1、量 子 力 學 習 題（三年級用）北京大學物理學院二OO三年第一章 緒論1、計算下列情況的波長，指出那種情況要用量子力學處理：（1）能量為的慢中子；被鈾吸收；（2）能量為粒子穿過原子；（3）飛行速度為100米/秒，質量為40克的子彈。2、兩個光子在一定條件下可以轉化為正、負電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現這種轉化，光子的波長最大是多少？3、利用關系，及園形軌道為各波長的整數倍，給出氫原子能量可能值。第二章 波函數與波動力學1、設（1）求歸一化常數（2）2、求的幾率流密度。3、若求其幾率流密度，你從結果中能得到什么樣的結論？（其中為實數）4、一維運動的粒子處于的狀態，其中求歸一化系數A和粒

2、子動量的幾率分布函數。5、證明：從單粒子的薛定諤方程得出的粒子的速度場是非旋的，即求證其中6、一維自由運動粒子，在時，波函數為求：第三章 一維定態問題1、粒子處于位場中，求：E時的透射系數和反射系數（粒子由右向左運動）2、一粒子在一維勢場中運動。（1）求粒子的能級和對應的波函數；（2）若粒子處于態，證明：3、若在x軸的有限區域，有一位勢，在區域外的波函數為如 這即“出射”波和“入射”波之間的關系，證明：這表明S是么正矩陣4、試求在半壁無限高位壘中粒子的束縛態能級和波函數5、求粒子在下列位場中運動的能級6、粒子以動能E入射，受到雙勢壘作用求反射幾率和透射幾率，以及發生完全透射的條件。7、質量為的

3、粒子處于一維諧振子勢場的基態，（1）若彈性系數突然變為，即勢場變為隨即測量粒子的能量，求發現粒子處于新勢場基態幾率；（2）勢場突然變成后，不進行測量，經過一段時間后，勢場又恢復成，問取什么值時，粒子仍恢復到原來場的基態。8、設一維諧振子處于基態，求它的，并驗證測不準關系。第四章 量子力學中的力學量1、 若證明：2、設的可微函數，證明（1）（2）3、證明4、如果，是厄密算符（1）證明是厄密算符；（2）求出是厄密算符的條件。5、證明：6、如果與它們的對易子都對易，證明（提示，考慮證明然后積分）7、設是一小量，算符存在，求證8、如是能量的本征函數（），證明從而證明：9、一維諧振子處在基態求： （1）

4、勢能的平均值（2）動能的平均值（3）動量的幾率分布函數其中10、若(1)(2)(3) 11、設粒子處于狀態，利用上題結果求12、利用力學量的平均值隨時間的變化，求證一維自由運動的隨時間的變化為：（注：自由粒子與時間無關）。第五章 變量可分離型的波動方程1、求三維各向異性的諧振子的波函數和能級。2、對于球方位勢試給出有的束縛態條件。3、設氫原子處于狀態求氫原子能量，角動量平方和角動量分量的可能值，以及這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均量。4、證明5、設氫原子處于基態，求電子處于經典力學不允許區域的幾率。6、設，求粒子的能量本征值。7、設粒子在半徑為，高為的園筒中運動，在筒內位能為0，筒壁和筒

5、外位能為無窮大，求粒子的能量本征值和本征函數。8、堿金屬原子和類堿金屬原子的最外層電子在原子實電場中運動，原子實電場近似地可用下面的電勢表示：其中，表示原子實的電荷，證明，電子在原子實電場中的能量為而為的函數，討論何時較小，求出小時，公式，并討論能級的簡并度。9、粒子作一維運動，其哈密頓量的能級為，試用定理，求的能級。10、設有兩個一維勢阱若粒子在兩勢阱中都存在束縛能級，分別為（1）證明（提示：令（2）若粒子的勢場中運動，試估計其束縛能總數的上、下限11、證明在規范變換下不變。12、計算氫原子中的三條塞曼線的波長。13帶電粒子在外磁場中運動，如選或試求其本征函數和本征值，并對結果進行討論。14

6、、設帶電粒子在相互垂直的均勻電場E及均勻磁場B中運動，求其能譜和波函數（取磁場方向為Z軸方向，電場方向為X軸方向）。第六章 量子力學的矩陣形式及表象理論1、列出下列波函數在動量表象中的表示（1）一維諧振子基態：（2）氫原子基態：2、求一維無限深位阱（0a）中粒子的坐標和動量在能量表象中的矩陣元。3、求在動量表象中角動量的矩陣表示。4、在（）表象中，求的空間中的的可能值及相應幾率。5、設，試用純矩陣的方法，證明下列求和規則（提示：求然后求矩陣元）6、若矩陣A，B，C滿足（1）證明：；（2）在A表象中，求B和C矩陣表示。7、設分別寫出表象和表象中及的矩陣表示。8、在正交基矢和展開的態空間中，某力學

7、量求在態中測量A的可能值，幾率和平均值。第七章自 旋1、設為常數，證明。2、若證明3、在表象中，求的本征態，是方向的單位矢。4、證明恒等式：其中都與對易。5、已知原子的電子填布為，試給出（1）簡并度；（2）給出耦合的組態形式；（3）給出耦合的組態形式；6、電子的磁矩算符，電子處于的本征態中，求磁矩。7、對于自旋為的體系，求的本征值和本征態，在具有較小的本征值所相應的態中，測量的幾率是多大？8、自旋為的體系，在時處于本征值為的的本征態，將其置于的磁場中，求時刻，測量取的幾率。9、某個自旋為的體系，磁矩時，處于均勻磁場中，指向方向，時，再加上一個旋轉磁場，其方向和軸垂直。其中已知時，體系處于的本征

8、態，求時，體系的自旋波函數，以及自旋反向所需要的時間。10、有三個全同粒子，可以處于三個單粒子態上，當三種情形下的對稱或反對稱波函數如何寫？11、兩個全同費米子體系處于一個二維方勢阱中，假設兩粒子間無相互作用，求體系最低兩上能級的能量和波函數。12、設有兩個全同粒子，處于一維諧振子勢中，彼此間還有與相互距離成正比的作用力，即位能為求體系的能量本征值及本征函數，按波函數的交換對稱性分別討論之。第八章 量子力學中的近似方法一、定態微擾論1、設一體系未受微擾作用時只有兩個能級：及現在受到微擾的作用，微擾矩陣元為都是實數，用微擾公式求能量至二級修正值。2、一個一維線性諧振子受一恒力作用，設力的方向沿方

9、向： （1）用微擾法求能量至二級修正； （2）求能量的精確值，并與（1）所得結果比較。3、設在表象中，矩陣表示為試用微擾論求能量的二級修正。4、設自由粒子在長度為的一維區域中運動，波函數滿足周期性邊條件波函數的形式可取為設粒子還受到一個“陷阱”的作用試用簡并微擾論計算能量一級修正。5、一體系在無微擾時有兩條能級，其中一條是二重簡并的，在表象中在計及微擾后，哈密頓量為（1）用微擾論求本征值，準到二級近似；（2）把嚴格對角化，求的精確本征值，然后進行比較。二 變分法1、試用變分法求一維諧振子的基態波函數和能量（試探波函數取，為特定參數）。2、設氫原子的基態試探波函數取為為歸一化常數，為變分參數，求

10、基態能量，并與精確解比較。3、粒子在一維勢場中運動（當，試證明：至少存在一個束縛態取試探波函數。三、量子躍遷1、 氫原子處于基態，受到脈沖電場作用是常數試用微擾論計算電子躍遷到各激發態的幾率以及仍停留在基態的幾率。2、具有電荷的離子，在其平衡位置附近作一維簡諧運動。在光的照射下發生躍遷，入射光能量密度分布為，波長較長，求（1）躍遷選擇定則；（2）設離原來處于基態，求躍遷到第一激發態的幾率。3、設把處于基態的氫原子放在平板電容器中，取平板法線方向為Z軸方向，電場沿Z軸方向可視為均勻，設電容器突然充電，然后放電，電勢隨時間變化為 （為常數）求充分長的時間之后，氫原子躍遷到態及態的幾率。4、有一自旋，磁矩，電荷為零的粒子，置于磁場中，開始時，粒子處于的本征態，即時，再加上沿方向較弱的磁場從而，求時，粒子的自旋態，以及測得自旋“向上”的幾率。四、散射問題1、用玻恩近似法，求在下列勢中的散射微分截面 （1） （2）2、用分波法公式，證明光學定量3、設勢場用分波法求分波的相移。4、質量為的粒子束，被球殼勢場散射。在高能近似下，用玻恩近似法計算散射振幅和微分截面。5、求各分波相移，并和剛球散射的結果比較。6、求中子一中子低能波散射截面，設兩中子間的作用為其中是兩中子的自旋算符，入射