞半天沒出來。蜜蜂周報 第 10 期 1 / 51蜜蜂周報第 10 期 2 / 51后來看到其他老師的解法，哦，他們畫的圖竟然和我的不一樣！蜜蜂周報 第 10 期 2 / 51蜜蜂周報第 10 期 3 / 51最簡單的方法可能是下面這種：蜜蜂周報 第 10 期 3 / 51蜜蜂周報第 1

4、0 期 4 / 51坐標法也可以。一個老師對確定 E 點位置的解釋。但是我沒有明白的是，對解題來說，畫示意圖只是開始解題的初始步驟，是在初步理解問題，我們是不可能畫很多功夫去判斷示意圖應該怎么畫的，那已經(jīng)進入到解題的步驟中了，況且這個題去解釋 E 的位置也不是那么顯然的？那怎么辦呢？只好靠運氣了，我那種畫法，解不出來，是不是就換一種畫法。劉彥永老師指出此題與下面的公式有關(guān)。這個公式可以由斯特瓦爾特定理推導出來。蜜蜂周報 第 10 期 4 / 51蜜蜂周報第 10 期 5 / 512.五個條件各有用途以阿基米德折弦定理為背景的一道題這個題條件很多，很奇怪，一看就來者不善，其中那個條件：AB+BE

5、=CE，讓我一下就想到前一陣遇到的那個平幾味道很濃的題（在第六期，第七期都連續(xù)收錄），文章名字叫一個平幾味道很濃的解三角形問題，這個題：蜜蜂周報 第 10 期 5 / 51蜜蜂周報第 10 期 6 / 51但是這兩個問題，只是那一處條件比較像，其他地方好像都用不上。這怎么和圓發(fā)生聯(lián)系呢？最后，有老師指出，這個題的背景是“阿基米德折弦定理”，這是一個我不知道的定理。這樣就明白了，那幾個看似很奇怪的條件，都是干什么用的，都是為了保證滿足這個定理的適用條件。后來還是洪老師給出了完整解答。前半部分相當于證明了這個定理的逆定理。蜜蜂周報 第 10 期 6 / 51蜜蜂周報第 10 期 7 / 51劉登成

6、老師給出了另一個解法 。對四點共圓方法不一樣。適用的方法就和第七期那個平幾味道很濃的題的解法有關(guān)系了，都是延長 CB，做出一個等腰三角形來，只不過這次是為了證明共圓。我得承認，這個題用到了很多平面幾何的知識、思維方式，而我是不擅長平幾的，所以這樣的題做起來就吃力，甚至可以說是“自討苦吃”。我現(xiàn)在做題，基本上過濾的比較少，除非我看不懂條件的，都會思考一兩下。不過好在身邊有一些比較厲害的老師能解答出來，在這個過程中自己還是能學到一些東西的。蜜蜂周報 第 10 期 7 / 51蜜蜂周報第 10 期 8 / 513.三個就要比一個難一點指數(shù)不等式的整數(shù)解問題本題的標答如下。（圖中減號應為等號）這個答案

7、，我研究半天，又畫圖的，也搞不明白那個 h(-6),h(-5)是怎么保證 3 個整數(shù)解的。下面的解法由劉登成老師提供：蜜蜂周報 第 10 期 8 / 51蜜蜂周報第 10 期 9 / 51后來看了劉登成老師的解答才明白。我忽略了一個至關(guān)重要的位置，就是切線。所以才有-5，-6 那個不等式組。那個切點是個非常重要的位置，一下就確定了三個整數(shù)解是-3，-4，-5.類似題（也可以說是本題的源頭）2015 年 1 卷理科 12 題蜜蜂周報 第 10 期 9 / 51蜜蜂周報第 10 期 10 / 51蜜蜂周報 第 10 期 10 / 51蜜蜂周報第 10 期 11 / 514.取點的問題2018 高考

8、二卷文科 21 題這個題剛一看到的時候，我并不知道是 2018 年高考題。這幾年也很少做題主要。后來搜索文獻才知道是高考真題。是那年的二卷文科。但從難度上看，我覺得不亞于那些用指對數(shù)編制的理科試題，因為它也用到了“取點”這個技術(shù)。首先，葉超杰老師給出了他的解答，并且寫了一個文筆很贊的對取點進行闡述的文章。蜜蜂周報 第 10 期 11 / 51蜜蜂周報第 10 期 12 / 51蜜蜂周報 第 10 期 12 / 51蜜蜂周報第 10 期 13 / 51蜜蜂周報 第 10 期 13 / 51蜜蜂周報第 10 期 14 / 51蜜蜂周報 第 10 期 14 / 51蜜蜂周報第 10 期 15 / 5

9、1接著，苗勇老師給出了一個很不一樣的解法，看樣子很多人也是第一次看到。蜜蜂周報 第 10 期 15 / 51蜜蜂周報第 10 期 16 / 51這個方法的思路僅限于三次函數(shù)，是把函數(shù)式進行了拆分，構(gòu)造了兩個不等式，而這兩個不等式方向相同，不等式組是有解的，一切看起來都很完美。證明了點的存在性。當然也可以確定。其他解法如下：蜜蜂周報 第 10 期 16 / 51蜜蜂周報第 10 期 17 / 51相關(guān)文獻：崔榮軍老師對這個題的視頻講解導數(shù)之：找點091c71ff20ab7a01e754e590b005&chksm=fdca7cf6cabdf5e0d83f82f7177502a9f621d

10、48524e0f54faadd3e9eba517468757894c48cdf&mpshare=1&scene=23&srcid=0519f4O85CXDzKX2dbm5xClB&sharer_sharetime=1589845567569&sharer_shareid=6ff02c21ce968fcb00b16b9b779e0887#rd5.三次函數(shù)切線平行的兩點有何關(guān)系題目和洪老師的解答：蜜蜂周報 第 10 期 17 / 51蜜蜂周報第 10 期 18 / 51盧軍老師的解答：這個題的解答思路倒也很自然，結(jié)構(gòu)都在暗示問題的解決和導數(shù)那個式子有關(guān)系。我

11、覺得這個題后面還有一些東西應該，比如，它的條件很明顯是表示兩個切線平行的點，那么它們是否有更一般的關(guān)系式？那個不等式，(x - x )2 af '(x ) f '(x ) 1 2= < ，為什么是1 22這個樣子的？編題的人怎么想到編這個不等式的？這個不等式應該有什么意義（比如幾何意義 。蜜蜂周報 第 10 期 18 / 51蜜蜂周報第 10 期 19 / 516.臨界狀態(tài)命題柯西不等式取等條件嗯，這個題明顯就是運用柯西不等式取等條件命制的了。7.正四面體、球、圓都齊了蜜蜂周報 第 10 期 19 / 51蜜蜂周報第 10 期 20 / 518.不要隨便放縮條件有點特殊的

12、解三角形這個題我做的時候，一開始就幾乎是下意識地把第一個條件用基本不等式放錯，得到這樣兩個條件：這樣兩個條件放在一起的時候，我根據(jù)以前的解題經(jīng)驗，判斷這個題是根據(jù)“臨界狀態(tài)”命制的題目，應該是構(gòu)造了某種不等式或者方程，在臨界未知取得等號，就求出了 C 的值，結(jié)果，順著這個思路往下，卡住了。以下解法均有盧軍老師提供：蜜蜂周報 第 10 期 20 / 51蜜蜂周報第 10 期 21 / 51應該說上面兩個解法都比較難想到吧。我也有同感，本題的條件似乎不夠，所以盧老師的解法里增加了一些條件，比如設(shè)邊，設(shè)角。下面的解法由葉超杰老師提供，簡潔，漂亮！條件完美地結(jié)合。蜜蜂周報 第 10 期 21 / 51

13、蜜蜂周報第 10 期 22 / 519.含參的不等式組問題蜜蜂周報 第 10 期 22 / 51蜜蜂周報第 10 期 23 / 5110.轉(zhuǎn)化有點特別的橢圓定值問題我收錄的圓錐曲線問題比較少，這個題方法有點特別就收錄了。11.四邊形是由三角形構(gòu)成的標題很奇怪，但是，是事實。解三角形的問題中，有一類是發(fā)生在四邊形中的。蜜蜂周報 第 10 期 23 / 51蜜蜂周報第 10 期 24 / 51蜜蜂周報 第 10 期 24 / 51蜜蜂周報第 10 期 25 / 51下面的方法來自劉登成老師。我覺得算是通性通法。體現(xiàn)了解三角形問題的應該有的思維模式，就是“在三角形中利用正余弦定理”，這個看似廢話，但

14、本題就是這樣的。只不過對角的關(guān)系要極為敏感。ABD=-15°，用下面的方法比較快推出：這個題，我得到的一個結(jié)論是：想都是問題，做才是答案。動腦思考來確定思路是對的，但有些情況下，很多情況下，尤其對問題看的不太清楚的時候，我們需要動筆寫一下，就是蜜蜂周報 第 10 期 25 / 51蜜蜂周報第 10 期 26 / 51探索一下，把各種可能的、不可能的（只是你認為不可能的）思路與可能性都寫寫，可能就會發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。做題，光想是不行的！所以說，解題的時候，大膽地探索是非常重要的！原地不動才最可怕！12.這不是高中的題等邊三角形折疊問題這題應該算初中題，作為高中老師來做，思路難免受阻，

15、因為不習慣啊！解答由劉登成老師提供。劉老師也教初中，附帶贈送了幾個初中折疊問題。蜜蜂周報 第 10 期 26 / 51蜜蜂周報第 10 期 27 / 5113.你可以叫它翅膀模型三棱錐外接球這個題，因其幾何結(jié)構(gòu)特征，有老師稱為“翅膀模型”，很形象！這個題的簡單理解：當兩個邊長為 r 的等邊三角形互相垂直時候，體積最大，確定了這個位置，求半徑就不難了。這樣從直觀上考慮，就變得很簡單了。蜜蜂周報 第 10 期 27 / 51蜜蜂周報第 10 期 28 / 51（每個老師畫圖的習慣不同，這個圖我看不懂，但也收了）蜜蜂周報 第 10 期 28 / 51蜜蜂周報第 10 期 29 / 51蜜蜂周報 第

16、10 期 29 / 51蜜蜂周報第 10 期 30 / 51蜜蜂周報 第 10 期 30 / 51蜜蜂周報第 10 期 31 / 5114.二面角型的外接球問題蜜蜂周報 第 10 期 31 / 51蜜蜂周報第 10 期 32 / 51蜜蜂周報 第 10 期 32 / 51蜜蜂周報第 10 期 33 / 51蜜蜂周報 第 10 期 33 / 51蜜蜂周報第 10 期 34 / 5115.一個不太一樣的抽象函數(shù)導數(shù)問題蜜蜂周報 第 10 期 34 / 51蜜蜂周報第 10 期 35 / 51蜜蜂周報 第 10 期 35 / 51蜜蜂周報第 10 期 36 / 51比較一下，常見的抽象函數(shù)導數(shù)問題，

17、多是把條件直接拿來構(gòu)造新函數(shù)。這個題確實比較難一些，條件被當成一個放縮的工具，對構(gòu)造得到的新函數(shù)單調(diào)性的判斷更復雜了一些。比如下面這個題：蜜蜂周報 第 10 期 36 / 51蜜蜂周報第 10 期 37 / 51我們仿照本題的命題手法可以改造成這樣（其他條件我沒進行調(diào)整，只是把構(gòu)造這一步進行了模仿）：16.單位向量有什么特殊？對，它就是特殊！蜜蜂周報 第 10 期 37 / 51蜜蜂周報第 10 期 38 / 51上面這個解答的文本表達有點啰嗦，下面的簡潔一點：不過應用這個解法，注意等號成立的條件：兩個向量的模的和和的模，等號成立的條件是兩個向量同向，即有正的倍數(shù)關(guān)系，則，蜜蜂周報 第 10

18、期 38 / 51蜜蜂周報第 10 期 39 / 51可以看出，解答充分利用了“單位向量”的特殊性，如果忽略了這個特殊性，解答也許就會誤入歧途。變式題蜜蜂周報 第 10 期 39 / 51蜜蜂周報第 10 期 40 / 51蜜蜂周報 第 10 期 40 / 51蜜蜂周報第 10 期 41 / 51扣一下標題，單位向量有什么特殊的呢？模都為 1。就是因為這個，所以有：| ma ± nb |=| mb ± na | （我把它叫系數(shù)可換性，這算一個隱含條件吧）17.三角化簡求值及無字證明題目：題目看起來還是比較友好，切化弦，和差角公式等等都用上，不難解決，算高考范圍內(nèi)：蜜蜂周報 第 10 期 41 / 51蜜蜂周報第 10 期 42 / 51比較引人入勝的是下面的圖像證明，或者說無字證明：另外一個類似問題：先看代數(shù)證明；蜜蜂周報 第 10 期 42 / 51蜜蜂周報第 10 期 43 / 51再看無字證明：無字證明，這本身是一個很大的話題，有本書的名字就叫PROOF WITHOUT WORDS,這里再貼一個三角函數(shù)的無字證明：蜜蜂周報 第 10 期 43 / 51蜜蜂周報第 10 期 44 / 51此圖證明的是：18.姑且把這種解法叫“類穿根法”最近遇到了幾個這種題，形式上看比較