1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)第一單元 正、余弦定理及應(yīng)用一、知識(shí)精點(diǎn)講解1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理： 。 （R為外接圓半徑）【變式】：； ；。 在這個(gè)式子當(dāng)中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊

2、，可以求出其它所有的邊和角.（3）余弦定理： a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。 , , 3三角形的面積公式：（1）Sahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）SabsinCbcsinAacsinB； (3) 其中為三角形內(nèi)切圓半徑，為周長之半二 常用方法與常見結(jié)論 1 角化邊 邊化角凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過程中需要構(gòu)造公式形式.2 解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C = ； （2）邊與邊關(guān)系：

3、兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；（3）邊與角關(guān)系：sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=cosC； tan(A+B)=tanC。；3 在ABC中，熟記并會(huì)證明（1）.成等差數(shù)列的充分必要條件是（2）是正三角形的充分必要條件是成等差數(shù)列且成等比數(shù)列 （3）三邊成等差數(shù)列 ；.（4）三邊成等比數(shù)列,. (5)銳角中, ， ；. (6)兩內(nèi)角與其正弦值：在中，4判斷三角形的形狀.根據(jù)余弦定理，當(dāng)，中有一個(gè)關(guān)系式成立時(shí)，該三角形為鈍角三角形，而當(dāng)，中

4、有一種關(guān)系式成立時(shí)，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論. 銳角三角形：三內(nèi)角都是銳角；三內(nèi)角的余弦值為正值；任兩角和都是鈍角；任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.5 判斷三角形形狀的方法：(1) 角化邊 將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2) 邊化角 將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，這時(shí)要注意使用這個(gè)結(jié)論.在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取出公因式，以免漏解.6正余弦定理實(shí)際應(yīng)用求距離兩點(diǎn)間不可通又不可視兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)兩點(diǎn)都不可達(dá)

5、求高度底部可達(dá)底部不可達(dá)計(jì)算高度；計(jì)算距離；計(jì)算角度；測量方案的設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用題型的本質(zhì)就是解三角形，無論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解.7.三角學(xué)中的射影公式：在中，. 三角學(xué)中的射影定理：在中，；.BDOCA第二單元 三角恒等變形及應(yīng)用一 公式1兩角和與差的三角函數(shù)；。變形： 2二倍角公式；。變形：降冪公式；。 , , 3輔助角公式，。二 題型1三角函數(shù)式的化簡 常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被

6、開方數(shù)不含三角函數(shù)。2三角函數(shù)的求值（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。3三角等式的證明三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；三、三角恒等變換常用的數(shù)學(xué)思想方法

7、技巧： （1）角的變換（配角法）：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對(duì)角的變形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。；問： ； ； ，；，； 等等例 已知，求的值（答：）（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常化切、割為弦，變異名為同名。（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，常值可作特殊角的三角函數(shù)值來代換.此外，對(duì)常值 “1”可作如下代換：（4

8、）冪的變換： “二次”與“一次”的互化. 降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有：，。 降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無理式常用升冪化為有理式，常用升冪公式有： ； ；（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。 如：； ； ； ； ； = ； = ； （其中 ；） ； ；（6）三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；基本規(guī)則是：切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。如： ； ； ； （7）引入輔助角 ， . 特別的，;， 等.

9、（8）整體代換 舉例： 舉例：，可求出整體值， 作為代換之用.第三單元 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、知識(shí)精點(diǎn)講解1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，3函數(shù)最大值是，最小值是，周期是， 頻率是，相位是，初相是； 4由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象兩個(gè)途徑途徑一：先平移變換再周期變換 途徑二：先周期變換再平移變換。函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到的圖象？ 5由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（x+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（，0）作為突破口，要從圖象的升降

10、情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。，的圖象如圖所示，則_6對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；函數(shù)(1)對(duì)稱軸方程:由,解出(2)對(duì)稱中心,其中,即奇偶性: 函數(shù)(1)為奇函數(shù)(2)為偶函數(shù)7求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù) 利用單調(diào)性比較三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；函數(shù)的遞減區(qū)間是_（答：）；8求三角函數(shù)的周期的常用方法： 函數(shù)，(為常數(shù)，且)的 周期 ；函數(shù)，(為常數(shù)，且)的周期 如 函數(shù)的最小正周期為 _9五點(diǎn)法作y=Asin（x+）的簡圖：五點(diǎn)取法是設(shè)t =x+，由t取0、2來求相應(yīng)的x值及

11、對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。10. 三角函數(shù)的最值（1）(或)型：用(或)求解.但要注意的正負(fù)；（2）型，運(yùn)用重要等式求解；（3）(或)型：設(shè)(或)，則，化為二次函數(shù)的最問題；（4）(或)型：解出(或)，用(或)求解，或用分離常數(shù)法；（5）(或)型：整理后運(yùn)用重要等式求解；（6）含有型：設(shè)，將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，化為二次函數(shù)的最值問題。 ( 7 ) ； 如 求的最值 與 圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸 如 函數(shù)的最小值是_， 此時(shí)_第四單元 任意角的三角函數(shù)一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就說過角是第幾象限的角。若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就

12、說這個(gè)角不屬于任何象限，它叫象限界角。（2）與角終邊相同的角的集合：與角終邊在同一條直線上的角的集合： ；與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角的集合： ；與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角的集合： ；與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角的集合： ； 一些特殊角集合的表示：終邊在坐標(biāo)軸上角的集合： ；終邊在一、三象限的平分線上角的集合： ；終邊在二、四象限的平分線上角的集合： ；終邊在四個(gè)象限的平分線上角的集合： ；（3）第一象限角： ； 第三象限角： ； 第一、三象限角 ： ；（4）要正確理解 “第一象限的角”= ；“銳角”= ；“小于的角”= ；（5）由的終邊所在的象限, 來判斷所在的象限。 （6）弧度制： 角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，角

13、度制與弧度制的換算主要抓住 。弧度與角度互換公式：1rad°57.30°=57°18、1°0.01745（rad）。弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：。 圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角公式：; 經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的最大截面的面積為（圓錐的母線長為，軸截面頂角是）： 圓臺(tái)側(cè)面展開圖（扇環(huán)）的圓心角公式：二、任意角的三角函數(shù)：（1）任意角的三角函數(shù)定義：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為= ，則 ； ； ； 如：角的終邊上一點(diǎn)，則 。（2）在圖中畫出角的正弦線、余弦線、正切線；xyO

14、axyOaxyOayOa比較，的大小關(guān)系： 。（3）特殊角的三角函數(shù)值：0sincos， ， 三、同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式：（1）同角關(guān)系 平方關(guān)系是 商式關(guān)系是 作用： 已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。注意：用平方關(guān)系，有兩個(gè)結(jié)果，一般可通過已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以討論。注意：巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）； （8，15，17）注意 齊次式的處理方法 已知，求（2）誘導(dǎo)公式：可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。誘導(dǎo)公式一：，其中誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； ： ， ：