1、1 隨機(jī)景象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性意大利文藝復(fù)興時(shí)代，意大利文藝復(fù)興時(shí)代，1494 1494 年帕奇歐在它的教科書里有這年帕奇歐在它的教科書里有這樣一個(gè)問(wèn)題。假設(shè)一個(gè)競(jìng)賽中贏樣一個(gè)問(wèn)題。假設(shè)一個(gè)競(jìng)賽中贏 6 6 次才算贏，兩個(gè)賭徒在次才算贏，兩個(gè)賭徒在甲贏甲贏 5 5 次，乙贏次，乙贏 2 2 次的情況下中斷賭博的話，總賭金應(yīng)按次的情況下中斷賭博的話，總賭金應(yīng)按 5 5 ：2 2分給兩個(gè)人。對(duì)不對(duì)？分給兩個(gè)人。對(duì)不對(duì)？不對(duì)，應(yīng)按不對(duì)，應(yīng)按 15 15：1 1 分配給兩個(gè)人分配給兩個(gè)人例例1 1一、隨機(jī)景象一、隨機(jī)景象答案答案為了搞清楚隨機(jī)景象為了搞清楚隨機(jī)景象, 我們先看兩個(gè)例子我們先看兩個(gè)例子:例例2

2、某車間有二百臺(tái)車床某車間有二百臺(tái)車床,每臺(tái)任務(wù)時(shí)耗電一千瓦。每臺(tái)任務(wù)時(shí)耗電一千瓦。由于檢修，改換刀具，丈量等緣由，每臺(tái)車床由于檢修，改換刀具，丈量等緣由，每臺(tái)車床只需百分之六十的時(shí)間在任務(wù)，問(wèn)供應(yīng)這個(gè)車只需百分之六十的時(shí)間在任務(wù)，問(wèn)供應(yīng)這個(gè)車間多少電，才干以間多少電，才干以99.9的把握保證不會(huì)由于缺電的把握保證不會(huì)由于缺電而影響消費(fèi)？而影響消費(fèi)？答案答案供應(yīng)它供應(yīng)它141千瓦電千瓦電, 就能以就能以99.9的把的把握保證不會(huì)由于缺電而影響消費(fèi)握保證不會(huì)由于缺電而影響消費(fèi)這兩個(gè)問(wèn)題都是處置的隨機(jī)性景象，它是這兩個(gè)問(wèn)題都是處置的隨機(jī)性景象，它是我們要學(xué)習(xí)的概率論的研討范疇我們要學(xué)習(xí)的概率論的研討

3、范疇例如數(shù)學(xué)分析，微分方程等研討的內(nèi)容。例如數(shù)學(xué)分析，微分方程等研討的內(nèi)容。在一定的條件下反復(fù)察看，具有多種能夠的結(jié)果，在一定的條件下反復(fù)察看，具有多種能夠的結(jié)果，但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果。但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果。從上述例子可知：自然界景象分為以下兩種從上述例子可知：自然界景象分為以下兩種確定性的確定性景象：確定性的確定性景象：在一定的條件下必然發(fā)生的景象。在一定的條件下必然發(fā)生的景象。隨機(jī)性的隨機(jī)景象：隨機(jī)性的隨機(jī)景象：例如概率統(tǒng)計(jì)例如概率統(tǒng)計(jì)二、頻率的穩(wěn)定性二、頻率的穩(wěn)定性隨機(jī)性景象的一個(gè)的能夠結(jié)果經(jīng)常被稱為隨機(jī)事件隨機(jī)性景象的一個(gè)的能夠結(jié)果經(jīng)常被稱為隨機(jī)事件在進(jìn)展個(gè)別實(shí)驗(yàn)或察看時(shí)，

4、一個(gè)隨機(jī)事件在進(jìn)展個(gè)別實(shí)驗(yàn)或察看時(shí)，一個(gè)隨機(jī)事件具有不確定性，但在大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中，它又具有具有不確定性，但在大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中，它又具有規(guī)律性規(guī)律性頻率的穩(wěn)定性。頻率的穩(wěn)定性。頻率的定義頻率的定義 Def 1 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)事件，假設(shè)在次實(shí)驗(yàn)中，設(shè)是一個(gè)隨機(jī)事件，假設(shè)在次實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)了出現(xiàn)了n次次, 那么稱：那么稱：()NnFAN隨機(jī)事件在次實(shí)驗(yàn)中的頻率隨機(jī)事件在次實(shí)驗(yàn)中的頻率歷史上曾有人做過(guò)實(shí)驗(yàn), 證明擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的時(shí)機(jī)均等。 實(shí)驗(yàn)者 n F(A)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 601

5、9 0.5016K. Pearson 24000 12021 0.5005這些實(shí)驗(yàn)完全證明了這些實(shí)驗(yàn)完全證明了頻率的穩(wěn)定性。頻率的穩(wěn)定性。 即頻率在一個(gè)確定的數(shù)附近變化即頻率在一個(gè)確定的數(shù)附近變化.頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)非負(fù)性：非負(fù)性：()0NFA規(guī)范性：規(guī)范性：()1,NF這里是必然事件。可加性：設(shè)、是兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的隨可加性：設(shè)、是兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的隨機(jī)事件，表示、中至少機(jī)事件，表示、中至少有一個(gè)要發(fā)生，那么可以證明：有一個(gè)要發(fā)生，那么可以證明：NNNFABFAFB（）（ ）+ （ ），注注這幾點(diǎn)的證明見(jiàn)魏中舒的教材這幾點(diǎn)的證明見(jiàn)魏中舒的教材P15.三、頻率與概率三、頻率與概率Def2在大

6、量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)隨機(jī)事件在大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)隨機(jī)事件A的頻率在一個(gè)確的頻率在一個(gè)確定的數(shù)附近動(dòng)搖定的數(shù)附近動(dòng)搖, 這個(gè)數(shù)就稱為是這個(gè)數(shù)就稱為是隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的概率的概率, 記作記作: P(A) 。概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)事件，假設(shè)在次實(shí)驗(yàn)中，設(shè)是一個(gè)隨機(jī)事件，假設(shè)在次實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)了出現(xiàn)了n次次, 那么稱：那么稱：()NnFAN隨機(jī)事件在次實(shí)驗(yàn)中的頻率隨機(jī)事件在次實(shí)驗(yàn)中的頻率概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)非負(fù)性：非負(fù)性：()0PA規(guī)范性：規(guī)范性：()1,P 這里是必然事件。可加性：設(shè)、是兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的隨可加性：設(shè)、是兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的隨機(jī)事件，表示、中至少機(jī)事件，表示、中至少

7、有一個(gè)要發(fā)生，那么可以證明：有一個(gè)要發(fā)生，那么可以證明：ABP ABP（）（ ）+P（ ）， 從概率的統(tǒng)計(jì)定義不難看出：概率是客觀存在的從概率的統(tǒng)計(jì)定義不難看出：概率是客觀存在的, 頻率是它的外部表現(xiàn)。頻率是它的外部表現(xiàn)。 這樣應(yīng)該和頻率具有一樣性質(zhì)：這樣應(yīng)該和頻率具有一樣性質(zhì)：四、概率論是什么？四、概率論是什么？ 概率論是研討隨機(jī)景象數(shù)量規(guī)律概率論是研討隨機(jī)景象數(shù)量規(guī)律的一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科一、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)一、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)為了對(duì)隨機(jī)景象加以研討所進(jìn)展的察看或?qū)嶒?yàn)記作：為了對(duì)隨機(jī)景象加以研討所進(jìn)展的察看或?qū)嶒?yàn)記作：E E。2 樣本空間與隨機(jī)事件隨機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn): :特點(diǎn)：特點(diǎn)：1 在一樣

8、條件下反復(fù)地進(jìn)展；實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并且實(shí)驗(yàn)一切能夠的結(jié)果實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并且實(shí)驗(yàn)一切能夠的結(jié)果 事先是確定的；事先是確定的；3 進(jìn)展一次實(shí)驗(yàn)進(jìn)展一次實(shí)驗(yàn), 實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。樣本空間的元素即樣本空間的元素即E的每個(gè)結(jié)果。的每個(gè)結(jié)果。 1：H，TE的一切能夠結(jié)果組成的集合的一切能夠結(jié)果組成的集合 記作：記作：樣本空間：樣本點(diǎn)：E2：將一枚硬幣拋擲三次，察看正面：將一枚硬幣拋擲三次，察看正面H，反面，反面T出現(xiàn)的情況。出現(xiàn)的情況。 2：HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT例：例：E1：拋一枚硬幣，察看正面：拋一枚硬

9、幣，察看正面H有幣值的一面有幣值的一面 反面反面T出現(xiàn)的情出現(xiàn)的情 況。況。二、樣本空間，隨機(jī)事件二、樣本空間，隨機(jī)事件 3：1，2，3，4，5，6E4：記錄交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。：記錄交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。 4：0，1，2，3，. ，E3：拋一枚骰子，察看出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。：拋一枚骰子，察看出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E5：在一批燈泡中恣意抽取一只，測(cè)試它的壽命。：在一批燈泡中恣意抽取一只，測(cè)試它的壽命。 5：0 ttE6：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。 6：),(10TyxTyx 表表示示最最高高溫溫度度表表示示最最低低溫溫度度， yx10 TT ，不

10、不會(huì)會(huì)大大于于小小于于設(shè)設(shè)這這一一地地區(qū)區(qū)的的溫溫度度不不會(huì)會(huì)隨機(jī)事件：1 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn) E 的每一個(gè)能夠結(jié)果；的每一個(gè)能夠結(jié)果；2 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 的子集；的子集；3 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，能夠發(fā)生也能夠不發(fā)生的結(jié)果。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，能夠發(fā)生也能夠不發(fā)生的結(jié)果。 闡明：三個(gè)定義為等價(jià)定義闡明：三個(gè)定義為等價(jià)定義E7：記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)設(shè)以百分制記分。：記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)設(shè)以百分制記分。 7：為為小小班班人人數(shù)數(shù)。其其中中 nnini, 100 , . , 2 , 1 , 0 事件發(fā)生：這一子集的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)。根身手件：1 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集； 2

11、不能夠再分的事件。 兩個(gè)定義等價(jià)。復(fù)合事件：由假設(shè)干根身手件組合而成的事件。必然事件：在每次實(shí)驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，也就是確定性景象。不能夠事件：在每次實(shí)驗(yàn)中都不發(fā)生的事件。 是是的子集的子集不包含不包含中的恣意樣本點(diǎn)。中的恣意樣本點(diǎn)。樣本空間樣本空間 包含一切的樣本點(diǎn)，包含一切的樣本點(diǎn)， 是是 本身的子集本身的子集 。例：例：例例:三、事件之間的關(guān)系及運(yùn)算三、事件之間的關(guān)系及運(yùn)算隨機(jī)實(shí)驗(yàn)隨機(jī)實(shí)驗(yàn) E樣本空間樣本空間 子集子集A，B，kA隨機(jī)事件隨機(jī)事件BA 1 假設(shè)假設(shè)那么稱事件那么稱事件 B 包含事件包含事件 A。假設(shè)假設(shè)BA AB 且且即即BA 稱事件稱事件 A 與事件與事件 B 相等。相

12、等。2 和事件和事件BA BxAxx 或或?yàn)槭录槭录嗀與事件與事件B的和事件，的和事件，關(guān)系關(guān)系其概率意義：事件其概率意義：事件 A 發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B 發(fā)生。發(fā)生。稱稱其概率意義：事件其概率意義：事件A與事件與事件B至少發(fā)生一個(gè)。至少發(fā)生一個(gè)。A與與B的和事件可以用以下的和事件可以用以下Vens圖表示：圖表示： 都是隨機(jī)事件，都是隨機(jī)事件，推行推行 nkkA1稱為稱為 n 個(gè)事件個(gè)事件的和事件的和事件nAAA,211 kkA稱為可列個(gè)事件稱為可列個(gè)事件,21AA的和事件。的和事件。假設(shè)假設(shè)nAAA,21其概率意義是：事件其概率意義是：事件至少發(fā)生一個(gè)。至少發(fā)生一個(gè)。nAA

13、A,21同理：同理：3 事件的交事件的交BA BxAxx 且且稱為事件稱為事件 A 與事件與事件 B 的交事件的交事件,nkkA1 稱為稱為n個(gè)事件個(gè)事件的積事件的積事件.nAAA,21 1 kkA稱為可列個(gè)事件稱為可列個(gè)事件,21AA的積事件的積事件.記作記作AB.的概率意義是：的概率意義是： 事件事件 A 與事件與事件 B同時(shí)發(fā)生。同時(shí)發(fā)生。BAnkkA1 1 kkA的概率意義是什么？的概率意義是什么？A與與B的交事件可以用以下的交事件可以用以下Venn圖表示：圖表示：4 差事件差事件BA BxAxx 且且稱事件稱事件 A 與事件與事件 B 的差事件，的差事件，記作記作A.BVenn圖表示

14、是：圖表示是：稱事件稱事件 A 與事件與事件 B 為互逆事件或?qū)α⑹录榛ツ媸录驅(qū)α⑹录?A 的對(duì)立事件記作的對(duì)立事件記作,A.AA 且且5 假設(shè)假設(shè),AB 稱事件稱事件A與事件與事件B為互斥事件或互不相容事件為互斥事件或互不相容事件.闡明：其根身手件是兩兩互不相容的。闡明：其根身手件是兩兩互不相容的。假設(shè)假設(shè)A，B是互不相容事件，那么稱是互不相容事件，那么稱BA為直和，為直和， 并記作并記作A+B6 假設(shè)假設(shè) AB ,AB且且運(yùn)算定律運(yùn)算定律設(shè)設(shè) A，B，C 為事件，那么為事件，那么有有交換率：交換率：ABBA ; ABBA 結(jié)合率：結(jié)合率：CBACBA)()( CBACBA)()( 分配

15、率：分配率：)()()(CABACBA )()()(CABACBA 德德 摩根定律摩根定律De Morgan)De Morgan)：BABA BABA 對(duì)于對(duì)于n個(gè)事件可列個(gè)事件可推行為個(gè)事件可列個(gè)事件可推行為nkknkkAA11 nkknkkAA11 11kkkkAA 11kkkkAA運(yùn)算順序?yàn)檫\(yùn)算順序?yàn)? 逆運(yùn)算，逆運(yùn)算，2 交運(yùn)算，交運(yùn)算，3 并或差運(yùn)算，并或差運(yùn)算，”“”或或“ ”“例例 1教材第教材第19頁(yè)例題頁(yè)例題6設(shè)設(shè)A，B，C為三事件，用為三事件，用A，B，C的運(yùn)算表示以下各事件。的運(yùn)算表示以下各事件。1A發(fā)生發(fā)生B與與C不發(fā)生；不發(fā)生；CBA )(CBA 2A 與與B 都發(fā)生

16、，而都發(fā)生，而 C不發(fā)生；不發(fā)生；CABCAB ABCAB 3A ，B，C 中至少有一個(gè)發(fā)生；中至少有一個(gè)發(fā)生；CBAABCBCACBACABCBACBACBA 4A，B，C都發(fā)生；都發(fā)生；ABC5A ，B ， C都不發(fā)生；都不發(fā)生；CBA 6A ，B，C 中不多于一個(gè)發(fā)生；中不多于一個(gè)發(fā)生；CBACBACBACBA BACACB ABCABCBCACBACABBCACAB 7A ，B，C 中不多于兩個(gè)發(fā)生；中不多于兩個(gè)發(fā)生；8A ，B，C 中至少有兩個(gè)發(fā)生；中至少有兩個(gè)發(fā)生；ABC CBA 試求事件試求事件“甲種產(chǎn)品滯銷，且乙種產(chǎn)品暢銷的對(duì)立事件。甲種產(chǎn)品滯銷，且乙種產(chǎn)品暢銷的對(duì)立事件。解：解：設(shè)設(shè) A 表示表示“甲種產(chǎn)品暢銷，甲種產(chǎn)品暢銷， B 表示表示“乙種產(chǎn)品暢銷