1、上海高二數學解析幾何經典例題軌跡方程1 1、反比例函數y1的圖像 C C 是以x軸與 y y 軸為漸近線的等軸雙曲線.x(1)(1)求雙曲線 C C 的頂點坐標與焦點坐標；(2)設Ai、A2為雙曲線 C C 的兩個頂點,點M(xo,y.)、N(yo,xo)是雙曲線 C C 上不同的兩個動點.求直線A1M與A2N交點的軌跡 E E 的方程；(3)設直線 l l 過點P(0,4),且與雙曲線 C C 交于 A A、B B 兩點,與x軸交于點Q.當 PQPQ1QAQA2QB,QB,且i28時,求點Q的坐標.面積第2頁共 12 頁1 12 2、在平面直角坐標系xOy內,動點 P P 到定點F(1,0)

2、的距離與 P P 到定直線 x x4 4 的距離之比為-(1)(1)求動點 P P 的軌跡 C C 的方程；(2)假設軌跡 C C 上的動點 N N 到定點M(m,0)(0 0m m2)2)的距離的最小值為 1,1,求m的值.(3)設點 A A、B B 是軌跡 C C 上兩個動點,直線 OAOA、OBOB 與軌跡 C C 的另一交點分別為A,、B1,且直線 OAOA、3 3OBOB 的斜率之積等于一,問四邊形ABA1B1的面積 S S 是否為定值？請說明理由.4 4定點3 3、動點 P P 與點F(0,1)的距離和它到直線 l l: :y1的距離相等,記點 P P 的軌跡為曲線 C.C.(1)

3、求曲線 C C 的方程；(2)設點 A0,a(aA0,a(a2),動點 T T 在曲線 C C 上運動時,AT|AT|的最短距離為 a a1,1,求a的值以及取到最小值時點 T T 的坐標；(3)設P1,P2為曲線 C C 的任意兩點,滿足OP1OP2(O O 為原點),試問直線P1P2是否恒過一個定點？如果是,求出定點坐標；如果不是,說明理由.第4頁共 12 頁x2y23C:1(ab0)的右焦點為 F F1,01,0,且點P(1,)在橢圓 C C 上.ab2(1)求橢圓C C 的標準方程;(2)過橢圓22xyC1:-5ab2-31上異于其頂點的任意一點Q作圓O:x2y2-的兩條切線,切點分別

4、為3M,N(M,N不在坐標軸上),一,.,11,、一假設直線 MNMN 在x軸,y軸上的截距分別為m,n,證實：一2為定值;3mn24x假設P,P2是橢圓C2:a當1上不同的兩點,PP2x軸,圓 E E 過P,P2,且橢圓C2上任意一點都不b在圓 E E 內,那么稱圓 E E 為該橢圓的一個內切圓.試問：橢圓C2是否存在過左焦點 E E 的內切圓？假設存在,求出圓心 E E 的坐標； 假設不存在,請說明理由.定值4 4、橢圓第 5 頁共 12 頁第6頁共 12 頁新定義5 5、曲線 C C 是平面內到直線11:x1和直線12:y1的距離之積等于常數k2(k0)的點的軌跡,設曲線 C C 的軌跡

5、方程f(x,y)0(1)求曲線 C C 的方程f(x,y)0；(2)定義：假設存在圓 M M 使得曲線f(x,y)0上的每一點都落在圓 M M 外或圓 M M 上,那么稱圓 M M 為曲線f(x,y)0的收斂圓判斷曲線f(x,y)0是否存在收斂圓？假設存在,求出收斂圓方程；假設不存在,請說明理由第 5 頁共 12 頁軌跡方程1 1、反比例函數y1的圖像 C C 是以x軸與 y y 軸為漸近線的等軸雙曲線.x求雙曲線 C C 的頂點坐標與焦點坐標；設 A A、A2為雙曲線 C C 的兩個頂點,點M(Xo,y.)、N(yo,Xo)是雙曲線 C C 上不同的兩個動點.求直線A1M與A2N交點的軌跡

6、E E 的方程；(1)(2)(3)解：(1)設直線且1頂點：l l 過點P(0,4),且與雙曲線 C C 交于 A A、B B 兩點,與x軸交于點Q.當 PQPQ1QAQA2QB,QB,2AI(8時,1,1)、(2)解一：A1M求點Q的坐標.A A2(1,1),(1,1),焦點：FI(y01(x1),A2N：yXo1三,也)、F2(Y2&)為焦點xo1(x1)yo1兩式相乘,得y2yoXoxo1yo即直線A1M與A2N交點的軌跡(x21).1E E 的方程為x2將yo1一代入上式,Xo(X1).1).Xo解二: 聯立直線方程,解得yoyo1,即Xo所以,直線A1M與A2N交點的軌跡 E E 的

7、方程為(3)直線l l 斜率不存在或為 o 時顯然不滿足條件;設直線 l:ykx4,A(x,y1),B(X2,y2),那么 Q(Q(4,4,0)將ykx4代入kx24x0,XIX2PQPQ1QAQA2QB,QB,4XI,y1kX2kX1kx2y4k448,k(X1X2)2(kX14yPQPQ1QAQA2QBQB4,4k4XI4k,y142X21%y1y22,即2(k)y22,y1y2Q(2,o)2yy2-得y21(x21),即y22.1).1).X1X24k,y24)(kX24),解得 k ky1y22,2,Q(2,o).yy2k4k,y2面積第8頁共 12 頁1 12 2、在平面直角坐標系x

8、Oy內,動點 P P 到定點F(1,0)的距離與 P P 到定直線 x x4 4 的距離之比為-(1)(1)求動點 P P 的軌跡 C C 的方程;(2)假設軌跡 C C 上的動點 N N 到定點M(m,0)(0 0m m2)2)的距離的最小值為 1,1,求m的值.(3)設點 A A、B B 是軌跡 C C 上兩個動點,直線 OAOA、OBOB 與軌跡 C C 的另一交點分別為A,、B1,且直線 OAOA、3 3OBOB 的斜率之積等于一,問四邊形ABAiBi的面積 S S 是否為定值？請說明理由.4 422所以,動點 P P 的軌跡 C C 的方程為土匕 1 1. .432設N(x,y),那

9、么|MN|MN| |2(xm)(xm)2y y2(xm)(xm)23131 上 4 41 122(x4m)x4m)23(1m3(1m2),2x2.),2x2.4 41 122當 04m2,04m2,即 0m0m 萬時,當 x4mx4m 時,|MN|2取最小值3(1m2)1,解得m22,m6,此時x絲62,故舍去.3331 122當 4m4m2,2,即一 m m2 2 時,當 x x2 2 時,|MN|取取小值m4m41,解得 m m1,1,或 m m3 3(舍).2 2綜上,m m1 1. .解法一：設A(x1,yi),B(x2,y2),那么由kOAkOB3,3,得-y-y,y2-,(1分)4

10、x1x24所以,9x2x216y；y；9(4x；)(4x2),化簡得x2x；由 y y2312,312,得xx；3131,解得x22,y2444444當xX；時,直線 ABAB 的方向向量為d(X；為,y2y1),直線 ABAB 的方程為當xX；時,那么四邊形ABA1B為矩形,y2Y1,那么當x x,(1)設P(x,y),由題意,(x(x1)1)2y y2|x|x4|4|1CCL化簡得3x24y22 212,-x-x22mxm2mxm23 34 4|AB|AB|MMxMMx?) )2(yy(yy2) )2,由于點 A A、B B 在橢圓 C C 上,所以 y y；223131 工,y y231

11、a31a4444I,S|AB|AB|4|x1|y1|4石.第9頁共 12 頁(yy1)x(X2xjy%yx,iy20,0,原點 O O 到直線 ABAB 的距離為 d d1_所以,AOBAOB 的面積 S SAOB|AB|d|AB|d2S4sAOB2|xiy2x2y11,所以,S22I. .IIx x1y y2x2%|,x2%|,根據橢圓的對稱性,四邊形、2,22c22、4(x1y2x2y1)4(x1y22為*2丫1丫2x2%)|x|xy y2x2y,| |(X(X2x xi) )234(y(y2%)%)2ABA1B1的面積第10頁共 12 頁所以,四邊形ABAB的面積為定值43.解法二：設A

12、(x1,yj,B(x2,y),那么A(X,y),B1(飛,y2),由AAB-,得-,4x1x2422由于點 A A、B B 在橢圓 C C 上,所以 y y123131%,y y231x31x2 2,44,44所以,9x2x216y2y29(4x；)(4x2),化簡得x2x24.直線 OAOA 的方程為y1xx1y0,點 B B 到直線 OAOA 的距離 d d|絲-y11,x x；y y；一 1 1ABA1的面積 S SABA1-|AAAA11d|x1d|xy y2x x2的|,根據橢圓的對稱性,四邊形ABA1B1的面積2,、2,22-22、s2SABA12|xy2x2y1|,所以,S4(*

13、佻x?%)4(x1y22取2丫1丫2x?y1)形ABA1B1的面積S2SABA12|xy2x21|,43x212x22222.x1xx23x21-412(x12x2)48,所以S4V3.43x；12x242222.x1x1x23x21-42212(x1x2)48,所以S443.解法三：設A(x1,y1),B(x2,y2),那么A(x1,y),B1(X2y2)由kOAkOBw,得324x1x2由于點 A A、B B 在橢圓 C C 上,所以 y y2_229(4x1)(4xz),化簡得xjx24ABA1的面積SABA1為x1；1I|x1的y11S24(為丫2x2y1)24(x；y22%*2丫1丫

14、22243x121x2x；3x22142422、x21)12(x12x；)48,所以S40),|AT|=(X(Xo0)0)2(y(ya)a)2=Jyyo(a2)(a2)24a4,4a4,a-20,那么當 y0=a2 時,|AT|取得最小值為 2JO1,2Va1=aT,a2-6a+5=0,a=5 或 a=1(舍去),所以 y0=a72=3,X0=2J3,3,所以 T 坐標為23,3;1(3)顯然直線 OP1、OP2的斜率都必須存在,記為 k,一,kykxykx442,解之得 P1(一,一2),同理 P2(Wk,4k2),x4yx4ykk整理得：k(yY)+(k2-1)x=0,所以直線 P1P2恒

15、過點(0,4)直線 P1P2的斜率為1k2一2,直線 P1P2方程為：y4k2k1k24k16 分第12頁共 12 頁定值22,一一一xy.4 4、橢圓C:1(abab(1)求橢圓C的標準方程；x2y2224(2)過橢圓Ci：1上異于其頂點的任意一點Q作圓O:x2y2一的兩條切線,切點分別為abT33一,.,11,、一,假設直線 MNMN 在x軸,y軸上的截距分別為m,n,證實：一2為定值;3mn在圓 E E 內,那么稱圓 E E 為該橢圓的一個內切圓.試問：橢圓C2是否存在過左焦點F1的內切圓？假設存在,求出圓心 E E 的坐標；假設不存在,請說明理由.223一1922解：(1)(1)由題意

16、得,c1.c1.所以ab1,又點P(1,一)在橢圓 C C 上,所以 F2 21,解得a4,b3,所2a4b22以橢圓 C C 的標準方程為1.432x(2)由(1)知,C1:4444一-,“,4242r113,x0,得n,所以x1,y1,又點Q在橢圓C1上,所以()3()4,即2,為3yl3m3n3m3n3mn4定值.(3)由橢圓的對稱性,不妨設P(m,n),P2(m,n),由題意知,點 E E 在x軸上,設點E(t,0),那么圓 E E 的方程為2222(xt)y(mt)n.由橢圓的內切圓的定義知,橢圓上的點到點 E E 的距離的最小值是 PEPE 設點M(x,y)是橢圓C2上任意一點,那

17、么ME2(xt)2y2-x22txt21,4一,22t4t當xm時,ME最小,所以mY4t.332假設橢圓C2存在過左焦點 F F 的內切圓,那么(J3J3t)2(mt)2n2.3一0)的右焦點為 F F1,0,1,0,且點P(1,)在橢圓 C C 上.2M,N(M,N不在坐標軸上)24x假設P,P2是橢圓C2:a當1上不同的兩點,bPP2x軸,圓 E E 過P,P2,且橢圓C2上任意一點都不3y241,設點Q(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),八八一、一4那么直線QM的方程為x2xy2y-,3一,、4_直線QN的方程為x3xy3y,3把點Q的坐標代入得4 4“X XN2Vl-

18、3 34 4乂34y y3y y1-3 3所以直線 MNMN 的方程為xxy1y44人-,令y0,得m,令33x1第13頁共 12 頁22m又點P1在橢圓C2上,所以n21m.-4由得t二或t3,24t4.3八.3當tJ3時,m-2,不合題意,舍去,且經驗證,t符合題意.332綜上,橢圓C2存在過左焦點 F F 的內切圓,圓心E E 的坐標是,0.2第14頁共 12 頁1和直線12：y1的距離之積等于常數k2(k0)的點的軌跡,設曲線 C C的軌跡方程f(x,y)0.(1)求曲線 C C 的方程f(x,y)0；(2)定義：假設存在圓 M M 使得曲線f(x,y)0上的每一點都落在圓 M M 外或圓 M M 上,那么稱圓 M M 為曲線f(x,y)0的收斂圓.判斷曲線f(x,y)0是否存在收斂圓？假設存在,求出收斂圓方程；假設不存在,請說明理由.解：(1)設動點為(x,y),那么由條件可知軌跡方程是 x x1 1y y1 1k k2；3分(2)(2)設 P P 為曲線 C C 上任意一點,可以證實那么點 P