1、藝術設計圖學東北大學 張書鴻 教授第二章 正投影圖 2.1 投影基礎知識2.2 點、直線、平面的正投影2.3 點、直線、平面之間的關系2.4 立體的正投影2.5 點、直線、平面、立體與立體的關系2.1 投影基礎知識211 投影法基本概念投影法基本概念212 投影法分類投影法分類 正投影是平行投影的特殊情況，因而它的規律性較強，且具有度量性好、作圖簡便的突出優點，所以工程上把正投影作為工程圖的最主要繪圖方法。 213 正投影的基本特性正投影的基本特性 1、顯實性：當直線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形，見圖2-4（a）、（e）。 2、從屬性：屬于直線上的點，其投影必從屬于該直線的投影

2、，見圖2-4（b）。 3、定比性：點在直線上，點分割線段的比例等于該點的投影分線段的投影所成的比例，見圖2-4（b）。 4、積聚性：當直線或平面垂直于投影面時，其投影積聚為一點或一直線，見圖2-4（c）、（g）。 5、平行性：當空間兩直線互相平行時，它們的投影也一定平行，且它們的投影長度之比等于空間長度之比，見圖2-4（d）、（h）。 6、類似性：當直線或平面不平行于投影面時，其正投影小于其實長或實形，但其斜投影則可能大于或小于其實長或實形，見圖2-4（b）、（f）213 正投影的基本特性正投影的基本特性214 正投影圖及其特性正投影圖及其特性 1、 正投影圖的形成(1) 形體的單面正投影圖：

3、根據單面投影圖不能唯一確定一個形體的空間形狀 214 正投影圖及其特性正投影圖及其特性 1、 正投影圖的形成(2) 形體的兩面正投影圖：根據兩個投影面上的投影圖來分析空間物體的形狀時，有些情況下得到的答案也不是唯一的 214 正投影圖及其特性正投影圖及其特性 1、 正投影圖的形成(3)形體的三面正投影圖： 214 正投影圖及其特性正投影圖及其特性 2、 正投影圖的特點 長對正，高平齊，寬相等 2. 2 點、直線、平面的正投影 221 點的投影點的投影 例題 已知點A的正面投影a和側面投影a，求其水平投影a。 221 點的投影點的投影 例題 已知空間四點的坐標A（20，20，20），B（30，1

4、0，0），C（15，0，30），D（40，0，0），求作四點的三面投影圖 。221 點的投影點的投影 1、直線的確定及表示 222 直線的投影直線的投影 2、一般位置直線一般位置直線的投影特點：（1）一般位置直線的三個投影均為直線，而且投影長度都小于線段的實長。（2）一般位置直線的三個投影都傾斜于投影軸，且與投影軸的夾角均不反映空間直線與投影面傾角的真實大小。 222 直線的投影直線的投影 3、特殊位置直線 （1）投影面的平行線平行于一個投影面，同時傾斜于另兩個投影面的直線，稱為投影面平行線。平行于水平投影面的直線稱為水平線；平行于正立投影面的直線稱為正平線；平行于側立投影面的直線稱為側平線。

5、 3、特殊位置直線 3、特殊位置直線 （2）投影面的垂直線垂直于某一投影面，同時平行于另兩個投影面的直線，稱為投影面垂直線。垂直于水平投影面的直線稱為鉛垂線；垂直于正立投影面的直線稱為正垂線；垂直于側立投影面的直線稱為側垂線。3、特殊位置直線 4、一般位置直線 直角三角形法：求直線的實長和傾角4、一般位置直線 例題 已知直線AB的實長L和ab及a，求水平投影ab。4、一般位置直線 例題 已知直線AB的水平投影ab及a，AB與H面傾角=30，求直線AB的正面投影。223 平面的投影 1、平面的確定及表示、平面的確定及表示平面的空間位置可以用確定該平面的幾何元素的投影來確定和表示，常見有五種形式:

6、（1）不在同一直線上的三點（2）一直線和直線外一點（3）兩相交直線（4）兩平行直線（5）任意一平面圖形平面的五種表達形式2、一般位置平面 一般位置平面的投影特點：它的三個投影既不反映實形，也不積聚為一般位置平面的投影特點：它的三個投影既不反映實形，也不積聚為一直線，圖形只具有類似性。一直線，圖形只具有類似性。 3、特殊位置平面 （1）投影面的平行面平行于一投影面，因而垂直于另兩個投影面的平面，稱為投影面平行面。平行于水平投影面的平面稱為水平面；平行于正立投影面的平面稱為正平面；平行于側立投影面的平面稱為側平面。3、特殊位置平面 3、特殊位置平面 （2）投影面的垂直面垂直于某一投影面，同時傾斜于

7、另兩個投影面的平面，稱為投影面垂直面。垂直于水平投影面的平面稱為鉛垂面；垂直于正立投影面的平面稱為正垂面；垂直于側立投影面的平面稱為側垂面。 3、特殊位置平面 2. 3 點、直線、平面的關系 231 點與點之間的關系點與點之間的關系 1、兩點間的相對位置兩點間的相對位置是指兩點間上下、前后、左右的位置關系。 2、重影點及其可見性當兩點的某兩個坐標相同時，該兩點將處于同一投影線上，其對某一投影面的投影會產生重合的現象，則這兩點就稱為該投影面的重影點。 232 點與直線之間的關系點與直線之間的關系 點如果在直線上，則點的投影在直線的同名投影上（從屬性），并將直線線段的各個投影分割成和空間相同的比例

8、（定比性）。反之，若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在直線上。 233 點與平面之間的關系點與平面之間的關系 屬于平面上的點，則必取屬于該平面的已知直線。 例題 設已知平面由ABC所給定，并知該平面上一點K的水平投影k，試求點K的正面投影k。234 直線與直線之間的關系直線與直線之間的關系 空間兩直線之間的關系有： 平行 相交 交叉 垂直 1、兩直線平行若空間兩直線相互平行，則其同面投影必相互平行。且保持定比（定比性）關系。 2、兩直線相交若空間兩直線相交，則其同面投影必相交。且交點符合點的投影規律。3、兩直線交叉空間兩直線既不平行又不相交時即為交叉（也可稱為交錯）。交叉兩直線的

9、同面投影可能相交，但各同面投影的交點不符合點的投影規律 。4、兩直線垂直空間相互垂直的相交或交叉兩直線，若其中一直線為投影面的平行線，則兩直線在該投影面上的投影反映直角，此直角投影特性也被稱為直角投影定理。4、兩直線垂直直角投影定理也適用于兩交叉直線 例題 求點C到直線AB距離CD的實長。235 直線與平面、平面與平面之間的關系直線與平面、平面與平面之間的關系 直線與平面、平面與平面之間的關系直線與平面、平面與平面之間的關系 ： 包含 平行 相交 垂直 1、屬于平面上的直線（1）該直線必通過此平面內的兩個點或通過該平面內一點且平行于該平面內的另一已知直線 1、屬于平面上的直線（2）平面內的投影

10、面平行線平面內的投影面平行線方向是一定的，且有無數條。它們既具有投影面平行線的投影特性，又符合直線在平面內的條件， 2、平行關系（1）直線與平面平行：直線平行于平面內的任一直線 例題 判別直線EF是否平行于ABC 2、平行關系（2）平面與平面平行：一平面內相交兩直線對應平行于另一平面內的兩相交直線， 例題 過點D作平面ABC 3、相交關系（1）直線與平面相交：只有一個交點，它既屬于直線，又屬于平面，它是直線和平面的共有點。特殊位置的平面與直線例題 鉛垂面與直線相交3、相交關系（2）一般位置的平面與特殊位置平面相交2. 4 立體的正投影 241 立體的正投影立體的正投影立體根據其表面的幾何性質可

11、分為平面立體、曲面立體兩類。242 平面立體的投影平面立體的投影（1）棱柱的投影：棱柱的表面是由棱面和上下兩個底面組成。底面通常為多邊形，相鄰兩棱面的交線為棱線，且棱線互相平行。 242 平面立體的投影平面立體的投影（2）棱錐的投影：棱錐只有一個底面，且所有棱線交于一點，此點稱為錐頂點。 243 曲面立體的投影曲面立體的投影 （1）圓柱的投影：圓柱是由圓柱面和兩個圓平面所圍成的立體。圓柱面可看成是由一條直母線繞與其平行的軸線旋轉一周所形成的，圓柱的素線是與軸線相平行的直線。243 曲面立體的投影曲面立體的投影 （2）圓錐的投影：圓錐是由圓錐面和一個底面圓圍成的立體。圓錐面可看成是一條直母線繞與

12、其相交的軸線旋轉所形成的曲面。母線與軸線相交點即為圓錐面頂點，圓錐的素線是通過錐頂的直線。243 曲面立體的投影曲面立體的投影 （3）圓球的投影：圓球是由圓球面圍成的立體。圓球面可看成是母線圓繞其直徑旋轉所形成的曲面。2. 5 點、直線、平面、立體與立體的關系 251 點、直線與立體之間和關系點、直線與立體之間和關系 1、平面立體表面上取點 251 點、直線與立體之間和關系點、直線與立體之間和關系 1、平面立體表面上取點 251 點、直線與立體之間和關系點、直線與立體之間和關系 1、曲面立體表面上取點 251 點、直線與立體之間和關系點、直線與立體之間和關系 1、曲面立體表面上取點 251 點

13、、直線與立體之間和關系點、直線與立體之間和關系 1、曲面立體表面上取點 25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 平面與立體相交，就是立體被平面截切。被平面截切后的立體稱為切割體所用的平面稱為截平面截平面與立體表面的交線稱為截交線因此，研究平面與立體之間的關系問題實質就是研究如何求解截交線的問題。 25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 1、平面立體的截切平面立體截交線的形狀是由直線段組成的平面多邊形。求解平面與平面立體的截交線問題，實質上是求平面與立體上各表面的交線或求平面與立體上各棱線交點的集合問題。25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 1、平面立體的截

14、切25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 2、曲面立體（常見回轉體）的截切（1）圓柱的截交線：根據截平面的位置不同，圓柱上的截交線有圓、橢圓、矩形三種 25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 （1）圓柱的截交線25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 圓柱截交的例子25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 （2）圓錐的截交線：圓錐體表面上截交線的形狀取決與截平面與圓錐的相對位置，截交線的形狀有五種: 25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 圓錐的截交線25 2 平面與立體之間的關系平面與立體之間的關系 （3）圓球的截交線25 3 立體與立

15、體之間的關系立體與立體之間的關系 兩立體相交又稱兩立體相貫，相交兩立體的表面交線稱為相貫線。相貫線上的點稱為相貫點。兩立體相交可分為兩平面立體相交；平面立體與曲面立體相交；兩曲面立體相交。25 3 立體與立體之間的關系立體與立體之間的關系 1、平面立體與平面立體相貫當兩個立體有公共表面時，其相貫線為非閉合的空間折線。相貫線每段折線是兩平面立體表面的交線，折點是一平面立體上參與相交的棱線（或底邊）與另一平面立體上參與相交的棱面（或底面）的交點。25 3 立體與立體之間的關系立體與立體之間的關系 平面立體與平面立體相貫屋脊交線25 3 立體與立體之間的關系立體與立體之間的關系 2、平面立體與曲面立

16、體相貫平面立體與曲面立體相貫，相貫線一般情況下是由若干段平面曲線組成的，特殊情況下包含直線段。每段平面曲線或直線均是平面立體的棱面與曲面立體的截交線，相鄰平面曲線的連結點是平面立體棱線與曲面立體的交點。因此，平面立體與曲面立體相貫線的求解可歸結為曲面立體截交線的求解問題。25 3 立體與立體之間的關系立體與立體之間的關系 3、曲面立體與曲面立體相貫兩曲面立體相貫交，其相貫線一般情況下是封閉的光滑的空間曲線，特殊情況下可能為平面曲線或直線段。求兩曲面立體相貫線的方法為表面取點法和輔助平面法。25 3 立體與立體之間的關系立體與立體之間的關系 3、曲面立體相貫輔助平面法25 3 立體與立體之間的關

17、系立體與立體之間的關系 3、曲面立體相貫輔助平面法25 3 立體與立體之間的關系立體與立體之間的關系 4、曲面立體相貫線的變化趨勢25 4 立體表面展開立體表面展開 將物體的表面按照它們的實際形狀和大小，依次攤平在一個平面上，稱作表面展開。展開后的圖形稱為該物體的表面展開圖。表面展開在建筑、裝修、產品加工等領域中有著廣泛的應用。比如在裝修工程中，曲面造型的天花、立體感的墻面等都需要繪出表面展開圖，這樣才能按圖下料、計算成本，這直接影響著工程的質量。立體的表面，有些可以攤平在一個平面上，這種表面稱為可展開面，如平面立體及相鄰二素線是平行或相交的直紋曲面。而有些立體表面，只能近似地攤平在一個平面上

18、。這種表面稱為不可展開面，如球面等。25 4 立體表面展開立體表面展開 1、平面立體的表面展開平面立體的表面都是多邊形，所以表面展開實質是求出各表面的實形并按一定順序排列攤平。25 4 立體表面展開立體表面展開 2、可展開曲面的表面展開曲面上兩相鄰素線平行或相交，則此曲面為可展開曲面，最常見的是圓柱面和圓錐面。25 4 立體表面展開立體表面展開 2、可展開曲面的表面展開曲面上兩相鄰素線平行或相交，則此曲面為可展開曲面，最常見的是圓柱面和圓錐面。本章小結 1、切記正投影的三面視圖必須符合“長對正、高平齊、寬相等”的投影規律。2、利用直角三角形法求一般位置直線的實長和傾角是今后最常用的方法。學會應用直角三角形法中有四個參數，即線段的實長、投影長度、坐標差及直線對投影面的傾角。只要知道其中任兩個參數即可作出直角三角形而求出其余兩個參數。3、點在直線上要具有兩個特性：一個是從屬性，另一個是定比性。4、線與線的相對位置關系可分為平行、相交、交錯、垂直四種情況。應熟練掌握判別四種關系的幾何條件，尤其是直角投影特性（即直角投影定理），利用這個特性可完成過點作投影面平行線的垂線，并求得點到直線距離。5、點、線與立體之間的相對位置關系首先是點、 線是否在立體上，即如何在立體表面取點和線的問題，而線是點的集合，所以立