1、激光原理與技術激光原理與技術黨學明黨學明儀器科學與光電工程學院儀器科學與光電工程學院合肥工業大學合肥工業大學第二章 光學諧振腔理論概述概述第一節第一節 光學諧振腔的基本知識光學諧振腔的基本知識第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗第五節第五節 平行平面腔的自再現模平行平面腔的自再現模第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 主要內容：主要內容：主要內容：主要內容：第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模第七節第七節 一般穩定球面腔的模式特征一般穩定球面腔的模式特征第八節第八節 高斯光束高斯光束第九節第九

2、節 非穩腔的模式理論非穩腔的模式理論概述光學諧振腔是常用激光器的三個主要組成部分光學諧振腔是常用激光器的三個主要組成部分之一。之一。與微波腔相比,光頻腔的主要特點是n側面敞開以抑制振蕩模式,n軸向尺寸遠大于光波長和腔的橫向尺寸。從理論上分析時,通常認為其側面沒有邊界,因此,將其稱為開放式光學諧振腔。本章主要針對這類開放式開放式光學諧振腔。本章主要針對這類開放式光腔進行討論。光腔進行討論。概述光學諧振腔理論研究的基本問題是:n光頻電磁場在腔內的傳輸規律光頻電磁場在腔內的傳輸規律n從數學上講是求解電磁場方程的本征函數和從數學上講是求解電磁場方程的本征函數和本征值。本征值。由于開放式光腔側面不具有確

3、定的邊界,一般情況下不能在給定邊界條件下對經典電磁場理論中的波動方程嚴格求解。因此,常采用一些近似方法來處理光腔問題。 概述常用的近似研究方法包括:1.幾何光學分析方法幾何光學分析方法在幾何光學近似下,光的波動性不起主要作用,可將光看成光線用幾何光學方法來處理。對于光學諧振腔來說,當腔的菲涅耳數遠大于1時,光在其中往返傳播時橫向逸出腔外的幾何損耗遠大于由于腔鏡的有限尺寸引起的衍射損耗。此時可用幾何光學的方法來處理腔的模式問題。這種方法的優點是簡便、直觀簡便、直觀,主要缺點在于不能得主要缺點在于不能得到腔的衍射損耗和腔模特性的深入分析到腔的衍射損耗和腔模特性的深入分析。概述2.矩陣光學分析方法矩

4、陣光學分析方法矩陣光學使用矩陣代數的方法研究光學問題,將幾何光線和激光束在光腔內的往返傳播行為用一個變換矩陣來描寫,從而推導出諧振腔的從而推導出諧振腔的穩定性條件穩定性條件。此外,利用高斯光束的利用高斯光束的ABCD定律和模的自再現定律和模的自再現條件能夠推導出用矩陣元形式表示的光腔本條件能夠推導出用矩陣元形式表示的光腔本征方程的模參數公式征方程的模參數公式,便于光腔的設計和計算。便于光腔的設計和計算。這種方法的優點在于處理問題簡明、規范這種方法的優點在于處理問題簡明、規范,易于易于用計算機用計算機 概述3.波動光學分析方法波動光學分析方法 從波動光學的菲涅耳菲涅耳-基爾霍夫衍射積分理論基爾霍

5、夫衍射積分理論出發,可以建立一個描述光學諧振腔模式特性的本征積分方程。 利用該方程原則上可以求得任意光腔的模式任意光腔的模式,從而得到場的從而得到場的振幅、相位分布振幅、相位分布,諧振頻率以及衍射損耗等腔模特性諧振頻率以及衍射損耗等腔模特性。雖然數學上已嚴格證明了本征積分方程解的存在性,但只有在腔鏡幾何尺寸趨于無窮大的情況下,該積分方程的解析求解才是可能的。 對于腔鏡幾何尺寸有限的情況,迄今只對對稱共焦腔對稱共焦腔求出了解析解。 多數情況下,需要使用近似方法求數值解。雖然衍射積分方程理論使用了標量場近似,也不涉及電磁波的偏振特性,但與其他理論相比,仍可認為是一種比較普遍和嚴格的理論。概述n本章

6、中采用矩陣光學方法來討論諧振腔的穩矩陣光學方法來討論諧振腔的穩定性定性,用衍射積分方程理論處理諧振腔的模式用衍射積分方程理論處理諧振腔的模式問題。問題。光學諧振腔中的光場分布以及輸出到腔外的光束都是高斯光束形式是高斯光束形式,其特性和諧振其特性和諧振腔密切相關腔密切相關,因此,也在本章中討論。n本章的最后采用幾何光學分析方法對非穩腔本章的最后采用幾何光學分析方法對非穩腔進行簡單討論。進行簡單討論。 概述n本章中只研究無源諧振腔只研究無源諧振腔,又稱非激活腔或被動腔又稱非激活腔或被動腔,即無激活介質存在的腔即無激活介質存在的腔。n雖然處于運轉狀態的激光器的諧振腔都是存在增益介質的有源腔有源腔(又

7、稱激活腔或主動腔又稱激活腔或主動腔),但理論和實踐表明,對于中、低增益的激光器,無源腔的模式理論可以作為有源腔模式的良好近似。對于高增益激光器,適當加以修正也是適用的。n這是由于激活介質的主要作用在于補償腔內本征模主要作用在于補償腔內本征模在振蕩過程中能量的損耗在振蕩過程中能量的損耗,使之滿足諧振條件使之滿足諧振條件,形成形成和維持自激振蕩和維持自激振蕩。其對場的空間分布以及諧振頻率的影響是次要的,不會使腔的模式發生本質的改變。第一節 光學諧振腔的基本知識 本節主要討論光學諧振腔的構成、分類、作用構成、分類、作用,以及腔以及腔模模的概念光學諧振腔的構成和分類光學諧振腔的構成和分類根據結構、性能

8、和機理等方面的不同,諧振腔有不同的分類方式。按能否忽略側面邊界按能否忽略側面邊界,可將其分為n開腔、開腔、n閉腔閉腔n氣體波導腔氣體波導腔第一節 光學諧振腔的基本知識 開腔而言：開腔而言：n根據腔內傍軸光線幾何逸出損耗的高低,又可分為穩定腔、非穩腔及臨界腔穩定腔、非穩腔及臨界腔;n按照腔鏡的形狀和結構,可分為球面腔球面腔和非球面腔非球面腔;n就腔內是否插入透鏡之類的光學元件,或者是否考慮腔鏡以外的反射表面,可分為簡單腔簡單腔和復合腔復合腔;n根據腔中輻射場的特點,可分為駐波腔駐波腔和行波腔行波腔;n從反饋機理的不同,可分為端面反饋腔端面反饋腔和分布反饋分布反饋腔腔;1.根據構成諧振腔反射鏡的個

9、數,可分為兩鏡腔兩鏡腔和多多鏡腔鏡腔等。第一節 光學諧振腔的基本知識 2. 作用作用光學諧振腔的作用主要有兩方面光學諧振腔的作用主要有兩方面:n提供軸向光波模的光學正反饋提供軸向光波模的光學正反饋;通過諧振腔鏡面的反射,軸向光波模可在腔內往返傳播,多次通過激活介質而得到受激輻射放大, 從而在腔內建立和維持穩定的自激振蕩。光腔的這種光學反饋作用主要取決于主要取決于腔鏡的反射率、幾何形狀以及之間的組合腔鏡的反射率、幾何形狀以及之間的組合方式。方式。這些因素的改變將引起光學反饋作用的變化,即引起腔內光波模損耗的變化。 第一節 光學諧振腔的基本知識 n控制振蕩模式的特性控制振蕩模式的特性。由于激光模式

10、的特性由光腔結構決定,因此,可通過改變腔參數實現對光波模特性的控制。通過對腔的適當設計以及采取特殊的選模措施,可有效控制腔內實際振蕩的模式可有效控制腔內實際振蕩的模式數目數目,使大量光子集中在少數幾個狀態中使大量光子集中在少數幾個狀態中,從而提高光子簡并度,獲得單色性和方向性好的相干光。通過調節腔的幾何參數可直接控制激光模的橫向分布特性、光斑半徑、橫向分布特性、光斑半徑、諧振頻率以及遠場發散角諧振頻率以及遠場發散角等。第一節 光學諧振腔的基本知識 3. 腔模腔模無論是閉腔或是開腔，都將對腔內的電磁場施以一定的約束。一切被約束在空間有限范圍內的電磁場都將只能存在于一系列分立的本征狀態之中，場的每

11、一個本征態將具有一，場的每一個本征態將具有一定的振蕩頻率和一定的空間分布。定的振蕩頻率和一定的空間分布。在激光技術的術語中，通常將光學諧振腔內可能存在的電磁場的本征態稱為腔的模式腔的模式。從光子的觀點來看，激光模式也就是腔內可能區分的也就是腔內可能區分的光子的狀態光子的狀態。同一模式內的光子具有完全相同的狀態。每一同一模式內的光子具有完全相同的狀態。每一種模式都具有確定的基本特征種模式都具有確定的基本特征,主要包括主要包括 第一節 光學諧振腔的基本知識 n電磁場分布電磁場分布,特別是在腔的橫截面內的場分布特別是在腔的橫截面內的場分布;n諧振頻率諧振頻率;n在腔內往返一次所經受的相對功率損耗在腔

12、內往返一次所經受的相對功率損耗;n相對應的激光束的發散角相對應的激光束的發散角。由于腔內電磁場的本征態由Maxwell方程組和腔的邊界條件決定,因此不同類型和結構的諧振腔的模式也將各不相同。一旦給定了腔的具體結構,其中振蕩模的特征也就隨之確定下來。光學諧振腔理論就是研究腔模式的基本特征,以及模與腔結構之間的具體依賴關系。原則上說只要知道了腔的參數，就可以唯一地原則上說只要知道了腔的參數，就可以唯一地確定模的上述特征。確定模的上述特征。第一節 光學諧振腔的基本知識n腔內電磁場的空間分布可分解為沿傳播方向(腔軸線方向)的分布和在垂直于傳播方向的橫截面內的分布。其中,腔模沿腔軸線方向的腔模沿腔軸線方

13、向的穩定場分布穩定場分布稱為諧振腔的縱模縱模,在垂直于腔軸在垂直于腔軸的橫截面內的穩定場分布的橫截面內的穩定場分布稱為諧振腔的橫模橫模。 1）縱模）縱模nF-P腔：腔：多光束干涉理論可知,發生相長干涉的條件是:波從某一點出發,經腔內往返一周再回到原來位置時,應與初始出發波同相。22 2iiqLqLn L第一節 光學諧振腔的基本知識對于非均勻介質：所以： 0( )LLdLn z dz q qq q2 2L L= =q q2 2L L c cq q 平面面腔中沿軸向傳播的平面波的諧振條件。q 稱為腔的諧振波長,q 稱為腔的諧振頻率。平面面腔中的諧振頻率是分立的。 可以將FP腔中滿足的平面駐波場稱為

14、腔的本征模式腔的本征模式。其特點是其特點是：在腔的橫截面內場分布是均勻的，而沿腔的軸線方向(縱向)形成駐波，駐波的波節數由q決定。通常將由整數q所表征的腔內縱向場分布稱為腔的縱模腔的縱模。不同的q值相應于不同的縱模。q稱為縱模序數稱為縱模序數。 第一節 光學諧振腔的基本知識當整個光腔內充滿折射率為n 的均勻物質時，有 由于光頻諧振腔的腔長遠大于光波波長,整數q通常具有104 106 數量腔的兩個相鄰縱模頻率之差腔的兩個相鄰縱模頻率之差q稱為縱模的頻率間隔稱為縱模的頻率間隔,簡稱縱模間隔簡稱縱模間隔腔長L越小，縱模間隔越大。 有什么用處？有什么用處？ 什么是頻率梳？什么是頻率梳？22qqLnLL

15、qcvqnL122 qqqccvvvnLL第一節 光學諧振腔的基本知識2）橫模）橫模這種穩態場經一次往返后,唯一可能的變化僅是,鏡面上各點場的振幅按同樣的比例衰減,各點的相位發生同樣大小的滯后。鏡面上各點場的振幅按同樣的比例衰減,各點的相位發生同樣大小的滯后。這種在腔反射鏡面上形成的經過一次往返傳播后能自再現的穩定場分布稱為自現模或橫模。自現模或橫模。n對于兩個鏡面完全相同的對稱腔來說對于兩個鏡面完全相同的對稱腔來說,這種穩定這種穩定場分布經單程傳播后即可實現自再現。場分布經單程傳播后即可實現自再現。綜上所述,激光的橫模,實際上就是諧振腔所允許的(也就是在腔內往返傳播,能保持相對穩定不變的)光

16、場的各種橫向穩定分布。第一節 光學諧振腔的基本知識n不同的縱模和橫模具有不同的光場分布和振蕩頻率。但對于縱模來說,其光場分布之間的差異很小,一般只從頻率的差異來區分不同的縱模。不同橫模之間的光場分布差異較大,很容易從強度花樣來區分。需要注意的是,不同的橫模之間,也存在頻率差異。第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗n光學諧振腔一方面具有光學正反饋作用,另一方面也存在各種損耗。損耗的大小是評價諧振腔質量的一個重要指標,決定了激光振蕩的閾值激光振蕩的閾值和激光的激光的輸出能量輸出能量。本節將分析無源開腔的損耗,并討論表征無源腔質量的品質因數Q值及線寬。一、損耗及其描述一、損耗及其描述(1)幾

17、何偏折損耗:光線在腔內往返傳播時，可能從腔的側面偏折出去，我們稱這種損耗為幾何偏折損耗。其大小首先取決于腔的類型和幾何尺寸。第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗（2）衍射損耗 從波動光學觀點來看,由于腔反射鏡面幾何尺寸是有限的,光波在腔內往返傳播時必然因腔鏡邊緣的衍射效應而產生損耗。如果在腔內插入其他光學元件,還應當考慮其邊緣或孔徑的衍射引起的損耗。通常將這類損耗稱為衍射損耗衍射損耗,可由求解腔的衍射積分方程得出,其大小與腔的菲涅耳數、腔的幾何參數以及橫模階數等都有關系。第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗(3)腔鏡反射不完全引起的損耗。這部分損耗包括鏡中的吸收、散射以及鏡的透

18、射損耗。通常光腔至少有一個反射鏡是部分透射的，有時透射率可能很高(例如，某些固體激光器的輸出鏡透射率可以50)，另一個反射鏡即通常所稱的“全反射”鏡，其反射率也不可能做到100。(4)材料中的非激活吸收、散射，腔內插入物(如布儒斯特鏡，調Q元件、調制器等)所引起的損耗，等等。第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗上述(1)、(2)兩種損耗又常稱為選擇損耗選擇損耗，不同模式的幾何損耗與衍射損耗各不相同。(3)、(4)兩種損耗稱為非選擇損耗非選擇損耗，通常情況下它們對各個模式大體一樣。 不論損耗的起源如何,均可用“平均單程損耗因子”(簡稱單程損耗因子)來定量描述。該因子的定義為：如果初始光強

19、為I0，在無源腔內往返一次后，光強衰減為I1則：201011ln2III eI 第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗n 如果損耗是由多種因素引起的，每一種原因引起的損耗以相應的損耗因子i描述，則有n也可用單程渡越時光強的平均衰減百分數來定義單也可用單程渡越時光強的平均衰減百分數來定義單程損耗因子程損耗因子：n顯然，當損耗很小時，這樣定義的單程損耗因子顯然，當損耗很小時，這樣定義的單程損耗因子與前面與前面定義的指數損耗因子定義的指數損耗因子是一致的是一致的12222 32100123.iiII eeeI e 0102 III20100002 1(12 )2IIII eII 第二節光學諧振

20、腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗常見損耗舉例常見損耗舉例:1）由鏡反射不完全所引起的損耗）由鏡反射不完全所引起的損耗以r1和r2分別表示腔的兩個鏡面的反射率(即功率反射系數)，則初始強度為Io的光，在腔內經兩個鏡面反射往返一周后，其強度I1應為按的定義，對由鏡面反射不完全所引入的損耗因子1，應有因此當r1r2 1時1012IIr r210120rIIr rIe1122lnrr r 1122(1)(1)rrr 第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗2）腔鏡傾斜時的幾何損耗）腔鏡傾斜時的幾何損耗當平面腔的兩個鏡面構成小的角度 時，光在兩鏡面間經有限次m往返后必將逸出腔外。式中D為平面腔的橫向尺

21、寸（直徑）*2*6.*(21)221 35.(21)LLLmDLmD 1222DLmLmD注意到往返時間為t02L/c,即可求得光子的平均壽命及相應的第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗n傾斜腔的損耗與，L，D均有關,sqrt( )，且隨L的增大及D的減小而增加例：D=1cm，L=1m計算，為了保證0.1,必須有上式表明平行平面腔的調整精度極高上式表明平行平面腔的調整精度極高02 22LDnDLmtcLc24622 10410.012 100.4DradLrad如果要求損耗低于則應有第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗3）衍射損耗）衍射損耗n 由衍射引起的損耗隨腔的類型、具體幾

22、何尺寸及振蕩模式而不同，是一個很復雜的問題。這里只就均勻平面波在平面孔徑上的夫瑯和費(Fraunhofer)衍射對腔的損耗作一粗略的估計。第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗如果忽略掉第一暗環以外的光，并假設在中央亮斑內光強均勻分布，則射到第二個孔徑以外的光能與總光能之比應等于該孔闌被中央亮斑所照亮的孔外面積與總面積之比，即描述由衍射所引起的單程能量相對損耗百分數d, 當衍射損耗不太大時，應與平均單程指數損耗因子d,相等 221121010222()()20.611.2212aaLLwsaLawwssaLLLaa2211ddaLaNNL第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗nN稱

23、為腔的菲涅耳數稱為腔的菲涅耳數，即從一個鏡面中心看到另一個鏡面上可以劃分的菲涅耳半周期帶的數目(對平面波陣面面言)。N是衍射現象中的一個特征參數，表征著衍射損耗的大小。n在描述光學諧振腔的工作特性時,經常用到菲涅耳數這個概念。它是從一個鏡面中心看到另一個鏡面上可以劃分的菲涅耳半波帶數,也是衍射光在腔內的最大往返次數。nN愈大，損耗愈小。第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗n注: 根據半波帶的理論（參見波帶片），觀察點光振幅取決于圓孔所含有的菲涅耳半波帶的數目。如果圓孔的半徑為，圓孔與光源和觀察點的距離分別為R和r0，波長為，則半波帶數k為n觀察點的位置不同，r0不同，k數也不同。與k為

24、奇數相對應的觀察點處，合振幅最大；與k為偶數相對應的觀察點處，合振幅最小。如果帶數不是整數，則合振幅在上述最大值和最小值之間。這時，若將觀察屏沿對稱軸線移動，便可看到光強不斷變化。根據半波帶理論（參見波帶片），2011()krR第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗二、光子在腔內的平均壽命二、光子在腔內的平均壽命 初始光強為初始光強為I0的光束在腔內往返的光束在腔內往返M次后光強變為次后光強變為Im ：如果取如果取c0時刻的光強為時刻的光強為Io，則到，則到t時刻為止光在腔內時刻為止光在腔內往返的次數往返的次數m應為應為R R稱為腔的時間常數，是描述光腔性質的重要參數稱為腔的時間常數，是

25、描述光腔性質的重要參數當當t= R R時，時，22m00I()mmI eI e2 Lctm m000IRttLtccLI eI eI e0I( )/tIe第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗n表明了時間常數R的物理意義經過R時間后，腔內光強衰減為初始值的1/e。愈大，R愈小，說明腔的損耗愈大，腔內光強衰減得愈快。與與n的關的關系系?可以將可以將R解釋為解釋為“光子在腔內的平均壽命光子在腔內的平均壽命”。設。設t時時刻腔內光子數密度為刻腔內光子數密度為N，N與光強與光強I(t)的關系為的關系為:V為光在諧振腔的傳播速度，所以有為光在諧振腔的傳播速度，所以有 N0表示表示t=0時刻的光子密

26、度，時刻的光子密度，0( )( )RtI tNh vI tI e0( )RtN tN e第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗上式表明：n由于損耗存在，腔內光子數密度將隨時間按指數衰減nt=R時刻，衰減為N0的1/e;n在tt+dt時間內減少的光子數目為這（-dN）個光子的壽命為t，若在經過dt時間后，將不在腔內。N0個光子的平均壽命為腔內光子的平均壽命R與腔的損耗有關， 損耗越小， R越大，腔內的光子的平均說明越長R0RtNdNedt_000011()()RtRRNtdN ttedtNN第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗三、無源腔的品質因數三、無源腔的品質因數Q值值在無線電技

27、術中，LC振蕩回路、微波諧振腔、光學諧振腔是光頻段電磁波、損耗的大小用品質出數Q來衡量。Q的定義式中E為儲存在腔內的總能量，P為單位時間內損耗的能量，v為諧振頻率，為角頻率設光學諧振腔的體積為V，則總能量E=NhvV單位時間損耗的光能為2EEQvpp0RtdEdNphvVedtdt 第二節光學諧振腔的損耗第二節光學諧振腔的損耗所以可見,腔的損耗愈小,Q值愈高。Q值高,表示腔的儲能性好,光子在腔內的平均壽命長。四、無源腔的單模線寬四、無源腔的單模線寬由于光強與光場振幅的平方成比例,腔內光場的振幅為此光場表示為2RLQvc20( )RtA tA e20( )( )Rtj tj tE tA t eA

28、 ee腔的損耗越低， R越長，Q越高，vc越窄122cRcvVLQ由自然加寬知2RRvQvv 第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 n若光線在諧振腔內往返任意多次也不會橫向逸出腔外,將這種諧振腔稱為穩定諧振腔穩定諧振腔,簡稱穩定腔穩定腔。反之,則稱為非穩腔非穩腔。n光學諧振腔的穩定性條光學諧振腔的穩定性條件,其實質是研究光線在腔內往返傳播而不逸出腔外的條件。n本節利用矩陣光學分析方法本節利用矩陣光學分析方法,討論共軸球面腔討論共軸球面腔中光線往返傳播的規律。在此基礎上中光線往返傳播的規律。在此基礎上,推導出推導出諧振腔的穩定性條件。諧振腔的穩定性條件。第三節光學諧振腔的穩定

29、性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 一、光線傳播的矩陣表示一、光線傳播的矩陣表示1）光線矩陣）光線矩陣沿z軸方向傳播的傍軸光線在某一給定橫截面內的光線矢量r可以用此橫截面內光線離軸線的距離r,以及光線與軸線之間的夾角來表征,將這兩個參數構成的列陣稱為光線在某一截面處的光線矩陣。并規定光線位置在軸線上方時r取正,反之取負;光線的出射方向在軸線上方時取正,反之取負。r r 第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 2）變換矩陣光線）變換矩陣光線 考察傍軸光線r1 通過一個光學系統后光線參數的變換規律。 1 11 11 1t ta an ns si in n 2 22 2r r 21

30、11211121112111rArBrrArBrA BA BCrDC DCrDC D 在旁軸條件下1-0 ，則有 ， 所以出射光線參數與入射光線參數可表示為： 第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 A A B BC C D D 2 21 11 11 12 21 11 11 10 0 1 1r rr rL Lr rL L 1 10 10 1L LL LT T 將 矩陣稱為該光學系統的光線變換矩陣,它描述了光學系統對傍軸光線的變換作用。下面推導一些光學系統的光線變換矩陣。一段自由空間的光線變換矩陣一段自由空間的光線變換矩陣TL所以2 21 1r rr r 1 11 11 11

31、11 12 21 11 12 22 2r rR Rr rR R B、球面反射鏡的光線變換矩陣、球面反射鏡的光線變換矩陣TR顯然而 第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 1 121211 121211 110102 22 21 1r rrrrrr rR RR R 1 10 02 21 1R RT TR R 考慮符號， 所以有： R的符號：的符號：R為球面反射鏡的曲率半徑,對凹面鏡R取正值,凸面鏡R取負值1 12 21 12 22 21 11 12 21 11 11 11 1L LL L2 21 12 2f fr rr rL LL Lf fr rr rr r 10101 11

32、1f fR RT T C.薄透鏡的光線變換矩陣薄透鏡的光線變換矩陣Tf由幾何光學知所以第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 D、諧振腔的等效周期透鏡波導、諧振腔的等效周期透鏡波導n我們知道球面反射鏡的焦距為R/2, 因此Tf和TR是完全等同的。n即反射鏡可看作是f=R/2的薄透鏡。n因此諧振腔的兩端面鏡可以看作薄透鏡。第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 3）在腔內往返傳播的矩陣）在腔內往返傳播的矩陣a）往返一次的光學變換矩陣）往返一次的光學變換矩陣到達鏡M2 時光線參數為當光線在鏡M2上反射時,反射光線參數為當光線再從鏡M2 行進到鏡M1 時,又有2

33、21 12 21 11 10 0 1 1L Lr rr rL LT T 3223222 23223222 21 12 21 1R RR RrrrrrrT T 4 43 33 34 43 33 31 10 01 1L Lr rr rr rL LT T 第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 n然后,又在鏡M1 上發生反射n分別帶入：5 54 44 41 15 54 44 41 11 10 02 21 1R RR Rr rr rr rT T 5 51 11 15 51 11 11 12 21 10 01 10 01 11 12 22 21 11 10 0 1 10 0 1 1R

34、RR Rr rr rr rL LL LT T 1 12 22 22 21 12 21 11 11 10 01 10 0B B1 11 12 22 21 11 1D D0 0 1 10 0 1 1R RR RL LL L1 12 2L LR RR R2 22 2L LL LL LR RR RR RR RR R2 2A AL LL LT TC C （1 1）（1 1）（1 1）（1 1L LR R 1 1）為傍軸光線在腔內往返一次時的總變換矩陣,稱為往返矩陣往返矩陣第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 b）往返傳播）往返傳播n次的光學變換矩陣次的光學變換矩陣0000T.nnnn

35、rrrTTT TT 個Tn為n個往返矩陣的乘積，由薛而凡斯特定理知道sinsin(1)sin1Tsinsinsin(1)sin1arccosA+D2nnnnnnABAnnBnCDCnDnnABCD式中（）n11n11nrrC rDnnnnAB經過 次往返傳播后的光線參數共軸球面腔的往返矩共軸球面腔的往返矩T以及以及Tn 均與所考慮的初始出發時的光線參數均與所考慮的初始出發時的光線參數無關無關,因此可用于描述任意傍軸光線在腔內往返傳播的行為因此可用于描述任意傍軸光線在腔內往返傳播的行為 第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 二、二、 共軸球面腔的穩定性條件共軸球面腔的穩定性條

36、件 的的rn和和n取值大小，反映的是光線偏離取值大小，反映的是光線偏離 光軸能力的大小，即造成激光幾何損耗的大光軸能力的大小，即造成激光幾何損耗的大小，小， 當其為有限值，即小于鏡面的橫向尺寸時，光不當其為有限值，即小于鏡面的橫向尺寸時，光不逸出，即為穩定。逸出，即為穩定。我們討論的取值情況：1）為實數為實數 a. Tn為有限值的條件為Sin不為0不等于K 即帶入A,Dn11n11rrC rDnnnnAB1 1a ac cr r c co os sA AD DK K2 21 11 1A A2 2 （ ）（ D D ） 1 1第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的穩定性條件 n代入上式有

37、:上式即為諧振腔的穩定條件.g1,g2為諧振腔的g參數b. Sin=0, Tn為極大值為極大值即即2 22 21 12 21 11 12 21 12 21 12 21 11 1L LL LL LL LL LL LL LA A1 12 22 2R RR RR RR RR RR RR R R RL LL L2 2( (1 1) )( (1 1) )1 1R RR R （ D D ）= =（1 1）（1 1）= =1 1- - -1 12 21 12 2L LL L0 0( (1 1) )( (1 1) )0 0g g g gR RR R 1或者即g g第三節光學諧振腔的穩定性條件第三節光學諧振腔的

38、穩定性條件 三、穩區圖穩區圖P56 tu2.16n所謂諧振腔的穩定性所謂諧振腔的穩定性,只是只是指傍軸光線能否在腔內往返指傍軸光線能否在腔內往返無限多次而不橫向逸出無限多次而不橫向逸出,也也就是指腔內傍軸光束幾何損就是指腔內傍軸光束幾何損耗的高低耗的高低,并不涉及在能產并不涉及在能產生振蕩生振蕩(即滿足閾值條件即滿足閾值條件)的的條件下條件下,腔的工作狀態是否腔的工作狀態是否穩定這一問題。穩定這一問題。n穩定腔的幾何損耗小穩定腔的幾何損耗小,容易容易產生振蕩。而非穩腔的幾何產生振蕩。而非穩腔的幾何損耗大損耗大,在中、小功率激光在中、小功率激光器中很少采用。但對增益較器中很少采用。但對增益較高的

39、工作物質高的工作物質,它同樣可以它同樣可以起振起振,并且也能穩定地工作。并且也能穩定地工作。第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 本節討論用衍射理論推導腔內振幅和相位分布問題。一、一、 菲涅耳菲涅耳-基爾霍夫衍射積分基爾霍夫衍射積分光的衍射理論基礎： 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理。具體表述具體表述為:光波波前上的每一點都可以看成是新的子波源,從這些點發出球面子波,空間中某一點的光場就是這些子波在該點相干疊加的結果。基爾霍夫從數學上證明了惠更斯-菲涅耳原理是某種積分定理的近似形式。利用基爾霍夫積分定理,并作菲涅耳近似處理,可得到該原理的嚴格數學表達式,即菲涅耳-基爾霍夫衍

40、射積分公式。公式表明公式表明,如果知道了光波場在其所到達的任意空間曲面上的振幅和相位分布,就可以求出該光波場在空間其他任意位置處的振幅和相位分布。第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 1）菲涅耳）菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式基爾霍夫衍射積分公式式中式中,k為波矢的模為波矢的模2/ ;為源點為源點(x,y)與觀察點與觀察點(x,y)之間連線的長度之間連線的長度;為為S面上點面上點(x,y)處法線處法線n與上述連線的夾角與上述連線的夾角; ds為為S面上點面上點(x,y)處的面積元處的面積元,積分沿整個積分沿整個S面進行面進行 ( ( , , ) )( (, ,) )( (1 1

41、c co os s) )4 4i ik ks si ik ke eu u x x y yu u x xy yd ds s 第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 2）應用到諧振腔應用到諧振腔n設此諧振腔的反射鏡具有任意形狀和尺寸設此諧振腔的反射鏡具有任意形狀和尺寸,坐標原點選在反射坐標原點選在反射鏡的中心鏡的中心,z軸與腔軸重合。鏡軸與腔軸重合。鏡和鏡和鏡上點的坐標分別表示上點的坐標分別表示為為(x,y,z)和和(x,y,z),兩鏡面上任意考察點兩鏡面上任意考察點P和和P之間的距離為之間的距離為。鏡。鏡上的光場分布函數為上的光場分布函數為u 1 (x,y),則則u 1 (x,y

42、)經腔內一經腔內一次渡越后在鏡次渡越后在鏡上生成的光場上生成的光場u 2 (x,y)應為應為 ( ( , , ) )( (, ,) )( (1 1c co os s) )4 4i ik ks si ik ke eu u x x y yu u x xy yd ds s 第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 ( (, ,) )( (, ,) )i ik ks si iu u x xy yu u x xy y e ed ds sL L 1 11 1( (, ,) )( (, ,) )i ik kq qq qs si iu ux xy yu ux xy y e ed ds sL L

43、考慮到La, cosl， 被積函數分母可取近似L， 但在指數因子中不能用但在指數因子中不能用L 要根據不同腔形采取合理近似。要根據不同腔形采取合理近似。當光場在腔內經q次渡越后，在鏡面渡越后，在鏡面M2上的場uq+1(x，y)與鏡面M1上的場uq(x，y)之間有類似的關系。第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 二、自再現模所應滿足的積分方程式二、自再現模所應滿足的積分方程式光場經足夠多次往返渡越后(相當q-)，則每次渡越時變化越來越小，最后鏡面上的場分布將趨于穩定狀態。繼續傳播時，鏡面上的場分布應該自再現。這種特殊的穩定的場分布稱為自再現場或腔的自再現場或腔的自再現模自再現模

44、。對于對稱腔情況，由“自再現要求自再現要求”，兩鏡面上的場分布，除了相差一個與位置坐標無關的復常數因子 (因而表示為振幅衰減和相位滯后振幅衰減和相位滯后)外，是完全相同的，因此自再現模的數學表達式為 1 11 1( (, ,) )( (, ,) )q qq qu ux xy yu ux xy y 第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 并考慮對稱腔有SiSiis用V(x,y)表示鏡面上這一不受衍射影響的穩定場分布函數，則有 1 1( (, ,) )( (, ,) )i ik kq qq qs si iu ux xy yu ux xy y e ed ds sL L 1 1 ( (

45、, , , , ,) )( (, ,) )( (, , , ,) ) ( ( , , ) )( (, , , ,) )s si ik kx x y y x xy yx xy yK K x xy yx xy yx xy yd ds si iK K x xy yx xy ye eL L 式中,K(x,y, x,y)稱為積分方程的核稱為諧振腔的衍射積分方程衍射積分方程或光腔的本征方程光腔的本征方程。滿足方程的任意一個函數v(x，y)稱為光腔的本征函數光腔的本征函數，相應的常數為本征值本征值，一個本征函數代表腔內一個自再現模(即橫模)，表示在鏡面上的一種場分布。一般而言，v(x,y)為復數，它的模|v

46、(x,y)|描述鏡面上的振幅分布，而輻角argv(x,y)則描述鏡面上場的相位分布。第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 三、三、 積分方程解的物理意義積分方程解的物理意義由于積分方程是二維的,故需要兩個模參數來區分這些不同的橫模。本征函數一般為復函數,其模描述開腔鏡面上光場的振幅分布模描述開腔鏡面上光場的振幅分布;輻角則描述鏡面上光場的相位分布輻角則描述鏡面上光場的相位分布。本征值也為復函數,其振幅和相位都具有直接的物理意義自再現模在腔內單程渡越所經受的平均相對功率損耗稱為模的平均單程損耗,簡稱單程損耗。在對稱開腔情況下,模的單程損耗模的單程損耗為mnmnmn( , )(

47、, , , )( , )vx yK x y x y vx y ds第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 n表明單程損耗隨橫模模式的不同而不同,并且|mn |愈大,模的單程損耗愈大。nmn 代表了自再現模在理想開腔中完成一次渡越時的總損耗,此損耗包括光束橫向幾何偏折損耗,同時也包括了衍射損耗。n以后將這類由諧振腔的幾何結構所引起的能量損失(不包括諸如腔內介質的吸收、散射等類型的損失)統稱為衍射損耗統稱為衍射損耗。2221mn2mn|11|jjjuuu 第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 n自再現模在腔內經單程渡越的總相移定義為n為使自再現模在腔內形成穩定振蕩

48、,必須滿足多光束相長干涉條件:n其在腔內往返一次的總相移為2的整數倍。因此,對稱開腔自再現模的諧振條件為:n由此式可確定模的諧振頻率。n 可見,mn 的模度量自再現模的單程損耗,其輻角度量自再現模的單程相 移,從而也決定了模的諧振頻率。j+1jmnmn1arguarguargmnmn1arg2第四節第四節 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 n對稱開腔:n自再現模積分方程的本征函數決定了鏡面上不同橫模光場的振幅和相位分布。n本征值決定了不同橫模的單程損耗、單程相移以及諧振頻率。n非對稱開腔:n按光場在腔內往返一周才能自再現這一條件寫出相應的積分方程。n此時,方程的本征函數解只能確定某一個

49、鏡面上的穩態場分布,n本征值的模表示自再現模在腔內往返一次的功率損耗,n輻角表示模往返一次的相移。第五節第五節 平行平面腔的自再現模平行平面腔的自再現模平行平面腔的自再現模所滿足的積分方程至今尚未得到精確的解析解:n本節首先給出矩形平行平面鏡腔模式積分方程的具體形式,n然后介紹條形鏡平行平面腔自再現模積分方程的數值迭代解法,n并根據計算結果分析條形鏡平行平面腔自再現模的特征。第五節第五節 平行平面腔的自再現模平行平面腔的自再現模一、平行平面腔的模式積一、平行平面腔的模式積分方程分方程設矩形腔鏡的邊長為2a和2b,且a、b、L、之間滿足如下關系:La,b將按(xx)/L, (y-y)/L的冪級數

50、展開為：222222()()()()xxyyLxxyyL 2 22 22 22 22 22 22 24 44 42 22 2 ( ( ) )( ( ) )L L ( () )( () )1 1L LL L1 1 1 1 1 1 1 1 L L 1 1+ + ( () )( () )- - ( () )( () )2 2L L2 2L L8 8L L8 8L L1 1 - - ( () )( () ). . . . . . 4 4L LL Lx xx xy yy yx xx xy yy yL Lx xx xy yy yx xx xy yy yx xx xy yy y 第五節第五節 平行平面腔的自

51、再現模平行平面腔的自再現模當滿足條件a2/L(L/a)2和b2/L0(arctan-arctan)-0ffffzzzz2222222222220 02222220 00 00 02 200000 0()()()()()()z-z =-z-z =-2R(z )2R(z )2(f +z )f2(f +z )f2(+z )2(+z )z zf fR(z )=+z R(z )=+z z zz xyxyxyz xyxyxy 第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模n上式表明,共焦腔行波場的等相位面是以z軸為旋轉軸的旋轉拋物面。n z00時,z-z00; nz00,表明等相面是凹面向著腔中心

52、的球面。由R(f)=2f=L可知行波場的等相面與共焦腔反射鏡面重合。n由R(0),R(),可知共焦腔中心位置以及距中心無限遠處的等相位面都是平面。n由R(z0 )=0,得z0 =f,可見共焦腔反射鏡面是曲率最大的等相位面。第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模4.遠場發射角遠場發射角共焦腔的基模光束按雙曲線規律從腔中心向外擴展,不同位置處光束的發散角不同。通常,將遠場發散角定義為基模高斯光束的發散角:相應高階模的遠場發散角為理論計算表明,共焦腔基模光束的發散角具有毫弧度的數量級,其方向性相當好。由于高階模的發散角是隨模階次而增大,所以多模振蕩時,光束的方向性要比單基模振蕩差。2

53、00002122 ( )2limlim222zzzwfww zzzfLfw002121mnmn第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模四、圓形球鏡共焦焦腔四、圓形球鏡共焦焦腔圓形球面鏡共焦腔的處理方法與方形鏡相似,只是由于反射鏡的孔徑為圓形,因此采用極坐標系統(r,)來討論。其模式積分方程的精確解析解是超橢球函數系,可以證明,當N足夠大時,圓形球面鏡共焦腔的自再現模為拉蓋爾多項式和高斯函數的乘積 式中,Ln m ()為拉蓋爾多項式2222cos( , )22sinosmrmmnmnnososmrrvrCLem第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模 2 其各高階橫模

54、TEMmn的場分布具有圓對稱形式,m表示沿輻角()方向的節線數目,n表示沿半徑(r)方向的節線圓數目,各節線圓沿r方向不是等距分布的。3.高階模的光斑隨著m,n的增加而增大,但在圓形鏡系統中光斑半徑隨n的增大要比隨m的增大來得更快。m0m1m22m0L ( )1L ( )11L ( )(1)(2)2(2)2.()!()L ( )()! !()!knnkmmmmnmmkk nk 圓形球面鏡共焦腔基模在鏡面上的振幅分布仍然是高斯型的,與方形球面鏡共焦腔情況類似。第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模a ar rg g( (1 1 / /) )a ar rg g( () )( (2

55、21 1) )2 2m mn nm mn nm mn nK KL Lm mn n 1 1 ( (2 21 1) ) 2 2 2 2m mn nq qc cq qm mn nL L 2 2 q qc cL L 共焦腔TEMmn模在腔內一次渡越的總相移為所以諧振頻率: 對于縱模對于橫模: 1 12 2 2 22 21 12 2 2 2q qm mn nq qc cL Lc cL L (21)2i kLmnmne與Vmn(r,)相應的本證值為：第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模n單程損耗:n即所有自再現模的損耗均為零。這一結果是在N無窮的情況下得到的。可見，當N為有限(但不太小)

56、時，拉蓋爾-高斯近似雖然能滿意地描述場分布及相移等特征，但卻不能用來分析模的損耗。222mnmn11 |1 |1 |0mnmn 第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模n只有精確解才能給出共焦模的損耗與N及橫模指標m和n的關系n福克斯和厲鼎毅用迭代法對圓形鏡對稱共焦腔模進行了數值求解。圓形鏡共焦腔幾個最低階模的損耗如圖所示。n與方形鏡共焦腔模的損耗比較，當菲涅耳數相同時，它的損耗比方形鏡腔類似橫模的損耗要小幾倍。第六節第六節 對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模行波分析:因此，對圓形鏡共焦腔行波場特性的分析可按與方形鏡同樣的方法進行。兩者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位

57、面的曲率半徑及光束發散角都完全相同。222( , , )( )002( , , )( 2)()( )( )( )ermmimirzwzmnmnnwrrErzA ELzeeew zw zwz22000222z2z( )112( , , )(21)arctan2()4mnw zwwfLLfwzrzrzk fzmnfzf第七節第七節 一般穩定球面腔的模式特征一般穩定球面腔的模式特征n共焦腔模式理論不僅能定量地說明共焦腔振蕩模本身的特征，更重要的是，它能被推廣到一般穩定球面腔系統，這一推廣是諧振腔理論中的一個重大進展。n任何一個共焦腔與無窮多個穩定球面腔等價任何一個共焦腔與無窮多個穩定球面腔等價。而任

58、任何一個穩定球面腔唯一地等價于一個共焦腔何一個穩定球面腔唯一地等價于一個共焦腔。這里所說的“等價”，就是指它們具有相同的行波場。n 這種等價性深刻地揭示出各種穩定腔(共焦腔也是其中的一種)之間的內在聯系，可以利用共焦腔模式理論的研究結果來解析地表述一般穩定球面腔模的特征。第七節第七節 一般穩定球面腔的模式特征一般穩定球面腔的模式特征 上述等價性是以共焦腔模式的空間分布，特別是其等相位面的分布規律為依據的。根據式(2612)，與腔的軸線相交于任意一點的等相位面的曲率半徑為一、一、 等價共焦腔等價共焦腔1）任意一個共焦球面）任意一個共焦球面(或拋物面或拋物面)腔與無窮多個穩定球腔與無窮多個穩定球面

59、腔等價。面腔等價。26節已經指明，如果我們在共焦場的任意兩個等相位面上放置兩塊具有相應曲率半徑的球面反射鏡，則共焦場將不會受到擾動。但這樣，我們就做成了一個新的諧振腔，它的行波場與原共焦腔的行波場相同于任一共焦腔模有無窮多個等相位面，因而我們可以用這種方法構成無窮多個等價球面腔。 2( ) |()| |zffR zfzfzz第七節第七節 一般穩定球面腔的模式特征一般穩定球面腔的模式特征n 現在證明，所有這些球面腔都是穩定腔。等相位面cl，c2為例，注意到關于球面腔曲率半徑R的符號規定，對放置在cl，c2處的反射鏡，應有不難證明：120(1)(1)1LLRR211112222221( )()()

60、()fRR zzzfRR zzzLzz 第七節第七節 一般穩定球面腔的模式特征一般穩定球面腔的模式特征2）任一滿足穩定性條件的球面腔唯一地等價于某）任一滿足穩定性條件的球面腔唯一地等價于某個共焦腔個共焦腔n意思是，如果某一個球面腔滿足穩定性條件，必定可以找到一個而且也只能找到一個共焦腔，其行波場的某兩個等相位面與給定球面腔的兩個反射鏡面相重合。第七節第七節 一般穩定球面腔的模式特征一般穩定球面腔的模式特征n由上式可知,當滿足穩定性條件0g1 g 2 0,這樣就證明了等價共焦腔的存在性。并且此等價共焦腔由式唯一地確定。由于穩定球面腔的行波場與其等價共焦腔的行波場相同,因此,穩定球面腔的模式特征可