1、精品文檔1歡迎下載【知識網絡】知識點一：二次根式的概念形如JJ （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開方數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是人 為二次根式的前提條件，如卜，T 等是二次根式，而 J J 廠等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1.1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a a 0 0 時，、x x 有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大于或等于零即可。2.2.二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a a 0 0 時，沒有意義。知識點三：二次根式 ：1 1）的非負性）表示 a

2、a 的算術平方根，也就是說，/）是一個非負數，即八-0-0 （*）。注：因為二次根式-）表示 a a 的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0 0 的算術平方根是 0 0,所以非負數（-0）的算術平方根是非負數，即王 0 0 （肚蘭 ）,這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、第五章二次根式精品文檔2歡迎下載偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若罷+爲，則 a=O,b=Oa=O,b=O ;若血斗創=0 0，則 a=o,b=oa=o,b=o ；若-K一，貝 y y a=0,b=0a=0,b=0。知識點四：二次根式(；)；的性質文字語言敘述為：一個非負數的算術平方根的平方等于這

3、個非負數。注:二次根式的性質公式)是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若一】,則侮,如：2 2 = = (0)(0)二二(尸.知識點五：二次根式的性質好嚴0)文字語言敘述為：一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值。注：1 1、化簡丿，時，一定要弄明白被開方數的底數 a a 是正數還是負數，若是正數或 0,0,則等于 a a 本身，即 I I ：;若 a a 是負數，則等于 a a 的相反數-a,-a,即.1，；廣中的 a a 的取值范圍可以是任意實數，即不論a a 取何值，廣一定有意義； 3 3、化簡時，先將它化成丨，再根據絕對值的意義來進行化簡。知識點六：與二的異同

4、點1 1、不同點: U與廣表示的意義是不同的，表示一個正數 a a 的算術平方根的平方，而 上：表示一個實數 a a的平方的算術平方根；在v，-中-,而丿*中 a a 可以是正實數，0 0,負實數。但，：1與“廠2rr廠2= *1= 0,即9x 1的最小值為 0 0,因為 3 3 是常數，所以、9x 1 3的最小值為 3 3解：9x 10, ,9x 133當9x+1=0,即x 1時，3有最小值，最小值為3【解題策略】解決此類問題一定要熟練掌握二次根式的非負性，即、a0 0 (a0 0)專題 2 2 二次根式的化簡及混合運算【專題解讀】對于二次根式的化簡問題，可根據定義，也可以利用體情況對有關字

5、母的取值范圍進行討論例 2 2 下列計算正確的是a2|a|這一性質，但應用性質時，要根據具( )精品文檔4歡迎下載解：由a，b，c在數軸上的位置可知:A.,22B.2712.9 .4 13C. (2+ , 5)(2- , 5)1D.623遼分析 根據具體選項，應先進行化簡，再計算.A選項中，,822. 2、丄遼,B B 選若可化為C C 選項逆用平方差公式可求得(2 .5（2-、.5）= 4- 5= - 1，而 D D 選項應分子、分母都乘2，得. .故選 A.A.2例 3 3 計算1）2006（-、2 1）2007的結果是（）A. 1B. -1C. 2 1D. .2 1分析本題可逆用公式（a

6、b）m= =anbm及平方差公式，將原式化為（邁1）（邁1）嚴（邁1）邁1.故選 D.D.例 4 4 書知y、.x244X2x2x 8，求xjyy：x2 2；荷的值. .x的值應使分式有意義y、,224、4 2222 872,22x、y y x2、142卩7、22、1422、石7.22 .147&14.22【解題策略】本題中所求字母x的取值必須使原代數式有意義小35解：Q aw -，32a0,2a -50)，-a(aV0).例 6 6 已知實數,a，b，c在數軸上的位置如圖21-821-8 所示，化簡|a|a c)2c a)2b2分析本題主要利用二次根式的定義及非負例5化簡詰12a9-

7、 4a2-20a噸尹2)圖 21-821-8精品文檔5歡迎下載c0a c0,c a0,原式| a | | a c | | c a | b |a (a c) (c a) ba a c c a ba b.【解題策略】利用間接給出的或隱含的條件進行化簡時，要充分挖掘題目中的隱含條件，再進行化簡例7化簡| x 1| x24x4.解：原式|x 1| ,(x 2)2|x 1| |x 2|.令x 1 0,x 2 0,得1,x22,于是實數集被分為x-1,Kx2三部分，當x-1時，x 10,x-20,原式-(X1)(x-2) -3.當-1x：2時,x 1為0, x - 22時,x 10,x20,原式 (x1)

8、 (x2)3.3(x1),原式2x 1( 1x2).規律方法對于無約束條件的化簡問題需要分類討論，用這種方法解題分為以下步驟：首先，求出絕對值為零時未知數的值，這些未知數的值在數軸上的對應點稱為零點；其次，以這些零點為分點，把數軸劃分為若干部分，即 把實數集劃分為若干個集合，在每個集合中分別進行化簡，簡稱“零點分區間法”例 8 8 已知a b 3,ab 12,求b若的值分析 這是一道二次根式化簡題，在化為最簡二次根式的過程中，要注意a，b的符號，本題中沒明確告訴，a，b的符號，但可從a+ +b=-3=-3，ab=12=12 中分析得到. .解：a+ +b=-3=-3 ,ab=12=12,.a

9、0 0,b 0.0.bp a ,ab b_a衛2石2 ,T24、3. b. aba【解題策略】本題最容易出現的錯誤就是不考慮a,b的符號，把所求的式子化簡，直接代入專題3利用二次根式比較大小、進行計算或化簡例9估計.32 x , 1.20的運算結果應在()A.A. 6 6 到 7 7 之間D.D. 9 9 到 1010 之間分析 本題應計算出所給算式的結果，原式.204厶百，由于、456，即2 52.5，所以84 2. 59. .故選 C.C.例 1010 已知m是、13的整數部分，n是、.13的小數部分，求的值. .m nB.B. 7 7 到 8 8 之間C.C. 8 8 到 9 9 之間精

10、品文檔6歡迎下載解：9 9v 1313 1616,.1316，即 3 3,13y 0)0),使得xy= =b,x+ +y= =a,則a 2 b ( , x：y)2，于是.a 2 . b ,( .x、:y)2一xxy，從而使-.a 2 . b得到化簡例12若a,b為實數，且廠飛15，試求：:b2,a b2的值分析 本題中根據b= =,3 5a ,5a 3 15可以求出a,b,對b a2V a b:2的被開方數進行配方、化簡3 5a0,3解：由二次根式的性質得3 5a 0. a 3.5a 30,5b 15,a b0, a b0,x 10,即原式,fo.專題 6 6 代入法【專題解讀】通過代入求代數

11、式的值例 1414 已知a2b 2400,ab25760，求a2b2的值.解：由a2b 2400,ab25760,兩式相除得b 2.4a,Qa2b 2400,2.4a32400,a31000, a 10, b 2.4 10 24,a2b2-102242-676 26.專題 7 7 約分法【專題解讀】通過約去分子和分母的公因式將第二次根式化簡(a b)2(a b)2ab ab【解題策略】 對于形如-+ - 2或-a b a2形式的代數式都要變為2 2(a b或(a b的形式,abab當它們作為被例 1515化簡2_32.6、10 J5.精品文檔8歡迎下載解.2-232 . 6 .10 ,15.2

12、( :2 .3)V2履1(23)(,2+、5).2+ 5G 5.2)( .5 .2)5 2例 1616 化簡X y y gy).x 2、xy y解：原式網嚴 0,0,所以x 2.2.故填x 2.2.例 1919 如圖 21-921-9 所示的是一個簡單的數值運算程序，若輸入x的值為3，則輸出的數值為. .羽町1屯笳刁結束圖 21-921-9分析本題比較容易，根據程序給定的運算順序將問題化為二次根式求值問題，易知圖中所表示的代數式為 代入可知(.3.3 )2-仁 2.2.故填 2.2.專題 1010 分類討論思想.5（、2、3）xyC；xy） x j y M（x；y）C xvy）xyx21,精品

13、文檔9歡迎下載【專題解讀】當遇到某些數學問題存在多種情況時，應進行分類討論. .本意在運用公式|a|進行化簡時,例 2020 若化簡|1x|x28x 16的結果為2x 5，則x的取值范圍是( )A.A.x為任意實數B.B. 1 1wxw 4 4x 10，且4 x0，所以Kxw4,即 x的取值范圍是Kx4. .故選 B.B.【解題策略】對乙a2和| |a| |形式的式子的化簡都應分類討論. .例 2121 如圖 21-1021-10 所示的是一塊長、寬、高分別為 7cm,7cm, 5cm5cm 和 3cm3cm 的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面爬到和頂點A相對

14、的頂點B處吃食物，那么它要爬行的最短路徑的長是多少？分析 這是一個求最短路徑的問題，一個長方體有六個面，螞蟻有三種不同的爬行方法，計算時要分類討論各種方法，進而確定最佳方案解：沿前、右兩個面爬，路徑長為_(5 7)232153(cm)(cm)沿前、上兩個面爬，路徑長為沿左、上兩個面爬，路徑長為U3 7)252一 125(cm).(cm).(3 5)272,i73(cm).(cm).所以它要爬行的最短路徑長為、帀 cm.cm.規律方法沿表面從長方體的一個頂點爬到相對的頂點去，共有三個爬行路線，每個路線長分別是它爬行兩個展開圖的對角線的長二次根式單元測試題(一) 判斷題：(每小題 1 1 分，共

15、5 5 分)1- ：.;(2) ab= 2、ab .()2.2.3.3 2 2 的倒數是-.3-.3 + 2 2.()3.3.(x 1)2=(X 1)2.()4.4.Pab、1Jab、2旦是同類二次根式. ()3x b5.5.，jg，屈x2都不是最簡二次根式.()(二) 填空題：(每小題 2 2 分，共 2020 分)精品文檔10歡迎下載& &a(a21的有理化因式是 _.9.9.當 1 1vxv 4 4 時，| |x 4|4| +vx22x 1=_10.10. 方程 V2V2 (x 1 1)=x+ 1 1 的解是_.精品文檔11歡迎下載12.12.比較大小：2000 2001

16、1313.化簡：(7(7 5%5%2) ) 7 7 5 5 寸2) )_ =.1414若Jx 1+*y 3= 0 0,則( (x 1)1) + ( (y+ 3)3) =_.O15.15.x,y分別為 8 8 斗11的整數部分和小數部分，則2 2xyy=_ .(三)選擇題：(每小題 3 3 分，共 1515 分)16.16. 已知x33x2=x、x 3，則.()(A A)x 0 0( B B)x 3 3( D D) 3 3x 0 017.17. 若xvyv 0 0,則.x22xy y2+x22xy y2=.()(A A) 2 2x( B B) 2 2y( C C) 2 2x( D D) 2 2y

17、18.18. 若 0 0vxv 1 1,則.(x1)24, (x1)24等于.()2 2(A A)(B B)(C C) 2 2x(D D) 2 2xxx19.19.化簡.(av 0 0)得(a(A A).a(B B), a(C C. a(D D) 、.a20.20.當av 0 0,bv 0 0 時，一a+2abb可變形為.(（四）計算題：（每小題 6 6 分，共 2424 分）21.21. （ , 53. 2 ） （ . 5-.3、2）；254222.4州1173、7；ab nmn+mm1111.已知a、b、c為正數,d為負數，化簡ab c2d2ab、c2d2(A)(. a b )2(B)_(

18、.ab)2(C C)(. a . b)2(D) ( -a. b)22323.2a精品文檔12歡迎下載a+b_a b).ab b . ab a , ab六、解答題：（每小題 8 8 分，共 1616 分）（五） 求值:2525.已知x=（每小題 7 7 分，共 1414 分）J3 42_v 3屈312，= =.32，22x3爭 F 的值.26.26.當x= 1 1 -、2時，求2 2x a2a2x Jx2a2+1x2x x2a2x2a2的值.2424.(、a+b abQab(azb).1、99、100).28.28.若x,y為實數，且y=1 4x+4x 1+ -求x2y2V y x忙2x的值.（

19、一）判斷題：（每小題 1 1 分，共 5 5 分）1【提示】,（2）=| | 2|2| = 2 2.答案】X.2 2、 【提示】一=亙二=（J3J3 + 2 2）.答案】X. 1 1）.兩式相等，必須x 1 1.但等式左邊x可取任何數.【答X.27.27.計算(2 25+ 1 1)精品文檔13歡迎下載4 4、 【提示】1. a3b、2 a化成最簡二次根式后再判斷.【答案】.3xY b5 5、9 x2是最簡二次根式.【答案】x.(二) 填空題：(每小題 2 2 分，共 2020 分)6 6、 【提示】,x何時有意義？x0 0分式何時有意義？分母不等于零.【答案】x 0 0 且XM 9 9.7 7

20、、【答案】2 2a.、a.【點評】注意除法法則和積的算術平方根性質的運用.8 8【提示】(a-Ja21) (_ )=a2(Ja21)2.a+Ja21.【答案】a+Ja21.9 9、【提示】x2 2 2x+ 1 1=()2,x 1 1.當 1 1 0 0),Aabc2d2=(JOb cd)(JOE cd).1212、 【提示】2 2、.7=. 28, 4 4.3=, 48._ _ 11 1 1【答案】 0 0,y 30 0.當-f fx x1+y 3= 0 0 時，x+ 1 1 = 0 0,y 3 3= 0 0.1515、 【提示】T 3 3 vv1111 4,A_ 8 8_. 44 , 55.

21、由于 8 8介于 4 4 與 5 5 之間，則其整數部分x=?小數部分y=? x= 4 4,y= 4 4,11 【答案】5 5.【點評】求二次根式的整數部分和小數部分時，先要對無理數進行估算.在明確了二次根式的取值范圍后，其整數部 分和小數部分就不難確定了.(三) 選擇題：(每小題 3 3 分，共 1515 分)1616、 【答案】D.D.【點評】本題考查積的算術平方根性質成立的條件，(A A)、( C C)不正確是因為只考慮了其中一個算術平方根的意義.1717、 【提示】Txy 0,Axy 0 0,x+y 0 0.；x22xy y2= ；(x y)2= |xy| =yx.x22xy y2=(

22、x y)2= | |x+y| | = xy.【答案】C.【點評】本題考查二次根式的性質.a2= | |a| |.11111818、 【提示】( (x ) ) + 4 4 = ( (x+ ) ) , ( (x+ ) ) 4 4 = ( (x ) ).又 0 0 x 0 0, x x 0 0 .【答案】D.D.xx1【點評】本題考查完全平方公式和二次根式的性質.(A A)不正確是因為用性質時沒有注意當0 0 x 1 1 時，x 0 0.x1919、 【提示】、a3= a a2=- aa2= | |a| |a=a . a.【答案】C.C.2020、 【提示】a 0 0,b0 0,b0 0并且a= (

23、：、a)?, b=(. b)2，-. ab=、( a)( b).【答案】C.C.【點評】本題考查逆向運用公式(ja)2=a(a0 0)和完全平方公式.注意(A A)、( B B)不正確是因為a0 0,b 0 0 時，a、,b都沒有意義.(四)計算題：(每小題 6 6 分，共 2424 分)2121、 【提示】將55 .3.3 看成一個整體，先用平方差公式，再用完全平方公式.【解】原式=( (出)2C.2)2=5 5 2 2 襯15+ 3 3 2 2= 6 6 2*15.2222、 【提示】先分別分母有理化，再合并同類二次根式.精品文檔x14歡迎下載【解】原式=54型-4!4!II -2（3I）

24、= 4 4+11 -.11-.、7- 3 3+.1 =1 1.16 1111 79 72323、【提示】先將除法轉化為乘法，再用乘法分配律展開，最后合并同類二次根式.【解】原式=(a2.nab.mnY m m1nm1b2: mnmab1 1 1 +=b2ab a2b2mnmmn +2 2 t，Vnma b n na2ab12 2a b2424、【提示】本題應先將兩個括號內的分式分別通分，然后分解因式并約分.【解】原式=a Vab b Jab亠a4a(4a Jb) bJb(Va Jb) (a b)(a b) Ja /bJab&ab)/a lb)a b亠a2aVOb Wab b2a2b2.

25、a、bTab(pa ib)Cfa；b)ab(、a、b)(. a、b)vab(a b)【點評】本題如果先分母有理化，那么計算較煩瑣.（五）求值：（每小題 7 7 分，共 1414 分）2525、【提示】先將已知條件化簡，再將分式化簡最后將已知條件代入求值.【解【解】x=32= (、3,2)23,2=5 5 + 2 2、6,y=32.32=(_2)2=52x+y= 1010,xy= 4 4、6,xy= 5 52 (2(2 , ,6) )2= 1 1.32x xy_ = x(x y)(x y)x2y3x2y(x y)2xy(x y) 1x4y 2x3y2【點評】本題將x、y化簡后，根據解題的需要，先分別求出“2626、【提示】注意：x2+a2=（x2+a2x . x2a24=6.10 5x+y”、“xy”、“xy”.從而使求值的過程更簡捷.2X2 2. x a2)2，(.、x2;2x【解】原式=-VZVwx2x2. x2a2(2x x2ax),xxx2a2=x(Jx2a2x)