1、平均數（一）把幾個不相等的數，在總數不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等，求得的相等的數就是平均數。如何靈活運用平均數的數量關系解答一些稍復雜的問題呢？下面的數量關系必須牢記：平均數=總數量÷總份數 總數量=平均數×總份數 總份數=總數量×平均數例1 有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37×2=74（個）1箱蘋果比1箱桃多多少個：42×336×3=18（個）1箱蘋果有多少個：（7418）÷2=46（個）練 習 一

2、1，一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？2，甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？3，甲、乙、丙三個小組的同學去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、丙兩組平均每組植樹17棵，乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？例2 一次數學測驗，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？分析：女生每人比全班平均分高9291.2=0.8（分），而男生

3、每人比全班平均分低91.290.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），應補給每個男生0.7分，16.8里包含有24個0.7，即全班有24個男生。練 習 二1，兩組學生進行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？2，有兩塊棉田，平均每畝產量是92.5千克，已知一塊地是5畝，平均每畝產量是101.5千克；另一塊田平均每畝產量是85千克。這塊田是多少畝？3，把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平均每千克8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？4、果品店把2千克酥糖，3千克水

4、果糖，5千克奶糖混合成什錦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.問：什錦糖每千克多少元？例3 某3個數的平均數是2，如果把其中一個數改為4，平均數就變成了3。被改的數原來是多少？分析：原來三個數的和是2×3=6，后來三個數的和是3×3=9，9比6多出了3，是因為把那個數改成了4。因此，原來的數應該是43=1。練 習 三1，已知九個數的平均數是72，去掉一個數之后，余下的數的平均數是78。去掉的數是多少？2，有五個數，平均數是9。如果把其中的一個數改為1，那么這五個數的平均數為8。這個改動的數原來是多少？3，甲、乙、丙、丁四位同學，在一次

5、考試中四人的平均分是90分?？墒牵自诔謹禃r，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分？4、中關村三小有15名同學參加跳繩比賽，他們每分鐘跳繩的個數分別為93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每個人平均每分鐘跳繩多少個？例4 五一班同學數學考試平均成績91.5分，事后復查發現計算成績時將一位同學的98分誤作89分計算了。經重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學？分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.791.5=0.2（分）。9里面包含有幾個0.2

6、，五一班就有幾名同學。練 習 四1，五（1）班有40人，期中數學考試，有2名同學去參加體育比賽而缺考，全班平均分為92分。缺考的兩位同學補考均為100分，這次五（1）班同學期中考試的平均分是多少分？2，某班的一次測驗，平均成績是91.3分。復查時發現把張靜的89分誤看作97分計算，經重新計算，該班平均成績是91.1分。問全班有多少同學？3，五個數的平均數是18，把其中一個數改為6后，這五個數的平均數是16。這個改動的數原來是多少？4、已知八個連續奇數的和是144，求這八個連續奇數。例5 把五個數從小到大排列，其平均數是38。前三個數的平均數是27，后三個數的平均數是48。中間一個數是多少？分析

7、：先求出五個數的和：38×5=190，再求出前三個數的和：27×3=81，后三個數的和：48×3=144。用前三個數的和加上后三個數的和，這樣，中間的那個數就算了兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個數。練 習 五1，甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？2，十名參賽者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？3，下圖中的內有五個數A、B、C、D、E，內的數表示與它相連的所有中的平均數。求C是多少？ 4、蔡琛在期末考

8、試中，政治、語文、數學、英語、生物五科的平均分是 89分.政治、數學兩科的平均分是91.5分.語文、英語兩科的平均分是84分.政治、英語兩科的平均分是86分，而且英語比語文多10分.問蔡琛這次考試的各科成績應是多少分？綜合練習1.某次數學考試，甲乙的成績和是184分，乙丙的成績和是187分，丙丁的成績和是188分，甲比丁多1分，問甲、乙、丙、丁各多少分？2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均數。3.縫紉機廠第一季度平均每月生產縫紉機750臺，第二季度生產的是第一季度生產的2倍多66臺，下半年平均月生產1200臺，求這個廠一年的平均月產量。4.甲種糖每千克8.8元，乙種糖每

9、千克7.2元，用甲種糖5千克和多少乙種糖混合，才能使每千克糖的價錢為8.2元？5.7個連續偶數的和是1988，求這7個連續偶數。6.6個學生的年齡正好是連續自然數，他們的年齡和與小明爸爸的年齡相同，7個人年齡一共是126歲，求這6個學生各幾歲？7.食堂買來5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到十種不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.問這五只羊各重多少千克？ 長方形、正方形的周長同學們都知道，長方形的周長=（長寬）×2，正方形的周長=邊長×4。長方形、正方形的周長公式只能用來計算標準的長方形和正方形的周長。如何應用所學知識巧求表面上

10、看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學們靈活應用已學知識，掌握轉化的思考方法，把復雜的問題轉化為標準的圖形，以便計算它們的周長。例1 有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。思路與導航 根據題意，我們可以把每個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、下平移（如圖b），轉化成一個大正方形，這個大正方形的周長和原來5個小正方形重疊后的圖形的周長相等。因此，所求周長是18×4=72厘米。練習一1，下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。2，下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。3，有6

11、塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形的周長。例2 一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積為192平方厘米?，F在這塊木板的周長是多少厘米？思路導航 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊（如圖），其中AB的面積是1924×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一個寬4厘米的長方形，而此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。176÷4=44（厘米），現在這塊木板的周長是44×2=88（厘米）。練習二1，有一個長方形，如果長減少4米，寬減少2米，面積就比原來減少44平方米，且剩下部分正好是一個正方形。求這

12、個正方形的周長。2，有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米，如果按下圖疊放在一起，這個圖形的周長是多少？ 3，有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩下的部分仍是長方形，且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？ 例3 已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？思路導航 從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是（ab）×2，三條豎著的線段和是b×2。所以，整個圖形的周長是（ab）×2b×2，即2a4b。練習三1， 有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角

13、上各剪去一個同樣大小的正方形后準備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。2， 一個長12厘米，寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖所示長方形，求所拼長方形的周長。 3，求下面圖形的周長（單位：厘米）。 例4 下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。思路導航 我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左邊，其和正好是4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，陰影部分的周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的。練習四1， 求下面圖形的周長（單位：厘米）。 4.5 5.82，在（ ）里填上“”、“”或“=”。 甲的周長（ ）乙的周長2， 下圖中的每一小段的

14、長度都相等，求圖形的周長。 例5 如下圖，陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的長方形的周長。分析 根據題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊長。因為BC=EF，CF=DE，所以，ABBCCF=ABFEED=96=15（厘米），這正好是最大長方形周長的一半。因此，最大長方形的周長是（96）×2=30（厘米）。練習五1，下面三個正方形的面積相等，剪去陰影部分的面積也相等，求原來正方形的周長發生了什么變化？（單位：厘米）2，下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長35厘米，高30厘米。這個零件的周長是多少厘米？3，有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，如

15、下圖重疊著，求重疊圖形的周長。長方形、正方形的面積長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長。掌握并能運用這兩個面積公式，就能計算它們的面積。但是，在平時的學習過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關概念，利用“割補”、“平移”、“旋轉”等方法，使復雜的問題轉化為普通的求長方形、正方形面積的問題，從而正確解答。例1 已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？ 分析 從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平

16、方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就非常簡單了。練 習 一1，有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，求小路的面積。 2，正方形的一組對邊增加30厘米，另一組對邊減少18厘米，結果得到一個與原正方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？3，把一個長方形的長增加5分米，寬增加8分米后，得到一個面積比原長方形多181平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？例2 一個大長方形被兩

17、條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。 分析 因為AE×CE=6，DE×EB=35，把兩個式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。練 習 二1，右圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求陰影部分的面積。 2、右邊一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的面積。.右圖中陰

18、影部分是邊長5厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是8厘米，求整個圖形的面積。例3 把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個正方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？分析 我們可以把小正方形移至大正方形里面進行分析。兩個正方形的面積差40平方分米就是圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正方形的上面，不難看出，A和B正好組成一個長方形，此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬是40÷20=2（分米），即大、小兩個正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊長就是（20+2）÷2=11（分米），面積是11×11=12

19、1（平方分米）練 習 三1，一塊正方形，一邊劃出1.5米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來減少了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？3， 一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？3，有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是80平方米。求草坪的面積。 例4 有一個正方形ABCD如下圖，請把這個正方形的面積增加1倍，并畫出來。分析 由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦法計算出所畫正方形的邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關系進行分析。以正方形的四條邊為準，分別作出4個等腰直角三角形，

20、如圖中虛線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍。練 習 四1，四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，如果大、小正方形的面積分別是49平方米和4平方米，求其中一個長方形的寬。2，正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且28條邊的長都相等。如果此圖的周長是56厘米，那么，這個圖形的面積是多少？3，正圖中，正方形ABCD的邊長4厘米，求長方形EFGD的面積。例5 有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形拼成的。一個正方形的面積是多少平方厘米？ 分析 三個同樣大小的正方形拼成的長方形，它的周長是原正方形邊長的8倍，正方形的邊長為72÷8=9（

21、厘米），一個正方形的面積就是9×9=81（平方厘米）。練 習 五1，五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是36厘米，求每個正方形的面積是多少平方厘米？2、 有一張長方形紙，長12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形后，剩下部分的周長是多少厘米？3，有一個小長方形，它和一個正方形拼成了一個大長方形ABCD（如下圖），已知大長方形的面積是35平方厘米，且周長比原來小長方形的周長多10厘米。求原來小長方形的面積。第5周 分類數圖形我們在數數的時候，遵循不重復、不遺漏的原則，不能使數出的結果準確。但是在數圖形的個數的時候，往往就不容易了。分類數圖形的方法能夠幫助我

22、們找到圖形的規律，從而有秩序、有條理并且正確地數出圖形的個數。例題1 下面圖形中有多少個正方形？分析：圖中的正方形的個數可以分類數，如由一個小正方形組成的有6×3=18個，2×2的正方形有5×2=10個，3×3的正方形有4×1=4個。因此圖中共有18104=32個正方形。練習一1，下圖中共有多少個正方形？ 2，下圖中共有多少個正方形？ 3，下圖中共有多少個正方形，多少個三角形？例題2 下圖中共有多少個三角形？分析 為了保證不漏數又不重復，我們可以分類來數三角形，然后再把數出的各類三角形的個數相加。（1）圖中共有6個小三角形；（2）由兩個小三角形

23、組合的三角形有3個；（3）由三個小三角形組合的三角形有4個；（4）由六個小三角形組合的三角形有1個。所以共有6341=14個三角形。練習二1，下面圖中共有多少個三角形？ 2，數一數，圖中共有多少個三角形？ 3，數一數，圖中共有多少個三角形。例題3 數出下圖中所有三角形的個數。分析 和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABE一樣形的三角形有5個；和三角形AMD一樣形狀的三角形有5個，共35個三角形。練習三數出下面圖形中分別有多少個三角形。例題4 如下圖，平面上有12個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這樣

24、的正方形有多少個？ 分析 把相鄰的兩點連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出：（1）最小的正方形有6個；（2）由4個小正方形組合而成的正方形有2個；（3）中間還可圍成2個正方形。所以共有622=10個。練習四1，下圖中共有8個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？2，下圖中共有6個點，連接其中的三點圍成一個三角形，一共能圍成多少個三角形？3，下圖中共有9個點，連接其中的四個點圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？例題5 數一數，下圖中共有多少個三角形？分析 我們可以分類來數：1，單一的小三角形有16個；2，兩個小三角形組合的有10個；3，四個小三角形組合的有8個；4，八個小三

25、角形組合的有2個。所以，圖中一共有161082=36個三角形。練習五1，圖中共有（ ）個三角形。2，圖中共有（ ）個三角形。3，圖中共有（ ）個正方形。尾數和余數專題簡析：自然數末位的數字稱為自然數的尾數；除法中，被除數減去商與除數積的差叫做余數。尾數和余數在運算時是有規律可尋的，利用這種規律能解決一些看起來無從下手的問題。例題1 寫出除213后余3的全部兩位數。分析 因為213=2103，把210分解質因數：210=2×3×5×7，所以，符號題目要求的兩位數有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5

26、15;7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7個兩位數。練習一1， 寫出除109后余4的全部兩位數。2，178除以一個兩位數后余數是3，適合條件的兩位數有哪些？2， 寫出除1290后余3的全部三位數。例題2 （1）125×125×125××125100個25積的尾數是幾？（2）（21×26）×（21×26）××（21×26）100個（21×26）積的尾數是幾？分析 （1）因為個位5乘5，積的個位仍然是5，所以不管多少個125相乘，個

27、位還是5；（2）每個括號里21乘26積的個位是6，我們只要分析100個6相乘，積的尾數是幾就行了。因為個位6乘6，積的個位仍然是6，所以不管多少個（21×26）連乘，積的個位還是6。練習二1，21×21×21××2150個21積的尾數是幾？2，1.5×1.5×1.5××1.5200個1.5積的尾數是幾？3，（12×63）×（12×63）×（12×63）××（12×63）1000個（12×63）積的尾數是幾？例題3 （

28、1）4×4×4××450個4積的個位數是幾？ （2）9×9×9××951個9積的個位數是幾？分析 （1）我們先列舉前幾個4的積，看看個位數在怎樣變化，1個4個位就是4；4×4的個位是6；4×4×4的個位是4；4×4×4×4的個位是6由此可見，積的尾數以“4，6”兩個數字在不斷重復出現。50÷2=25沒有余數，說明50個4相乘，積的個位是6。（2）用上面的方法可以發現，幾個9相乘時，積的個位是以“9，1”兩個數字不斷重復，51÷2=251

29、，余數是1，說明51個9本乘積的個位是9。練習三1，24×24×24××242001個24，積的尾數是多少？2，1×2×3××98×99，積的尾數是多少？3，94×94×94××94102個9449×49××49101個49，差的個位是多少？例題4 把1/7化成小數，那么小數點后面第100位上的數字是多少？分析 因為1/7=1÷70.142857142857，化成的小數是一個無限循環小數，循環節“142857”共有6個數字。由

30、于100÷6=164，所以，小數點后面的第100位是第17個循環節的第4個數字，是8。練習四1， 把1/11化成小數，求小數點后面第2001位上的數字。2，5/7寫成循環小數后，小數點后第50個數字是幾？3， 有一串數：5、8、13、21、34、55、89，其中，從第三個數起，每個數恰好是前兩個數的和。在這串數中，第1000個數被3除后所得的余數是多少？例題5 555552001個5÷13，當商是整數時，余數是幾？分析 如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看一看余數在按怎樣的規律變化。從豎式中可以看出，余數是按3、9、4、6、0、5這六個數字不斷重復出現。2

31、001÷6=3333，所以，當商是整數時，余數是4。練習五1，4444÷6100個4，當商是整數時，余數是幾？2，當商是整數時，余數各是幾？（1）6666÷4100個6（2）4444÷74200個4（3）8888÷7200個8（4）1111÷750個1 周期問題 姓名 時間變更：每星期三交作業，每星期四講練習，每星期五上新課，上課時間為：中午12：3013：30例題1 流水線上生產小木球涂色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白如此涂下去，到2001個小球該涂什么顏色？分析

32、根據題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即54321=15個球為一個周期，不斷循環。因為2001÷15=1336，也就是經過133個周期還余6個，每個周期中第6個是黃的，所以第2001個球涂黃色。練習一1， 跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規律插下去，第50面該插什么顏色？2， 有一串珠子，按4個紅的，3個白的，2個黑的順序重復排列，第160個是什么顏色？3，1/7=0.142857142857，小數點后面第100個數字是多少？例題2 有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數的幾分之幾？分析（

33、1）我們把二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47÷9=5（組）2（盞），余下的兩盞是第6組的前兩盞燈，是紅燈，所以最后一盞燈是紅燈；（2）由于47÷9=5（組）2（盞），所以紅燈共有2×52=12（盞），占總數的；藍燈共有4×5=20（盞），占總數的；黃燈共有3×5=15（盞），占總數的 練習二1， 有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之幾？、黑珠和白珠共2000顆，按規律排列著：，第2000顆珠子是什么顏色的？其中，黑珠共有多少顆？、在100米長的跑道兩側每隔2米站著一個同學。這些同學以

34、一端開始，按先兩個女生，再一個男生的規律站立著。這些同學中共有多少個女生？例題3 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期幾？分析 一個星期是7天，因此7天為一個周期。10月1日是星期一，是第一個周期的第一天，再過7天即10月8日也是星期一。計算天數時為了方便，我們采用“算尾不算頭”的方法，例如10月8日就用（81）÷7=1，沒有余數說明8號仍是星期一。題中說從2001年10月1日到2002年1月1日，要經過92天，92÷7=131，余1天就是從星期一往后數一天，即星期二。練習三1，2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期幾？2，如果今天是

35、星期五，再過80天是星期幾？3，以今天是2008-11-20星期四，算一算200911是星期幾？例題4 將奇數如下圖排列，各列分別用A、B、C、D、E為代表，問：2001所在的列以哪個字母為代表？A B C D E分析 這列數按每8個數一組有規律排列的。 1 3 5 72001是這一列數中的第1001個數，1001÷8=1251，15 13 11 9即2001是這列數中第126組的第一個數，所以它所在 17 19 21 23的那一列是以字母B為代表的。31 29 27 25 練習四1，將偶數2、4、6、8、按下圖依次排列，2014出現在哪一列？A B C D E8 6 4 2 10

36、12 14 1624 22 20 18 26 28 30 32 2，把自然數按下列規律排列，865排在哪一列？A B C D1 2 3 6 5 47 8 9 12 11 10 3，上表中，將每列上下兩個字組成一組，如第一組為（小熱），第二組為（學愛）。求第460組是什么？例題5 8888100個8÷7，當商是整數時，余數是幾？從豎式中可以看出，被除數除以7，每次除得的余數以1、4、6、5、2、0不斷重復出現。我們可以用100除以6，觀察余數就知道所求問題了。100÷6=164余數是4說明當商是整數時，余數是1、4、6、5、2、0中的第4個數，即5。練習五1，4444100個

37、4÷3當商是整數時，余數是幾？2，4444100個4÷6當商是整數時，余數是幾？3，11111000個1÷7當商是整數時，余數是幾？盈虧問題 姓名：例1 某校乒乓球隊有若干名學生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總數的一半；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數的一半。乒乓球隊共有多少名學生？練 習 一1，學校買來了白粉筆和彩色粉筆若干盒，如果白粉筆減少10盒，彩色粉筆增加8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買10盒白粉筆，白粉筆的盒數就是彩色粉筆的5倍。學校買來兩種粉筆各多少盒？2，操場上有兩堆貨物，如果甲堆增加80噸，乙堆增加25噸，則兩堆貨物一樣重；

38、苦甲、乙兩堆各運走5噸，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。兩堆貨物一共有多少噸？3，五（1）班的優秀學生中，苦增加2名男生，減少1名女生，則男、女生人數同樣多；苦減少1名男生，增加1名女生，則男生是女生的一半。這些優秀學生中男、女生各多少人？例2 幼兒園老師拿出蘋果發給小朋友。如果平均分給小朋友，則少4個；如果每個小朋友只發給4個，則老師自己也能留下4個。有多少個小朋友？共有多少個蘋果？分析 如果平均分給小朋友，則少4個，說明小朋友人數大于4；如果每個小朋友只發給4個，則教師也能留下4個，說明每人少拿若干個，就少拿44=8個蘋果。因為小朋友人數大于4，所以，一定是每人少拿1個，有8÷1=8

39、個小朋友，有8×44=36個蘋果。練 習 二1，給小朋友分梨，如果每人分4個，則多9個；如果每人分5個，則少6個。有多少個小朋友？有多少個梨？2，老把一些鉛筆獎給三好學生。每人5支則多4支，每人7支則少4支。老師有多少支鉛筆？獎給多少個三好學生？3，有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6人；如果減少一條船，正好每條船上坐9人。這個班一共有多少個同學？例3 幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學生每人5個余10個；如果分給小班的學生每人8個缺2個。已知大班比小班多3人，這筐蘋果有多少個？分析 如果大班減少3人，則大班和小班的人數同樣多。大班每人5個就

40、多余3×510=25個。由于兩班人數相等，小班每人多分3個就要多分（252）個蘋果，用（252）÷（85）就能得到小班同學的人數是9人，再用9×82就求出了這筐蘋果有多少個。練 習 三1，一些學生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒有磚可搬。這些學生有多少人？這批磚有多少塊？2，老師給幼兒園小朋友分糖，每人3塊還多10塊；如果減少2個小朋友再分，每人4塊還多7塊。原來有多少個小朋友？有多少塊糖？3，筑路隊計劃每天筑路720米，正好按期筑完。實際每天多筑80米，這樣，比原計劃提前3天完成了筑路任務。要筑的路有多長？例4 幼兒園教師把一箱

41、餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？分析 這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分4塊。說明中班的人數是小班人數的6÷4=1.5倍。因此，這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9塊，一共可分到69=15塊餅干。練 習 四1，老師把一批書借給甲組同學，平均每人借4本。如果只借給甲組的女同學，每人可借6本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？2，甲、乙兩組同學做紅花，每人做8朵，正好送給五年級每個同學一朵。如

42、果把這些紅花讓甲組同學單獨做，每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學單獨做，每人要做幾朵？3，老師把一袋糖分給小朋友。如果只分給小班，每人可得12塊；如果只分給中班和小班，每人只能分到4塊。如果這袋糖只分給中班，每人可分到幾塊？例5 全班同學去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個同學；如果增加一條船，每條船正好坐6個同學。這個班有多少個同學？分析 根據題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個同學；每船坐6人，就要增加一條船，也就是多出6個同學。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐96=15人，15里面包含5個（96），說明有5條船。9×（51）=36人。練 習 五1，老師

43、把一籃蘋果分給小班的同學，如果減少一個同學，每個同學正好分得5個；如果增加一個同學，正好每人分得4個。這籃蘋果一共有多少個？2，五年級同學去劃船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只船上價8人。五年級共有多少人？3，一個旅游團去旅館住宿，6人一間，多2個房間；若4人一間又少2個房間。旅游團共有多少人？一般應用題（一）一般復合應用題往往是有兩組或兩組以上的數量關系交織在一起，有的已知條件是間接的，數量關系比較復雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應用題沒有明顯的結構特征和解題規律可循。解答一般應用題時，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應用題的數量

44、關系時，我們可以從條件出發，逐步推出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發，找出必須的兩個條件（分析法）。在實際解時，可以根據題中的已知條件，靈活運用這兩種方法。例1 五年級有六個班，每班人數相等。從每班選16人參加少先隊活動，剩下的同學相當于原來4個班的人數。原來每班多少人？分析與解答：從每班選16人參加少先隊活動，6個班共選16×6=96（人）。剩下的同學相當于原來4個班的人數，那么，96人就相當于原來（64）個班人人數，所以，原來每班96÷2=48（人）。練 習 一1，五個同學有同樣多的存款，若每人拿出16元捐給“希望工程”后，五位同學剩下的錢正好等于原來3人的存款數。

45、原來每人存款多少？2，把一堆貨物平均分給6個小組運，當每個小組都運了68箱時，正好運走了這堆貨物的一半。這堆貨物一共有多少箱？3，老師把一批樹苗平均分給四個小隊栽，當每隊栽了6棵時，發現剩下的樹苗正好是原來每隊分得的棵數。這批樹苗一共有多少棵？例2 某車間按計劃每天應加工50個零件，實際每天加工56個零件。這樣，不僅提前3天完成原計劃加工零件的任務，而且還多加工了120個零件。這個車間實際加工了多少個零件？分析 如果按原計劃的天數加工，加工的零件就會比原計劃多56×3120=288（個）。為什么會多加工288個呢？是因為每天多加工了5650=6（個）。因此，原計劃加工的天數是288&

46、#247;6=48（天），實際加工了50×48120=1520（個）零件。練 習 二1，汽車從甲地開往乙地，原計劃每小時行40千米，實際每小時多行了10千米，這樣比原計劃提前2小時到達了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？2，小明騎車上學，原計劃每分鐘行200米，正好準時到達學校，有一天因下雨，他每分鐘只能行120米，結果遲到了5分鐘。他家離學校有多遠？3，加工一批零件，原計劃每天加工80個，正好按期完成任務。由于改進了生產技術，實際每天加工100個，這樣，不僅提前4天完成加工任務，而且還多加工了100個。他們實際加工零件多少個？例3 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6個零件，乙中途停

47、了15天沒有加工。40天后，乙所加工的零件個數正好是甲的一半。這時兩人各加工了多少個零件？分析 甲工作了40天，而乙停止了15天沒有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同樣多。由于甲每天比乙多加工6個，20天一共多加工6×20=120（個）。這120個零件相當于乙25-20=5（天）加工的個數，乙每天加工120÷（25-20）=24（個）。乙一共加工了24×25=600（個），甲一共加工了600×2=1200（個）練 習 三1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10個。途中乙因事休息了

48、5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，這時兩人各加工帽子多少個？2，甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行20千米。途中乙因修車用了2小時，6小時后甲車到達兩地中點，而乙車才行了甲車所行路程的一半。A、B兩地相距多少千米？3，甲、乙兩人承包一項工程，共得工資1120元。已知甲工作了10天，乙工作了12天，且甲5天的工資和乙4天的工資同樣多。求甲、乙每天各分得工資多少元？例4 服裝廠要加工一批上衣，原計劃20天完成任務。實際每天比計劃多加工60件，照這樣做了15天，就超過原計劃件數350件。原計劃加工上衣多少件？分析 由于每天比計劃多加工60件，15天就比原計劃的15

49、天多加工60×15=900（件），這時已超過計劃件數350件，900件中去掉這350件，剩下的件數就是原計劃（2015）天中的工作量。所以，原計劃每天加工上衣（900350）÷（2015）=110（件），原計劃加工110×20=2200（件）。練 習 四1，用汽車運一堆煤，原計劃8小時運完。實際每小時比原計劃多運1.5噸，這樣運了6小時就比原計劃多運了3噸。原計劃8小時運多少噸煤？2，汽車從甲地開往乙地，原計劃10小時到達。實際每小時比原計劃多行15千米，行了8小時后，發現已超過乙20千米。甲、乙兩地相距多少千米？3，小明看一本書，原計劃8天看完。實際每天比原計劃

50、少看了4頁。這樣，用10天才看完了這本書。這本書一共有多少頁？例5 王師傅原計劃每天做60個零件，實際每天比原計劃多做20個，結果提前5在完成任務。王師傅一共做了多少個零件？分析 按實際做法再做5天，就會超產（6020）×5=400（個）。為什么會超產400個呢？是因為每天多生產了20個，400里面有幾個20，就是原計劃生產幾天。400÷20=20（天），因此，王師傅一共做了60×20=1200（個）零件。練 習 五1，食堂準備了一批煤，原計劃每天燒0.8噸，實際每天比原計劃節約了0.1噸，這樣比原計劃多燒了2天。這批煤一共有多少噸？2，造紙廠生產一批紙，計劃每天

51、生產13.5噸，實際每天比原計劃多生產1.5噸，結果提前2.5天完成了任務。實際用了多少天？3，機床廠生產一批機床，原計劃每天生產15臺，實際每天生產18臺，這樣比原計劃提前3天完成了任務。這批機床一共有多少臺？一般應用題（二）較復雜的一般應用題，往往具有兩組或兩組以上的數量關系交織在一起，但是，再復雜的應用題都可以通過“轉化”向基本的問題靠攏。因此，我們在解答一般應用題時要善于分析，把復雜的問題簡單化，從而正確解答。例1 工程隊要鋪設一段地下排水管道，用長管子鋪需要25根，用短管子鋪需要35根。已知這兩種管子的長相差2米，這段排水管道長多少米？分析 因為每根長管子比每根短管子長2米，25根長

52、管子就比25根短管子長50米。而這50米就相當于（3525）根短管子的長度。因此，每根短管子的長度就是50÷（3525）=5（米），這段排水管道的長度應是5×35=175（米）。練 習 一1，生產一批零件，甲單獨生產要用6小時，乙單獨生產要用8小時。如果甲每小時比乙多生產10個零件，這批零件一共有多少個？2，一班的小朋友在操場上做游戲，每組6人。玩了一會兒，他們覺得每組人數太少便重新分組，正好每組9人，這樣比原來減少了2組。參加游戲的小朋友一共有多少人？3，甲、乙二人同時從A地到B地，甲經過10小時到達了B地，比乙多用了4小時。已知二人的速度差是每小時5千米，求甲、乙二人每

53、小時各行多少千米？例2 甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果，分配時甲、乙都比丙多拿24千克。結帳時，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋果多少元？分析 三人拿同樣多的錢買蘋果應該分得同樣多的蘋果。24×2÷3=16（千克），也就是丙少拿16千克蘋果，所以得到24×2=48元。每千克蘋果是48÷16=3（元）。練 習 二1，甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛筆若干支，分鉛筆時，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又給了乙6角錢。每支鉛筆多少錢？2，春游時小明和小軍拿出同樣多的錢買了6個面包，中午發現小紅沒有帶食品，結果三人平均分了這些面包，而小紅分別給了小明和小

54、軍各2.2元錢。每個面包多少元？3，“六一”兒童節時同學們做紙花，小華買來了7張紅紙，小英買來了和紅紙同樣價格的5張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學，結果另外兩名同學共付給老師9元錢。老師把9元錢怎樣分給小華和小英？例3 甲城有177噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車和小卡車來運輸時耗油最少？分析 大汽車一次運5噸，耗油10升，平均運1噸貨耗油10÷5=2（升）；小汽車一次運2噸，耗油5升，平均運1噸貨耗油5÷2=2.5（升）。顯然，為耗油量最少應該盡可能用大卡車

55、。177÷5=35（輛）2噸，余下的2噸正好用小卡車運。因此，用35輛大汽車和1輛小汽車運耗油量最少。練 習 三1，五名選手在一次數學競賽中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整數。如果最高分是90分，那么得分最少的選手至少得多少分？2，用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，那么最多可以買1角的郵票多少張？3，某班有60人，其中42人會游泳，46人會騎車，50人會溜冰，55人會打乒乓球?？梢钥隙ㄖ辽儆卸嗌偃怂捻椂紩坷? 有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報紙，其中北京日報34份，江海晚報30份，電視報22份。那么訂江海晚報和電視報的共有多少家？分析 這棟樓共訂報紙34+30+22=86（份），因為每家都訂2份不同的報紙，所以一共有86÷2=43家。在這43家居民中，有34家訂了北京日報，剩下的9家居民一定是訂了江海晚報和電視報。練 習 四1，五（1）班全體同學每人帶