溫州市普通高中2025屆高三第二次適應性考試數(shù)學試題卷2025.3本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名，準考證號填寫在答題卷上，將．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊，不要弄破．（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．雙曲線A．的一個焦點為，則C．3（▲）B．D．2．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于（▲）A．1B．，則“C．3”是“D．63．已知隨機變量A．充分不必要條件C．充要條件”的（▲）B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．若向量A．滿足，則在上的投影向量是（▲）B．B．C．D．5．已知數(shù)列A．滿足，若，則的取值范圍是（▲）C．D．數(shù)學試題卷第1頁共4頁6．某班級有30名男生和20名女生，現(xiàn)調查學生周末在家學習時長（單位：小時），得到男生樣本數(shù)據(jù)的平均值為8，方差為2，女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5，方差為0.75，則該班級全體學生周末在家學習時長的平均值和方差的值分別是（▲）A．C．B．D．7．已知函數(shù)），則兩個函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合的是（▲A．與B．C．D．與與與8．一個圓臺形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8，高為3，用它加工成一個與圓臺等高的四棱臺，棱臺下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大．現(xiàn)再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個球，則所得球的半徑最大值是（▲A．B．C．1D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知二項展開式，則（▲）A．C．B．D．10．在四棱錐平面中，的是（▲）B．分別是上的點，，則下列條件可以確定A．C．平面D．平面．甲乙兩人用《哪吒2》動漫卡牌玩游戲．游戲開局時桌上有盒動漫卡牌，每個盒子上都標有盒內卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構成數(shù)組，游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是（▲）A．B．C．D．數(shù)學試題卷第2頁共4頁（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分。把答案填在題中的橫線上。12．若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)▲．13．已知是拋物線在第一象限上的點，是拋物線的焦點，（為坐標原處切線的斜率是▲．14．函數(shù)滿足：；①則②，．的最大值等于▲．四．解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐的中點．中，是邊長等于2的正三角形，，為（1）求證：；（2）若，求點到平面的距離．1615分）PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網(wǎng)頁重要性的一種經(jīng)典算法．其核心思想是通過分析網(wǎng)頁之間的鏈接關系，評估每個網(wǎng)頁的相對重要性．假設一個小型的互聯(lián)網(wǎng)由四個網(wǎng)頁組成，它們之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設某用戶從網(wǎng)頁開始瀏覽（記為第1（1）求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁上的概率；（2）某廣告公司準備在網(wǎng)頁中選擇一個投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁上停留的平均次數(shù)作為決策依據(jù)．試問該公司應該選擇哪個網(wǎng)頁？請說明理由．數(shù)學試題卷第3頁共4頁1715分）已知函數(shù)．（1）討論（2）若的單調性；在區(qū)間上恰有一個零點，求的取值范圍；．（3）當時，解方程1817分）在平面直角坐標系中，已知點，是直線右側區(qū)域內的動點，到直線與軸的距離之和等于它到點距離的4倍，記點的軌跡為．（1）求的方程，并在圖中畫出該曲線；（2）直線過點，與交于，兩點，（i）若（ii）若，求直線的方程：，是點關于軸的對稱點，延長線段交于點，延長線段交于點線交軸于點，求的最小值．1917分）給定正數(shù)與無窮數(shù)列，若存在具有性質，當時，都有，則稱數(shù)列．（1）求證：數(shù)列（2）若無窮數(shù)列具有性質具有性質；，求證：存在正數(shù)，使得；（3）若對任意正數(shù)，數(shù)列都具有性質，則稱為“““：）數(shù)學試題卷第4頁共4頁一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．雙曲線的一個焦點為（0，2），則C．3A．B．D．【答案】A【解析】由題意得故選擇：A，所以．2．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于A．1B．C．3D．6【答案】C【解析】，所以．故選擇：C3．已知隨機變量A．充分不必要條件C．充要條件【答案】C，則“”是“”的B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若故選擇：C4．若向量，則．故為充要條件．滿足，則在上的投影向量是C．A．B．D．【答案】D【解析】設投影向量是上的投影向量是，則，所以，即在．1故選擇：D5．已知數(shù)列A．滿足，若C．，則的取值范圍是B．D．【答案】B【解析】設，則，所以．故選擇：B6．某班級有30名男生和20名女生，現(xiàn)調查學生周末在家學習時長（單位：小時），得到男生樣本數(shù)據(jù)的平均值為8，方差為2，女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5，方差為0.75，則該班級全體學生周末在家學習時長的平均值和方差的值分別是A．B．C．D．【答案】D【解析】故選擇：D7．已知函數(shù)是，則兩個函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合的A．與B．與C．與與D．【答案】C【解析】A項：，故錯誤；，故錯B項：誤；C項：，而，故正2確；D項：故選擇：C，無法重合，故錯誤．8．一個圓臺形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8，高為3，用它加工成一個與圓臺等高的四棱臺，棱臺下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大．現(xiàn)再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個球，則所得球的半徑最大值是（加工過程中不計損耗）A．B．C．1D．【答案】C【解析一】①關于底面切球在內；，設，則，最大內，②補成圓錐，內接四棱臺延長后必交于圓錐頂點，考慮，故，解得．故選擇：C【解析二】為上底面圓心，為下底面圓心，記棱臺為棱臺最大時，上下邊之比為，不妨設，則，，所以球在中點為設球半徑最大為，球心為，則如圖，球與與圓臺圍成部分可更大，記中點為交上底面圓于交下底面圓周于，相切，，則設，則，得，所以．故選擇：C3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知二項展開式，則A．C．B．D．【答案】ACD【解析】A項：令知，正確；B項：令知①，所以，錯誤；C項：，所以，，所以所以，正確；D項：令知②，①+②可得：，正確．故選擇：ACD10．在四棱錐中，的是分別是上的點，，則下列條件可以確定平面A．B．C．平面D．平面【答案】BD【解析】如圖，過點作交于點，連接，若，即有，則平面，由，所以于，所以4平面，故平面平面，所以平面，故B正確；若平面，又因為平面平面，所以，若，由B可知D正確；假設平面平面，即A、C同時正確或錯誤，若相交．若相交，由知延長不平行，故A、C錯誤．，設平面，則平面，當且僅當，也可能，平面，所以，反之若平面，可能與與必與、交于同一點，由幾何關系知故選擇：BD11．甲乙兩人用《哪吒2》動漫卡牌玩游戲．游戲開局時桌上有盒動漫卡牌，每個盒子上都標有盒內卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構成數(shù)組，游戲規(guī)則如下：與兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是A．B．C．D．【答案】ACD【解析】將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉為二進制數(shù)，再進行“亦或”求和，若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài)。A項：B項：，非全零，甲勝：從第2盒中拿2個；，全零，乙勝；C項：，非全零，甲勝：拿走第三盒；5D項：，非全零，甲勝：從第1盒中拿2個；故選擇：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12．若復數(shù)【答案】2是純虛數(shù)，則實數(shù)．【解析】由題意得．故答案為：213．已知是拋物線焦點，在第一象限上的點，是拋物線的（為坐標原點），則拋物線在處切線的斜率是．【答案】【解析】設，則，所，所以以，解得，因為，所以．故答案為：14．函數(shù)①滿足：；②．則的最大值等于．【答案】【解析】設則有且，令，，即，設，則，即，所以有解，，取可成立，所以的最大值等于．故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐中，是邊長等于2的正三角形，，為；的中點．（1）求證：（2）若，求點到平面的距離．【解析】（1）證明：作中點，連接，則有，所以，又因為從而是正三角形，且為中點，因此，平面，所以．（2）由題，，設平面與平面夾角為，由三射線定理，解得，即，設點到平面的距離為，則．16．（本小題滿分15分）PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網(wǎng)頁重要性的一種經(jīng)典算法．其核心思想是通過分析網(wǎng)頁之間的鏈接關系，評估每個網(wǎng)頁的相對重要性．假設一個小型的互聯(lián)網(wǎng)由四個網(wǎng)頁組成，它們之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設某用戶從網(wǎng)頁開始瀏覽（記為第1次停留）．（1）求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁上的概率；（2）某廣告公司準備在網(wǎng)頁中選擇一個投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁上停留的平均次數(shù)作為決策依據(jù)．試問該公司應該選擇哪個網(wǎng)頁？請說明理由．【解析】（1）（2）所以．．，，7所以，故該公司應該選擇網(wǎng)頁．．17．（本小題滿分15分）已知函數(shù)（1）討論（2）若的單調性；在區(qū)間上恰有一個零點，求的取值范圍；（3）當時，解方程．【解析】（1）由題，，由于分母（對），故的正負由分子決定，記，即，當當時，對任意在定義域內單調遞增；時，注意到是唯一使有，故的點，又觀察到，若在區(qū)間內，由于，故，即時，時，，故．綜上，當在定義域內單調遞增；上單調遞減，在在定義域內單調遞增，且注意到當時，在上單調遞增（2）由（1）知，當時，，因此時不合題意；當時，考慮到，為使內有零點，則極小值點小于零，即，結合，則的取值范圍為．（3）由題，，記上式為，則在定義域內單調遞減，因此，僅有一個解，注意到待求方程，對中含的部分單獨考察，即，，其中關于的多項式的解為8因此當時可消去．時，有，滿足題意；當時，有，不符合題意；綜上，原方程的解為．18．（本小題滿分17分）在平面直角坐標系右側區(qū)域內的動點，到直線與軸的距離之和等于它到點距離的4倍，記點的軌跡為．（1）求的方程，并在圖中畫出該曲線；（2）直線過點，與交于，兩點，中，已知點是直線（i）若，求直線的方程；（ii）若是點關于軸的對稱點，延長線段交于點，延長線段交于點，直線交軸于點，求的最小值．【解析】（1）設，則有；當，當時，時，，曲線如圖所示．（2）（i）如圖，，則．設，解得，所以，所以，所以直線方程為．，（ii）由題意知，且．設9，因為所，，以其中，所以即，，所以，所以，解得．19．（本小題滿分17分）給定正數(shù)與無窮數(shù)列，若存在具有性質，當時