1、第 8 講二次函數. _1 熟練掌握二次函數的定義、圖象與性質.2 會求二次函數在閉區間上的最值.|諜前預可知識梳理1 二次函數的三種表達式一般式：f(x)= ax2+ bx+ c(az0)頂點式：若二次函數f(x)的頂點坐標為(k, h)，則其解析式為 f(x) =a(x- k)2+ h .零點式：若二次函數的圖象與x 軸的交點坐標為(xi,O),(血,0)，則其解析式為 f(x) = a(xxi)(x- X2)2.二次函數的圖象和性質解析式2f(x)=ax+bx+c(a0)2f(x)-ax+bx+c(a0當*， 時，恒有 f(x)0;0ta0,.亠當*時，恒有 f(x)0.0)在區間m,

2、n上的最值問題，有以下結論：1若 k m, n，則 ymin= f(k) = h, ymax= maxf(m), f(n).2若 k? m, n,當 kvm 時,y= f(x)在m, n上單調遞增，ymin= f(m), ymax= f(n);當 kn 時，y= f(x)在m, n上單調遞減，ymin= f(n), ymax= f(m).熱身練習1若二次函數的圖象的頂點為(2, 1),且過點(3,1)，則此函數的解析式為(B)2 2A . y= 2(x+ 2) 1 B . y= 2(x 2) 1C. y= 2(x+ 2)2 1 D. y= 2(x 2)2 1設所求函數的解析式為y= a(x 2

3、)2 1,把點(3,1)代入得 a= 2.故所求函數的解析式為y= 2(x 2)2 1.2.已知函數 f(x) = ax2+ bx+ c,如果 abc 且 a+ b+ c= 0,則它的圖象可能是(D)因為 abc 且 a + b + c= 0,所以 a0 , c 2 時，f(x)是增函數，有 f(2)vf(3)vf(4),又 f(2- 1)= f(2 + 1)，即 f(1)= f(3),所以 f(2)vf(1)vf(4).4 .若 f(x)= (m- 1)x2+ 2mx+ 3 為偶函數，則 f(x)在區間(一 5,- 2)上是(A)A .增函數B .減函數C .部分為增函數，部分為減函數D無法

4、確定增減性由 f(x)= f(-x),可得 m= 0,所以 f(x) = - x2+ 3，由此知 f(x)在(-5,- 2)上是增函數.5 .函數 f(x)=- 2x2- x+ 1, x - 3,1.1 1(1) f(x)的單調遞增區間為3,- 4，單調遞減區間為 4, 1；9(2) f(x)的最大值為，最小值為-14 .81 1(1) 當 x - 3,1時，函數 f(x)在-3,-上為增函數，在,1上為減函數.119(2) 當 x=-4 時，y 取得最大值 f(-4)= 8；1又因為 x=- 3 與對稱軸 x=- 4 的距離大于 x= 1 與對稱軸的距離，所以x=- 3 時取得最小值，且最小

5、值為f(-3) =- 14.高 _-二次函數的圖象與性質OD 若函數 f(x) = 2X2+ mx 1 在區間1 ,+ )上遞增，則 f( 1)的取值范圍為作出 f(x)的圖象,所以 1，解得 m4.4所以 f( 1) = m+ 1 5,所以 a 的取值范圍為5,+a).若 f(x)在5,5上單調遞減，則a 5,所以 aw5，所以 a 的取值范圍為(一 5.若 f(x)在5,5上單調，則a5 或a 5,所以 a 5.所以 a 的取值范圍為(一R,5U5 ,+).若 f(x)在5,5上不單調，則5 a5 ,所以一 5a 0,得 x 0,4,3所以問題轉化為求二次函數S=：x2+ x 在區間0,4

6、上的最大值與最小值.2因為對稱軸 x= 30)在區間m, n上的最值問題的討論，要注意如下幾點：1方法：數形結合法；軸定區間定的二次函數的最值2依據：函數的單調性;3關鍵：抓住對稱軸的位置進行討論.2212.(2017 北京卷)已知 x0, y0,且 x+ y= 1,則 x2+ y2的取值范圍是-,1(方法一)由 x+ y= 1，得 y= 1 x._ 2 2 2 2 2121又 x 0, y 0，所以 0WXW1, x + y = x + (1 x) = 2x 2x+ 1 = 2(x R +121由 0WxW1，得 0W(x 2)2W4，即2Wx2+ y2W1 所以 x2+ y2 , 1.22

7、2(方法二)x + y = (x+ y) 2xy,已知 x0, y0, x+ y= 1,所以 x2+ y2= 1 2xy.1因為 1 = x+ y 2 xy，所以 0WxyW4,1221所以壬1 2xyW1，即 x + y 【2 1.(方法三)依題意，x2+ y2可視為原點到線段 x+ y 1= 0(x0, y0)上的點的距離的平 方，如圖所示，2 2 2 2(x + y )max= |OA| = |OB| = 1.1 故 x + y 【2, 1.:二匚軸動或區間動的二次函數的最值2EB (經典真題)設函數 f(x)= x2+ ax+ b(a, b R).當 b =+ 1 時，求函數 f(x)

8、在 1,1上的最小值 g(a)的表達式.22 2故(x + y )min=(1|21.2)= 2,堪 3 當 b=a4+1 時，f(x)=(x+a)2+1,故函數的對稱軸為直線 x=a.當 aW2 時，f(x)在1,1上遞減,所以 g(a)= f(1) =a4+ a + 2.a當一 22 時，f(x)在1,1上遞增,2所以 g(a)= f( 1) = 4 a + 2.2a + a+2，aw2,綜上，g(a) =1, 22.對于軸動或區間動的二次函數在閉區間上的最值問題，要注意抓住對稱軸與所給區間的位置關系及二次函數的單調性進行分類討論.3.函數 f(x)= x2 2x + 2 在區間t, t+

9、 1上的最小值為 g(t)，求 g(t)的表達式及其最值.2f(x)= (x 1) + 1.當 tt+ 1, f(x)在t, t+ 1上單調遞減，所以g(t) = f(t+ 1) = t2+ 1,如圖(1)；當 0wtw1 時，x= 1 t, t+ 1,所以 x= 1 時，g(t) = f(1) = 1,如圖 ；ut *+l|0 1i0 P 1 H-l ii Qit t+lx(1)2當 t1 時,x= 1t, f(x)在t, t+ 1上單調遞增，所以g(t) = f(t) = (t 1) + 1,如圖 ,2t+ 1,t1.g(t)min= 1, g(t)無最大值.課0刑 _,1.對于函數 y= ax2+ bx+ c,要認為它是二次函數，就必須滿足a豐0,當題目條件未說明 0 時，就要分 a = 0 和 a豐0 進行討論.2. 二次函數的重要性質是單調性和對稱性，因此，研究二次函數的性質，要特別注意 對稱軸的位置.3.對二次函數 y= ax2+ bx + c 在m, n上的最值的研究是本節內容的重點，同時也是高考的熱點，2x=-b m, n時，4aCb是它的一個最值，另一個最值在區間端點處取得.2a-4.二次函數在某個區間上的最值問題的處理，常常要利用數形結合