1、 二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量的邊緣分布在已知二維隨機變量的聯合分布的前題下，有時候我們會感興趣在已知二維隨機變量的聯合分布的前題下，有時候我們會感興趣其中某個變量的分布，其中某個變量的分布，（稱作邊緣分布）（稱作邊緣分布）希望能由已知的聯合分希望能由已知的聯合分布求得。布求得。設二維隨機變量（設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布函數為）的聯合分布函數為,F x y則隨機變量則隨機變量 X 的分布函數為：的分布函數為： XFxP Xx,P Xx Y ,F x隨機變量隨機變量 Y 的分布函數為：的分布函數為： YFyP Yy,P XYy ,Fy XFx ,YFy分別稱分別稱 為為二維隨機變量

2、關于二維隨機變量關于 X 和關于和關于 Y的邊緣分布函數。的邊緣分布函數。事實上，對于一個二維隨機變量事實上，對于一個二維隨機變量 ，事件，事件 就是指事件就是指事件 YX,xX YxX, 二維離散型隨機變量的邊緣分布二維離散型隨機變量的邊緣分布121.2.iiXaaaPppp12.1.2.jjYbbbPppp1211112122122212.jjjiiiijbbbapppapppapppXYP1.p2.p. ip.P.1p.2p. jp.得得二維離散型隨機變量的邊緣分布是一維離散型分布二維離散型隨機變量的邊緣分布是一維離散型分布行和行和列和列和,0,00,20,41,01,21,411111

3、0691833P 例例1 設二維隨機變量設二維隨機變量 的聯合分布律為：的聯合分布律為：, 011233P0 241 172 9 18P試分別求出關于試分別求出關于 和和 的邊緣分布律的邊緣分布律及及21的分布律。的分布律。2115171172918P解：解：0241111069183112103331172918PP 二維連續型隨機變量的邊緣分布二維連續型隨機變量的邊緣分布關鍵是由二維隨機變量的聯合分布密度求出關于兩個隨機變量的關鍵是由二維隨機變量的聯合分布密度求出關于兩個隨機變量的邊邊緣分布密度。緣分布密度。一方面，我們有：一方面，我們有： XFxP Xx xXfx dx另一方面，我們有：

4、另一方面，我們有： ,XFxP Xx Y ,xf x y dy dx所以，所以， ,Xfxf x y dy同理，同理， ,Yfyf x y dx二維連續型隨機變量的邊緣分布是一維連續型分布二維連續型隨機變量的邊緣分布是一維連續型分布積分結果積分結果不含不含y y例例2 設二維隨機變量（設二維隨機變量（X，Y）的分布密度函數為：）的分布密度函數為： 26,01, 01,0,xyxyf x y別處別處求分別關于求分別關于 X ，Y 的邊緣分布密度。的邊緣分布密度。解：關于解：關于 X 的邊緣分布密度的邊緣分布密度 ,Xfxf x y dy01xx當當 或或 時，時， ,00Xfxf x y dyd

5、y01x當當 時，時， ,Xfxf x y dy01201060dyxy dydy2x 2 ,0Xxfx所以所以01x別處別處例例2 設二維隨機變量（設二維隨機變量（X，Y）的分布密度函數為：）的分布密度函數為： 26,01, 01,0,xyxyf x y別處別處求分別關于求分別關于 X ，Y 的邊緣分布密度。的邊緣分布密度。解：解：. 關于關于 Y 的邊緣分布密度的邊緣分布密度 ,Yfyf x y dx01yy當當 或或 時，時， ,00Yfxf x y dxdx01y當當 時，時， ,Yfyf x y dx01201060dxxy dxdx23y 23,0Yyfy所以所以01y別處別處例例

6、3 設二維隨機變量（設二維隨機變量（X，Y）的分布密度函數為：）的分布密度函數為： 8,01,0,xyyxf x y別處別處求分別關于求分別關于 X ，Y 的邊緣分布密度。的邊緣分布密度。解：關于解：關于 X 的邊緣分布密度的邊緣分布密度 ,Xfxf x y dy01xx當當 或或 時，時， ,00Xfxf x y dydy01x當當 時，時， ,Xfxf x y dy00080 xxdyxydydy23044xxyx 34,0Xxfx所以所以01x別處別處例例3 設二維隨機變量（設二維隨機變量（X，Y）的分布密度函數為：）的分布密度函數為： 8,01,0,xyyxf x y別處別處求分別關于

7、求分別關于 X ，Y 的邊緣分布密度。的邊緣分布密度。解：關于解：關于 Y 的分布密度的分布密度 ,Yfyf x y dx01yy當當 或或 時，時， ,00Yfyf x y dxdx01y當當 時，時， ,Yfyf x y dx11080yydxxydxdx122441yx yyy 241,0Yyyfy所以所以01y別處別處 D 是等可能的，求該點到是等可能的，求該點到 Y 軸的距離的分布函數。軸的距離的分布函數。例例4 設點（設點（X，Y）落在曲線）落在曲線 與與 X 軸之間的區域軸之間的區域22yxx解：由題意，（解：由題意，（X，Y）服從區域）服從區域 D 上的均勻分布。上的均勻分布。

8、D220423A Dxxdx因為因為3,4,0,x yDf x yx yD所以所以02xx當當 或或 時，時， ,00Xfxf x y dydy02x當當 時，時， ,Xfxf x y dy2202023004x xx xdydydy2324xx點到點到 Y 軸的距離的分布即坐標軸的距離的分布即坐標 X 的分布，的分布， D 是等可能的，求該點到是等可能的，求該點到 Y 軸的距離的分布函數。軸的距離的分布函數。例例4 設點（設點（X，Y）落有曲線）落有曲線 與與 X 軸之間的區域軸之間的區域22yxxD解：解：. 232,0240,Xxxxfx別處別處 00 xXFxdx0 x 當當 時時,0

9、2x當當 時，時， 0203024xXFxdxxxdx2x當當 時時, 02202302014xXFxdxxxdxdx32343xx所以，所以， XFx .由上面介紹我們看到：由聯合分布密度由上面介紹我們看到：由聯合分布密度 ,f x y可求出兩個邊緣分布密度可求出兩個邊緣分布密度 和和 Xfx Yfy反過來，由兩個邊緣分布密度反過來，由兩個邊緣分布密度 和和 Xfx Yfy能否求出聯合分布密度能否求出聯合分布密度 呢？呢？,f x y一般來說是不行的！一般來說是不行的！例如：設（例如：設（X，Y）服從二維正態分布，）服從二維正態分布，其密度函數為：其密度函數為：222122 121,21xy

10、xyf x ye,xy 反過來，由兩個邊緣分布密度反過來，由兩個邊緣分布密度 和和 Xfx Yfy一般不能一般不能得出聯合分布密度得出聯合分布密度,.f x y可求得，它的兩個邊緣分布分別是：可求得，它的兩個邊緣分布分別是： 221,2xXfxex 221,2yYfyey 不能確定不能確定 兩個隨機變量的相互獨立性兩個隨機變量的相互獨立性定義定義X 與與 Y 相互獨立相互獨立判別法判別法1 ,XYF x yFxFy離散型隨機變量離散型隨機變量 X 與與 Y 相互獨立相互獨立判別法判別法2設設 X，Y 是兩隨機變量，若對實軸上的任意兩個集合是兩隨機變量，若對實軸上的任意兩個集合則稱則稱 X 與與

11、 Y相互獨立。相互獨立。, i j有有.ijijppp連續型隨機變量連續型隨機變量 X 與與 Y 相互獨立相互獨立判別法判別法3 ,XYf x yfxfy121212,S SP XS YSP XSP YS均有均有 在實際問題或應用中，當在實際問題或應用中，當X X的取值與的取值與Y Y的取值的取值互不影響時，互不影響時，我們就認為我們就認為X X與與Y Y是相互獨立的，進是相互獨立的，進而把上述而把上述判別法判別法當公式運用當公式運用. . 在在X X與與Y Y是相互獨立的前提下是相互獨立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy例如例如 ： 0241111069183112103

12、331172918PP與與 非相互獨立。非相互獨立。0241111010201041111110201041111251052P212555P與與 是相互獨立。是相互獨立。又如例又如例 2 中中 ： 26,01, 01,0,xyxyf x y別處別處 23,0Yyfy01y別處別處 2 ,0Xxfx01x別處別處X 與與 Y 相互獨立。相互獨立。又如例又如例 3 中中 ： X 與與 Y非相互獨立。非相互獨立。8,01,0,xyyxf x y別處別處 241,0Yyyfy01y別處別處 34,0Xxfx01x別處別處,0,00,20,41,01,21,4111169183P 例例5 設二維隨機變量設二維隨機變量 和和 的聯合分布密度是：的聯合分布密度是： 問問 為何值時，為何值時， 與與 相互獨立？相互獨立？, 解：解：0241111069183121331112918PP111939291111831819這時可驗證這時可驗證 與