1、 16541654年年, ,一個名叫梅累的騎士就一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒兩個賭徒約定賭若干局約定賭若干局, , 且誰先贏且誰先贏 c c 局便算贏家局便算贏家, , 若在若在一賭徒勝一賭徒勝 a a 局局 ( (a a c c),),另一賭徒勝另一賭徒勝b b局局( (b b c c) )時時便終止賭博便終止賭博, ,問應如何分配賭本問應如何分配賭本”為題求教于帕為題求教于帕斯卡斯卡, , 帕斯卡與費馬通信討論這一問題帕斯卡與費馬通信討論這一問題, , 于于1654 1654 年共同建立了概率論的第一個基本概念年共同建立了概率論的第一個基本概念數學期望數學期望.1. 概率論的誕生概率論的

2、誕生在一定條件下必然發生在一定條件下必然發生的現象稱為確定性現象。的現象稱為確定性現象。 “太陽每日從東天邊升太陽每日從東天邊升起起”; ;1.確定性現象確定性現象 “同性電荷互斥同性電荷互斥”; ;“水從高處向低處流水從高處向低處流”; ;實例實例：自然界所觀察到的現象自然界所觀察到的現象: 確定性現象確定性現象 隨機現象隨機現象在一定條件下，可能出現也可能不出現在一定條件下，可能出現也可能不出現的現象稱的現象稱為隨機現象。為隨機現象。實例實例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣在相同條件下擲一枚均勻的硬幣, ,觀察正觀察正 反兩面出現的情況反兩面出現的情況”。2. 隨機現象隨機現象 “函數在

3、間斷點處不連續函數在間斷點處不連續” ” 等等. .結果：有可能結果：有可能出現正面；出現正面； 也可能也可能出現反面。出現反面。確定性現象的特征確定性現象的特征 條件完全決定結果。條件完全決定結果。結果：有可能為結果：有可能為: :“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”。 實例實例3 “拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, ,觀察出現的點數觀察出現的點數”。 實例實例2 “用同一門炮向同一目用同一門炮向同一目 標發射同一種炮彈多枚，標發射同一種炮彈多枚， 觀察炮彈著落點的情況觀察炮彈著落點的情況”。結果結果: : 彈落點彈落點( (一般一般) )各不相同。各不相同。實例實例4 “

4、從一批含有正品從一批含有正品和次品的產品中任意抽取和次品的產品中任意抽取一個產品一個產品”。結果：可能為結果：可能為: : 正品正品，次品次品。實例實例5 “過馬路交叉口時，能遇過馬路交叉口時，能遇上不同顏色的交通指揮燈上不同顏色的交通指揮燈”。結果：可能為結果：可能為紅色紅色, ,綠色綠色或或黃色黃色。實例實例6 “一只燈泡的壽命一只燈泡的壽命”可長可短可長可短, ,應為應為0 0分分鐘。鐘。2.2. 隨機現象隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有在一次觀察中出現什么結果具有偶然偶然性性, , 但在大量重復試驗或觀察中但在大量重復試驗或觀察中, , 這些結果的出這些結果的出現具有一定的現具有一

5、定的統計規律性統計規律性。概率論與數理統計就。概率論與數理統計就是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門學科是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門學科. .隨機現象是通過隨機試驗來研究的隨機現象是通過隨機試驗來研究的。那么那么, ,什么是隨機試驗什么是隨機試驗?如何來研究隨機現象如何來研究隨機現象?歸納：歸納：1.1. 隨機現象揭示了隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性條件和結果之間的非確定性聯系聯系 , , 其數量關系無法用一般函數加以描述。其數量關系無法用一般函數加以描述。 1. 可以在相同的條件下重復地進行可以在相同的條件下重復地進行; 2. 每次試驗的可能結果不止一個每次試驗的可能結果不止

6、一個，并且在試并且在試驗之前能事先明確試驗的所有可能結果驗之前能事先明確試驗的所有可能結果; 3. 進行試驗之前不能確定試驗的哪一個可能進行試驗之前不能確定試驗的哪一個可能結果會出現結果會出現。定義定義 在概率論中在概率論中,把具有以下三個特征的試驗把具有以下三個特征的試驗稱為稱為隨機試驗隨機試驗：說明：說明： 1.1. 隨機試驗隨機試驗簡稱為簡稱為試驗試驗，是一個泛泛的術語。它，是一個泛泛的術語。它包括各種各樣的科學實驗，也包括對客觀事物進行包括各種各樣的科學實驗，也包括對客觀事物進行的的 “ “調查調查”、“觀察觀察”或或 “ “測量測量” ” 等。等。實例實例 “拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣

7、, ,觀觀察正面察正面, ,反面出現的情況反面出現的情況”. .分析：分析： 2. 2. 隨機試驗隨機試驗通常記為通常記為E 。(1) (1) 試驗可以在試驗可以在相同的條件下重復地進行相同的條件下重復地進行; ;1. “1. “拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, ,觀察出現的觀察出現的點數點數”；2. “2. “從一批產品中從一批產品中, ,依次任選三依次任選三件件, ,記記 錄出現正品與次品的件錄出現正品與次品的件數數”；同理可知下列試驗都為隨機試驗：同理可知下列試驗都為隨機試驗：(2) (2) 試驗的所有可能結果試驗的所有可能結果: :正面正面H H，反面，反面T T; ;(3) (3) 進行一

8、次試驗之前，能進行一次試驗之前，能確定哪一個結果會出現，確定哪一個結果會出現， 故為隨機試驗。故為隨機試驗。3. 3. 記錄某公共汽車站記錄某公共汽車站在某日上午某時刻的等在某日上午某時刻的等車人車人 數；數；4. 4. 考察某地區考察某地區 7 7 月份月份的平均降雨量；的平均降雨量；5. 5. 從一批燈泡中任取從一批燈泡中任取一只，測試其壽命。一只，測試其壽命。 規定不含任何元素的空集以及在試驗中必不會規定不含任何元素的空集以及在試驗中必不會發生的事件為不可能事件發生的事件為不可能事件, ,不可能事件用不可能事件用 表示。表示。隨機事件隨機事件 隨機試驗隨機試驗 E E 的樣本空間的樣本空

9、間 S S 的子集的子集( (或某些樣本點的集合或某些樣本點的集合) )，稱為，稱為 E E 的的隨機事件隨機事件, , 簡稱為簡稱為事件事件。 試驗中，骰子試驗中，骰子“出現的是出現的是1 1點點”, “, “出現的是出現的是2 2點點”, ,“, ,“出現的是出現的是6 6點點”, ,“點數不大于點數不大于4”,4”, 實例實例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, , 觀察出現的點數：觀察出現的點數：隨機事件。隨機事件。數為偶數數為偶數”等都為等都為“點點 每一個隨機試驗相應地有一個樣本空每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間間S, S, 樣本空間的子集稱隨機事件。樣本空間的子集稱隨機事件。隨機試驗隨

10、機試驗樣本空間樣本空間子子集集隨機事件隨機事件必然事件必然事件S S、不可能事件不可能事件是兩個特殊的是兩個特殊的隨隨機事件。機事件。必件然事即在試驗中必定發生的事件，常用即在試驗中必定發生的事件，常用S S表示表示; ; 不件可事能例如，在擲骰子試驗中，例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數小于擲出點數小于7 7”是必是必然事件然事件; ;即在一次試驗中不可能發生的事件，常用即在一次試驗中不可能發生的事件，常用 表示表示 .而而“擲出點數擲出點數8 8”則是不可能事件則是不可能事件. . 寫出擲骰子試驗的樣本點寫出擲骰子試驗的樣本點, ,樣本空間樣本空間, ,基基本事件本事件, ,事件事件AA出現

11、偶數點和事件出現偶數點和事件BB出現奇出現奇數點。數點。 i; 6, 1,ii解：解：用用 表示擲骰子出現的點數為表示擲骰子出現的點數為 基本事件基本事件 ; 6 , 2 , 1, iiAii ;,642 A。,531B例例1 1事件事件S=1,2,3,4,5,62, AACBASE、的的樣樣本本空空間間為為設設試試驗驗1 . 的事件的事件試驗試驗 E : 1.包含關系包含關系 BA發發生生必必然然導導致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或稱事件或稱事件包含事件包含事件則稱事件則稱事件發生發生 ( , AAB , ) 記記作作的的子子事事件件B . ABBA 或或 , 都有都有對于任何事件

12、對于任何事件 A . SA 相等關系相等關系 , 與與則則稱稱事事件件且且若若AABBA , 記作記作或稱等價或稱等價相等相等事件事件 B . BA : 2.和和事事件件 的的至少有一個發生所構成至少有一個發生所構成、事件事件BA . 記記作作的的和和與與事事件件事事件件叫叫做做事事件件BA . BA , 稱稱事事件件類類似似地地 2中中至至少少有有一一個個發發、nAAA1 生的事件為事件生的事件為事件. 21的的和和事事件件、nAAA記之為記之為 ,21nAAA 簡記為簡記為. 1iniA 稱事件稱事件 2件件為為中中至至少少有有一一個個發發生生的的事事、AA1. 2的和事件的和事件、事件事

13、件AA1 記記之之為為 ,21 AA 簡記為簡記為. 1iiA : 3.積事件積事件 同同時時發發生生所所構構成成的的事事件件、事事件件BA . 記記作作的的積積事事件件與與事事件件叫叫做做事事件件BA. ABBA或或 , 稱稱事事件件類類似似地地 21同同時時發發生生所所構構成成的的、nAAA 的事件為事件的事件為事件. 21的的積積事事件件、nAAA記之為記之為 ,21nAAA 簡記為簡記為. 1iniA 稱事件稱事件 21件為事件為事、同時發生所構成的事、同時發生所構成的事、AA. 21的積事件的積事件、件件AA 記記之之為為 ,21 AA 簡記為簡記為. 1iiA : 4.互互斥斥事事

14、件件 , 即即不能同時發生不能同時發生、若事件若事件BA . 相容事件相容事件. , BABA 記記為為可可將將當當兩兩事事件件互互不不相相容容時時 在一次試驗在一次試驗與事件與事件若事件若事件BA : 5.對對立立事事件件 ,滿足條件滿足條件、即即發生發生中必有且只有其中之一中必有且只有其中之一BA ABSAB 且且 , 、或或稱稱事事件件為為互互逆逆事事件件與與事事件件則則稱稱事事件件BABA . 的對立事件記為的對立事件記為事件事件互為對立事件互為對立事件A . A . 容容的的基基本本事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相 , ABAB 事事件件與與事事件件互互斥斥事事件件或或互互不不則稱則

15、稱為為 : 關關系系對對立立事事件件與與互互斥斥事事件件的的 . , 但互斥不一定對立但互斥不一定對立對立一定互斥對立一定互斥 兩事件兩事件A、B互斥：互斥：兩事件兩事件A、B互逆或互為對立事件互逆或互為對立事件即即A與與B不可能同時發生不可能同時發生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，還要求外，還要求 AB ABS : 6.差差事事件件 不發生所構不發生所構發生而事件發生而事件稱事件稱事件BA , 記作記作的差事件的差事件與事件與事件成的事件為事件成的事件為事件BA . BA ABABABA 系系及及運運算算可可以以用用下下列列以以上上事事件件之之間間的的各各種種關關 . 示各種維恩

16、圖來直觀地表BA BABABAB互斥互斥、 BAA 對立事件對立事件BABA ABABAAABABAB ; , : 1BAABABBA 交交換換律律 , : 2CBACBA 結結合合律律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分分配配律律 ; CBCACAB 事件的運算滿足的規律事件的運算滿足的規律 : 4對對偶偶律律摩摩根根律律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 3檢檢驗驗某某種種圓圓柱柱形形產產品品按按長長度度和和直直徑徑兩兩個個指指標標例例 , , . 直徑合格直徑合格

17、長度合格長度合格若設若設是否為合格品是否為合格品 BA , 產品為合格品產品為合格品的運算表示事件的運算表示事件、試用試用 CBA . 產產品品為為不不合合格格品品 D 解解 度度和和直直徑徑兩兩個個指指標標產產品品為為合合格格品品必必須須是是長長 , 因此因此合格合格ABC 度度和和直直徑徑兩兩個個指指標標產產品品為為不不合合格格品品是是指指長長 , 因此因此格格中至少有一個指標不合中至少有一個指標不合BAD . ABD 或或 1中的三個隨機中的三個隨機為樣本空間為樣本空間、設設練習練習SCBA : , 件件的的運運算算表表示示下下列列隨隨機機事事、試試用用事事件件CBA ; 1都都不不發發

18、生生與與發發生生而而CBA ; 2都不發生都不發生、CBA ; 3中恰好有一個發生中恰好有一個發生、CBA ; 4中至少有兩個發生中至少有兩個發生、CBA ; 5中至少有一個發生中至少有一個發生、CBA . 6中恰好有兩個發生中恰好有兩個發生、CBA 解解 CBA 1 2CBA 3CBACBACBA 4ABCCABCBABCA CBA 5CBACBACBA 或或BCACAB 或或 CABCBABCA 6 , 2記記進行三次射擊進行三次射擊設某射手對一目標接連設某射手對一目標接連練習練習 , , 次次未未擊擊中中目目標標第第次次擊擊中中目目標標第第iAiAii 3 , 2 , 1, , 3 , 2 , 1 表示事件表示事件試用試用 iAAiii 3 , 2 , 1 , 0, 1 jjBj次