1、三角形、等邊三角 形、直角三角形的性質和判定1.1.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.2.等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.3.3.等腰三角形的性質：(1)(1) 兩腰相等.(2)(2) 兩底角相等.(3)(3) 三線合一”即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.(4)(4)是軸對稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對稱軸. 線段的垂直平分線：第十四講等腰三角形中考要求板塊A A 級要求考試要求B B 級要求C C 級要求了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定解決簡單問題會運用等腰三

2、角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有等腰三角形三種圖形；理解等腰關冋題等腰三角形性質定理：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等 判定定理：與線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上,線段的垂直平分線可以看做是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合.4.4.等腰三角形的判定：(1)(1) 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.(2)(2) 有兩個角相等的三角形是等腰三角形.5.5.等邊三角形的性質： 三邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于60.6.6.等邊三角形的判定：(1)(1) 三條邊都相等的三角形是等邊三角形.(2)(2) 三個角都相等的三角形是等邊三角形.(3)(3)

3、 有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.7.7.等腰直角三角形的性質：頂角等于90，底角等于45，兩直角邊相等. 等腰直角三角形的判定：(1)(1) 頂角為90的等腰三角形.(2)(2) 底角為45的等腰三角形.G、難點J重點：探索等腰三角形“等邊對等角”和“三線合一”的性質，這兩個性質對于平面幾何中的計算，以及以后的證明都有很大的幫助難點：等腰三角形關于底和腰，底角和頂角的計算問題，由于等腰三角形底和腰，底角和頂角性質性質特點很容易混淆，而且他們在用板塊一、等腰三角形的認識【例 1】下列兩個命題：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；如果一個等腰三角形有 一個內角是60。，那么這個等腰三角

4、形一定是等邊三角形則以下結論正確的是（）（）A A.只有命題正確B B.只有命題正確C C .命題、都正確D D .命題、都不正確【解析】C C.【例 2】如圖，在ABC中，AD BC于D.請你再添加一個條件，就可以確定ABC是等腰三角形.你添加的條件是_.【解析】BD DC或AD平分BAC或B C.【例 3】（20062006 年揚州中考）如圖，在 ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列四個條件： EBO DOC:BEO CDO 、BE CD:OB OC .（1 1） 上述四個條件中，哪兩個條件可判定 ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情況）；（2 2） 選擇第

5、小題中的一種情形，證明 ABC是等腰三角形.【解析】（1 1），四種情況可判定ABC是等腰三角形.（2 2）下面以兩個條件證明ABC是等腰三角形.IEBO DOC，BE CD，BEO CDO， EOB DOC，OB OC，OBC OCB.EBC DCB， ABC是等腰三角形.【例 4】如圖，點O是等邊ABC內一點，AOB 110。，BOC.將 BOC繞點C按順時針方向旋轉19060得厶 ADC，連接OD，則 COD是等邊三角形；當 為多少度時， AOD是等腰三角形？【解析】分三種情況討論：要使AO AD，需AOD ADO./ AOD 190，ADO60，19060.125.2要使OA OD，需

6、OAD ADO./OAD 180 （ AOD ADO） 50，6050.1103要使OD AD，需OAD AOD.50. 190140.綜上所述：當 的度數為125或110或140時，ABC是等腰三角形.【例 5】（20072007 福建晉江中考）如圖，將一個等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE=a,則下列說法正確的個數有（）（）DC平分BDE;BC長為（2 2）a;厶BCD是等腰三角形；厶CED的周長等于BC的長.A A.1 1 個;B B. 2 2 個;C C. 3 3 個;D D. 4 4 個【解析】由圖可知厶ABD也ZfeBD,AD=DE=a,DBE=45.又IC=ABC=45,

7、DC =、2a,BC=2AC=. 2 a 2a=（ .22）a=CED的周長.又VCDE也DE, DC E 45, DBE BDC 22.5.BC C D,ABCD是等腰三角形.故正確.【例 6】如圖，AB AC,BD,CD分別平分ABC,ACB.問：圖中有幾個等腰三角形？過D點作EF/BC,如圖，交AB于E,交AC于F,圖中又增加了幾個等腰三角 形？如圖，若將題中的ABC改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個等腰三角 形？線段EF與BE、CF有什么關系？如圖，BD平分ABC,CD平分外角ACG.DE/BC交AB于E，交AC于F.線 段EF與BE、CF有什么關系？如圖，BD、CD為外角CB

8、M、BCN的平分線，DE/BC交AB延長線于E，交AC延長線于F，線段EF與BE、CF有什么關系？【解析】圖中有兩個等腰三角形：ABC、BCD圖中又增加了三個等腰三角形：AEF、BED、CFD圖中有兩個等腰三角形：BED、CFD,由于ED BE,DF CF,EF ED FD BE CF，故EF BE CF圖所示中仍有兩個等腰三角形BED、CDF從而DE BE,CF DF，又EF ED DF BE CF，故EF BE CF如圖所示與類似，EF BE CF板塊二、等腰三角形的性質【例 7】（20082008 烏魯木齊）某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（）（）A A.9cmB

9、 .12cmC .15cmD .12cm或15cm【解析】C【例 8】已知等腰三角形的周長為24cm，一腰長是底邊長的2倍，則腰長是（）A A.4.8cmB B.9.6cmC C.2.4cmD D.1.2cm【解析】B B【例 9】（20082008 沈陽）若等腰三角形中有一個角等于50，則這個等腰三角形的頂角的度數為（） A A.50B .80C.65或50D.50或80【解析】D【鞏固】（20072007 重慶中考）已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1:4，則這個等腰三角形頂角的度數為（）（）A A.20B B.120C C.20或120D D.36【解析】當等腰三角形的頂角為鈍角時，內

10、角的度數之比為1:4:4，此時頂角為20；當頂角為鈍角時，內角的度數之比為1:1:4，此時頂角為120.故選C.【例 10】（20072007 四川自貢中考）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為25，則該三角形的一個底角為（）（）A A.32.5B B.57.5C C.65或57.5D D.32.5或57.5【解析】C C【例 11】（20062006 自貢）從等腰三角形底邊上任意一點分別作兩腰的平行線，與兩腰所圍成的平行 四邊形的周長等于三角形的（）（）A A.兩腰長的和B.周長一半C.周長D. 腰長與底邊長的和【解析】A A【例 12】（20002000 年常州市中考題）已知等腰三角形一

11、腰上的中線將它們的周長分為9 9 和 1212 兩部分,求腰長和底長.【鞏固】等腰三角形的周長是 5050, 一腰上的中線分得兩個三角形的周長是3232 和 2222,求腰長.【解析】設這個三角形的腰長為x，底長為y，腰上的中線為（32 22）-50 2 2，2x y 502x y 50根據題意可得：x或x，解得x 20或13-y 22 2y 32 2322【例 13】（0505 年青島中考題）已知等腰三角形的周長為 1212,腰長為x，求x的取值范圍.【解析】x x 12 2x，且12 2x 0,解得3 x 6【例 14】已知等腰三角形的周長為 1616,三邊長為整數，求底邊長.【解析】設腰

12、長為x，則4 x 8，則x 5,6,7,底邊分別為 6 6, 4 4, 2 2 【鞏固】已知等腰三角形的周長為2020,三邊長為整數，求底邊長.【解析】設腰長為x,x x 20 2x，且20 2x 0,解得5 x 10，則腰長為& & 7 7、& & 9 9,對應的底邊長為 8 8、& & 4 4、2 2【解設這個三角形的腰長為而 8 8， 8 8， 5 5 和 6 6，6 6,xx，底長為y，則2x29 9 均能組成等腰三角形.x2x2注意等腰三角形中的分類討論.12， 解得99， 解得12【例 15】等腰三角形中一角是另一角的 2 2 倍，求

13、各內角的度數.(1)(1)若底角是頂角的 2 2 倍，設頂角為，則22三角形三內角依次是72,72,36.(2)(2)若頂角是一底角的 2 2 倍，設底角為，則三角形三內角依次是45，45，90.已知BD是等腰ABC腰上的高，且ABD 50，求ABC三個內角的度數.A為頂角時，三內角大小為 140140, 2020, 2020;A為底角時， 三內角大小為100100, 4040, 4040;A為頂角，三內角大小為BD ED EA.求A.BDC 3x,DBC 3x 2x1807)1設A x，貝U ADE 180 2x,EDB x,213180 x1BDC 180(1802x) x x,ACB90

14、 x,22 2 231在DBC中，-x 90 x,解得x 4522(2000(2000 年威海市中考試題) )等腰三角形的頂角90，如果過它的頂角頂點作一直線能夠將它分成兩個等腰三角形，求.由題意，畫出圖形如圖所示，這里BAC 90,ABD和ADC都是等腰三角形AB AC,AD CD,AB BD,二B C DAC,BDA BAD 2 C設C x，貝U DAC B x,BAD 2xABC中，BAC B C 180 x x 3x 180,x 36, .I3x 108ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于D、E，若BAC DAE 150，求根據題意可得：B BAD,C CAE【解析】【例16

15、】【例17】【解析】【鞏固】【解析】【例18】【例19】【解析】【例20】180，36，2722180，45，290，若ABC為鈍角三角形時，若ABC為鈍角三角形時，若ABC為銳角三角形時，在ABC中，AB AC,BC設A x，則在BDC中，在ABC中，BED 2x，可得x 3x 3x 180，：x (4040，7070，7070.AB AC,BC BD,AD ED EB.求BAC.貝U BAC BAD CAE DAE B C DAE即BAC 180oBAC 150oBAC，解得( (河南省數學競賽) )如圖，在ABC中，B由題設B C,ADE AED，及三角形外角定理, 即EDC C AED

16、,有DAE 1802 AED180 2 EDC 2 C而1802 C 50 DAE2 C 50(1802 EDC 2 C)故2 EDC 50，即EDC 25【例 21】(2001(2001 年龍巖市、寧德市中考試題) )如圖所示，已知ABC中，D、E為BC邊上的點，且AD AE，BD EC，求證：AB AC.【解析】作AF DE于F， AD AE，二DF EF又BD EC，二BF FC，二AB AC考察垂直平分線的性質.【例 22】如圖，ABC為等邊三角形，延長BC到D，又延長BA到E，使AE BD，連接CE,DE， 求證：CDE為等腰三角形.【解析】延長BD到F，使得DF BC，連接EF.T

17、ABC為等邊三角形，o_B 60 , AB BC.又TAE BD,BE AB AE BC BD FD BD FB. BEF為等邊三角形.B F 60, BE FE.BEC也FED，CE DE.【例 23】如圖，在ABC中，B，C為銳角，M,N,D分別為邊AB、AC、BC上的點，滿足AM AN，BDDC，且BDM CDN.求證：AB AC.【解析】分析若BDM 也 CDN，則問題迎刃而解.直接證明困難，可考慮反證法.解若DM DN，則在DM上取一點E，使DN DE，連接BE交AC于F，連接EN.在BED與CND中,BD DC，BDE CDN，DE DN，故BDE 也 CDN. 于是有EBD NC

18、D，BENC.所以FB FC，從而些些，故EN II BC.FB FC從而有ENFACB.BAC 110C,D在BC上,BAD 50，在AC上取一點E，使得ADE AED，求EDC的度數.但另一方面，由于DM DN，知ABCFBCACB，所以1ANM -(180BAC)21-(ABC21ACB) -( ACBACB)ACB.2從而ENFMNA ACB.矛盾.故假設不成立.若DMDN，同法可證假設不成立.綜上所述DM DN，于是由BDM 也 CDN知DBM DCN，從而AB AC. 說明：在某些平面幾何問題的證明中，反證法也是常用的方法.簸家家庭作業）【習題 1 1】（20072007 雙柏中考）等腰三角形的兩邊長分別為 4 4 和 9 9,則第三邊長為 _【解析】當腰長為 9 9 時，三邊長為 4 4、9 9、9 9；當腰長為 4 4 時，三邊長為 4 4、4 4、9 9 ,不符合三角形的三邊關系，故腰長為 9 9.【習題 2 2】（ 19971997 年北京市競賽題）等腰三角形一腰上的中線把