1、第二章(第五,六節)第五節 連續型隨機變量及其概率密度函數隨機變量,簡記為,分布函數.定義4 設隨機變量的分布函數為,如果存在一個定義在上非負可積函數，使得對任何實數，恒有,則稱為連續型隨機變量,稱函數為隨機變量的概率密度函數(或分布密度函數),簡稱概率密度.概率密度函數的性質：由定義可以知道，概率密度函數具有下列基本性質：（1），對一切；（2） 。 反之，可以證明,任何一個具有性上述性質(1)和(2)的實直線上的可積函數，可以成為某個連續型隨機變量的概率密度函數.連續型隨機變量取區間值概率的計算.定理 設為連續型隨機變量, 分布函數為,概率密度為,則有(1)是連續函數;(2);(3)或,或,

2、或,或,或; (4)若在點連續，則在點可導,且; 如果是分段連續函數,只有有限個不連續點,則(除去有限個不連續點,在這些點上可任意給的值).例1 設隨機變量的分布函數為 ,求隨機變量的概率密度.解 由,得 .例2設隨機變量的概率密度為 ,求(1);(2) 的分布函數 . 解(1) ;(2) ,當時,;當時, ;當時, ,當時，于是，的分布函數為 . 第六節 常用的連續型隨機變量分布具有代表性的連續型隨機變量分布有以下幾種:一、 均勻分布稱為區間（a，b）上均勻分布的隨機變量，如果它是連續型隨機變量，具有概率密度函數：記作, 它的分布函數為 .例1 設隨機變量，試求方程 有實根的概率.解 的概率

3、密度為 ,方程 有實根 , .二、指數分布若隨機變量的概率密度為 ,(其中為常數)則稱服從參數為的指數分布.它的分布函數為 . 服從指數分布的實際例子:指數分布在實際中有重要應用,它可以作為各種“壽命”的近似分布.例如,無線電元件的壽命;動物的壽命;電話的通話時間;隨機服務系統中的服務時間等都可以近似地用指數分布來描述.它在可靠性理論與工程中占有特別重要的地位. 例2 設某電子元件的壽命(以小時計)服從參數的指數分布.試求該元件至少能使用1000小時的概率.解 根據題意,的概率密度為 ,記該元件至少能使用1000小時,則 .例題：設某人打一次電話所用的時間服從參數為1/10（單位：分）的指數分

4、布，當你走近電話室需要打電話，某人恰好在你面前開始打電話。求以下幾個事件的概率： （1）你需要等待10分鐘以上；（2）你需要等待1020分鐘； 解： 用表示某人的通話時間，也就是你的等待時間，則的分布密度 ,所以要求的概率分別為:(1) ;(2) .三、威布爾(Weibull)分布 若隨機變量的概率密度為 ,其中均為正常數,則稱服從參數為的威布爾分布,記作.稱為尺度參數(又叫量綱參數或特征壽命),稱為形狀參數.不難看出,當時, 威布爾分布即為指數分布.大量的經驗表明,許多產品的壽命,如滾動軸承的疲勞壽命,電子元器件的壽命等都服從威布爾分布.它在可靠性問題中有廣泛的應用. 四、分布 若隨機變量的概率密度為 ,其中均為常數,則稱服從參數為的分布,記作. 分布在水文統計、最大風速或最大風壓的概率計算中經常要用到.概率論中不少常見的重要分布只是分布的特殊情形.當時, 分布即是參數為的指數分布;當時, 分布則是統計學中十分重要的分布,其概率密度為 .函數的定義為