1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 內內 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1. 1. 標量場的方向導數(shù)與梯度標量場的方向導數(shù)與梯度方向導數(shù)方向導數(shù): :標量場在某點的方向導數(shù)表示標量場自該點沿某一方向標量場在某點的方向導數(shù)表示標量場自該點沿某一方向 上的變化率。上的變化率。 lPPllP)()(lim0 例如標量場例如標量場 在在 P 點沿點沿 l 方向上的方向導方向上的方向導數(shù)數(shù) 定義為定義為Pl PllP梯度梯度: :標量場在某點梯度的大小等于該點的標量場在某點梯度的大小等于該點的最大最大方向導數(shù)，梯度的方方向導數(shù)，梯度的方 向為該點具有向為該點具有最

2、大最大方向導數(shù)的方向。可見，方向導數(shù)的方向。可見，梯度是一個矢量梯度是一個矢量。zyxzyeeexgradzyxzyxeeegrad在直角坐標系中，標量場在直角坐標系中，標量場 的梯度可表示為的梯度可表示為式中式中grad 是英文字母是英文字母 gradient 的縮寫。的縮寫。若引入算符若引入算符，它在直角坐標系中可表示為，它在直角坐標系中可表示為則梯度可表示為則梯度可表示為通量：通量： 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的面積分稱為矢量的面積分稱為矢量 A 通過該有向曲通過該有向曲 面面 S 的通量，以標量的通量，以標量 表示，即表示，即 2. 矢量場的通量與散度矢量場的通量

3、與散度S d SA 通量可為正、或為負、或為通量可為正、或為負、或為零零。當矢量穿出某個閉合面時，認為。當矢量穿出某個閉合面時，認為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場的該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場的源源；當矢量進入這個閉合面時，認為；當矢量進入這個閉合面時，認為該閉合面中存在匯聚該矢量場的該閉合面中存在匯聚該矢量場的洞洞（或（或匯匯）。閉合的有向曲面的方向）。閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的通常規(guī)定為閉合面的外外法線方向。因此，當閉合面中有法線方向。因此，當閉合面中有源源時，矢量通時，矢量通過該閉合面的通量一定為過該閉合面的通量一定為正正；反之，當閉合面中有；反之，當閉合面中有洞洞時，矢量通過該時

4、，矢量通過該閉合面的通量一定為閉合面的通量一定為負負。所以，前述的。所以，前述的源源稱為稱為正源正源，而，而洞洞稱為稱為負源負源。 由物理得知，真空中的電場強度由物理得知，真空中的電場強度 E 通過任一閉合曲面的通量通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量 q 與真空介電常數(shù)與真空介電常數(shù) 0 之比，之比，即，即，可見，當閉合面中存在正電荷時，通量為正。當閉合面中存在負電可見，當閉合面中存在正電荷時，通量為正。當閉合面中存在負電荷時，通量為負。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通荷時，通量為負。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零

5、。這一電學實例充分地顯示出閉合面中正源、負源及無源的量為零。這一電學實例充分地顯示出閉合面中正源、負源及無源的通量特性通量特性。但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源。但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的的分布分布特性。為此需要研究矢量場的特性。為此需要研究矢量場的散度散度。 Sq 0dSE散度：散度：當閉合面當閉合面 S 向某點無限收縮時，矢量向某點無限收縮時，矢量 A 通過該閉合面通過該閉合面S 的的 通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場 A 在該在該 點的散度，以點的散度，以 div A 表示，即表示，即VSVd

6、 limdiv 0SAA式中式中div 是英文字母是英文字母 divergence 的縮寫，的縮寫， V 為閉合面為閉合面 S 包圍的體包圍的體積。上式表明，積。上式表明，散度是一個標量散度是一個標量，它可理解為通過包圍單位體積，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。閉合面的通量。 直角坐標系中散度可表示為直角坐標系中散度可表示為 zAyAxAzyxAdiv因此散度可用算符因此散度可用算符 表示為表示為AAdivSVV d d div SAA高斯定理高斯定理SVV d d SAA或者寫為或者寫為 從數(shù)學角度可以認為高斯定理建立了面積分和體積分的關系。從數(shù)學角度可以認為高斯定理建立了面積分和體

7、積分的關系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域 V 中的場和包圍區(qū)域中的場和包圍區(qū)域 V 的閉合面的閉合面 S 上的場之間的關系。因此，如果已知區(qū)域上的場之間的關系。因此，如果已知區(qū)域 V 中的場，中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界根據(jù)高斯定理即可求出邊界 S 上的場，反之亦然。上的場，反之亦然。環(huán)量：環(huán)量：矢量場矢量場 A 沿一條有向曲線沿一條有向曲線 l 的線積分稱為矢量場的線積分稱為矢量場 A 沿該曲沿該曲 線的環(huán)量，以線的環(huán)量，以 表示，即表示，即3. 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度l d lA可見，若在閉合有向曲線可見，若在閉合有向曲線

8、l 上，矢量場上，矢量場 A 的方向處處與線元的方向處處與線元 dl 的方的方向保持一致，則環(huán)量向保持一致，則環(huán)量 0；若處處相反，則；若處處相反，則 0 。可見，環(huán)量。可見，環(huán)量可以用來描述矢量場的可以用來描述矢量場的旋渦旋渦特性。特性。 由物理學得知，真空中磁感應強度由物理學得知，真空中磁感應強度 B 沿任一閉合有向曲線沿任一閉合有向曲線 l 的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導電流強度的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導電流強度 I 與真空磁導率與真空磁導率 0 的的乘積。即乘積。即 式中電流式中電流 I 的正方向與的正方向與 dl 的方向構成的方向構成 右旋右旋 關系。由此可見，環(huán)量關系。由此可見

9、，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強度，但是環(huán)量代表的是閉合曲可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強度，它不能顯示源的線包圍的總的源強度，它不能顯示源的分布分布特性。為此，需要研究特性。為此，需要研究矢量場的矢量場的旋度旋度。 Il0 d lB旋度：旋度：旋度是一個矢量。若以符號旋度是一個矢量。若以符號 rot A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，則其的旋度，則其 方向是使矢量方向是使矢量 A 具有最大環(huán)量強度的方向，其大小等于對具有最大環(huán)量強度的方向，其大小等于對 該矢量方向的最大環(huán)量強度，即該矢量方向的最大環(huán)量強度，即SlSd limrotmax 0nl

10、AeA式中式中 rot 是英文字母是英文字母 rotation 的縮寫，的縮寫，en 為為最大環(huán)量強度的方向上最大環(huán)量強度的方向上的單位矢量，的單位矢量，S 為閉合曲線為閉合曲線 l 包圍的面積。上式表明，矢量場的包圍的面積。上式表明，矢量場的旋度大小可以認為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。旋度大小可以認為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。 直角坐標系中旋度可用矩陣表示為直角坐標系中旋度可用矩陣表示為 zyxzyxAAAzyxeeeArot或用算符或用算符 表示為表示為AArot 應該注意，無論梯度、散度或旋度都是應該注意，無論梯度、散度或旋度都是微分運算微分運算，它們表示場在，它們

11、表示場在某點某點附近的變化特性，場中各點的梯度、散度或旋度可能不同。因此，附近的變化特性，場中各點的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是場的梯度、散度及旋度描述的是場的點點特性或稱為特性或稱為微分微分特性特性。函數(shù)的連續(xù)。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定義的梯度、散度或旋度。義的梯度、散度或旋度。 斯托克斯定理斯托克斯定理 lS d d)rot(lASA 同高斯定理類似，從數(shù)學角度可以認為同高斯定理類似，從數(shù)學角度可以認為斯托克斯斯托克斯定理建立了面積定理建立了面積分和線積分的

12、關系。從物理角度可以理解為分和線積分的關系。從物理角度可以理解為斯托克斯斯托克斯定理建立了區(qū)域定理建立了區(qū)域 S 中的場和包圍區(qū)域中的場和包圍區(qū)域 S 的閉合曲線的閉合曲線 l 上的場之間的關系。因此，如果上的場之間的關系。因此，如果已知區(qū)域已知區(qū)域 S 中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界 l 上的場，反上的場，反之亦然。之亦然。lS d d)(lASA或者寫為或者寫為 散度處處為散度處處為零零的矢量場稱為的矢量場稱為無散場無散場，旋度處處為，旋度處處為零零的的矢量場稱為矢量場稱為無旋場無旋場。 4. 4. 無散場和無旋場無散場和無旋場兩個重要公式：兩個重

13、要公式：0)(A0)( 左式表明，左式表明，任一矢量場任一矢量場 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零 。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。任何旋度場一定是無散場。 右式表明，右式表明，任一標量場任一標量場 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，或因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場者說，任何梯度場一定是無旋場。 5. 格林定理格林定理 設任意兩個標量場設任意兩個標量場 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)

14、域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，如下圖示。如下圖示。 SV,ne 那么，可以證明該兩個標量場那么，可以證明該兩個標量場 及及 滿足下列等式滿足下列等式SVSnV 2dd)(根據(jù)方向導數(shù)與梯度的關系，上式又可寫成根據(jù)方向導數(shù)與梯度的關系，上式又可寫成式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，的閉合曲面， 為標量為標量場場 在在 S 表面的外法線表面的外法線 en 方向上的偏方向上的偏導數(shù)。導數(shù)。nSVV 2d)(d)(S上兩式稱為上兩式稱為標量第一格林定理標量第一格林定理。SVSnnV 22dd)(SVV 22d d)(S基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：

15、上兩式稱為上兩式稱為標量第二格林定理標量第二格林定理。 設任意兩個矢量場設任意兩個矢量場 P 與與 Q ，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該矢量場那么，可以證明該矢量場 P 及及 Q 滿足下列等式滿足下列等式SVV d d )()(SQPQPQP式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，面元的閉合曲面，面元 dS 的方向為的方向為S 的外法線方向，上式稱的外法線方向，上式稱為為矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 基于上式還可獲得下式：基于上式還可獲得下式：SVV dd ()(SPQQPQPPQ此式稱為此式稱為矢量第二格林定理矢量第二格林定理。

16、 無論何種格林定理，都是說明無論何種格林定理，都是說明區(qū)域區(qū)域 V 中的場與中的場與邊界邊界 S 上的場之間的上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄鲫P系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。的求解問題。 此外，格林定理說明了此外，格林定理說明了兩種兩種標量場或矢量場之間應該滿足的關系。標量場或矢量場之間應該滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場的分布特性。場的分布特性。格林定理廣泛地用于電磁理論。格林定理廣泛地用于電磁理論。6.

17、 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場，當其位于某一區(qū)域中的矢量場，當其散度散度、旋度旋度以及邊界上以及邊界上場量的場量的切向切向分量或分量或法向法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。惟一地確定。 已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其理表明，矢量場被其源源及及邊界條件邊界條件共同決定的。共同決定的。 若矢量場若矢量場 F(r) 在在無限無限區(qū)域中處處是區(qū)域中處處是單值單值的，的， 且其且其導數(shù)連導數(shù)連續(xù)有界續(xù)有界，源分布在，源分布在有限有限區(qū)域區(qū)域 V 中，則當矢量場的中，則當矢量場的散度散度及及旋度旋度給定后，該矢量場給定后，該矢量場 F(r) 可以表示為可以表示為 7. 7. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrVVd)(41)(rrrFrA式中式中 可見，該定理表明任一矢量場均可表示為一個可見，該定理表明任一矢量場均可表示為一個無旋場無旋場與與一個一個無散場無散場之和之和。矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的