1、第二章第二章 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮2.1 軸向拉壓桿的內力軸向拉壓桿的內力1.1 工程實際中的軸向受拉桿和軸向受壓桿工程實際中的軸向受拉桿和軸向受壓桿鋼木組合桁架起重機P鋼木組合桁架架空電纜恒擔CBCBBP1P1P2P2d起重機圖工程實際中的軸向受拉（壓）桿P1.2 軸向拉壓桿的內力軸向拉壓桿的內力軸力和軸力圖軸力和軸力圖NPbcPNmmxPNmm圖用 截 面 法 求 桿 的 內 力PPml1截面法求內力：截面法求內力：假想用一截面假想用一截面m-m將桿分割將桿分割為為I和和II兩部分兩部分;取其中的任一部分（例如取其中的任一部分（例如I）為脫離體，并將另一部分（例為脫離體，并將另一部

2、分（例如如II）對脫離體部分的作用）對脫離體部分的作用;用在截開面上的內力的合力用在截開面上的內力的合力N來代替（圖來代替（圖2-2b），則可由靜），則可由靜力學平衡條件：力學平衡條件：因此截面上的內力：因此截面上的內力：0 0XNP 同樣，若以部分同樣，若以部分II為脫離體（圖為脫離體（圖2-2c），也可求得代表部分），也可求得代表部分I對部分對部分II作用的內力為作用的內力為 注意：它與代表部分注意：它與代表部分II對部分對部分I的作用的內力等的作用的內力等值而反向值而反向 軸力軸力內力內力N作用線通過截面形心，即沿桿軸線作用，作用線通過截面形心，即沿桿軸線作用，故故稱為軸力。稱為軸力。量

3、綱為力，在國際單位制中常用的單位是量綱為力，在國際單位制中常用的單位是N（牛）或（牛）或kN（千牛）。（千牛）。 一般規定：軸力的指向離開截面時為正號軸力；指向朝向截一般規定：軸力的指向離開截面時為正號軸力；指向朝向截面時為負號軸力。即拉力符號為正，壓力符號為負。面時為負號軸力。即拉力符號為正，壓力符號為負。 NP1.3 軸力圖軸力圖 軸力圖軸力圖用平行于桿軸線的坐標表示截面位置，用垂用平行于桿軸線的坐標表示截面位置，用垂直桿軸線的坐標表示截面上軸力大小，從而給出表示軸直桿軸線的坐標表示截面上軸力大小，從而給出表示軸力沿截面位置關系的圖例，即為軸力圖。力沿截面位置關系的圖例，即為軸力圖。例題例

4、題2-1 變截面桿受力情況如圖變截面桿受力情況如圖2-3所示，試求桿各段軸力并作所示，試求桿各段軸力并作軸力圖。軸力圖。 解：（解：（1）先求支反力先求支反力固定端只有水平反力，設為固定端只有水平反力，設為XA，由整個桿平衡條件，由整個桿平衡條件 XA+53+20，XA5+234kNxxx5kNN13kN2kNXAXAXAA ABCDE 123 123N2N35kN2kNN2kN1kN4kN圖2-3 例題2-1圖cbe0X （2）求桿各段軸力求桿各段軸力 該桿分成該桿分成AB、BD和和DE三段。在三段。在AB段內段內用任一橫截面用任一橫截面1-1將將桿截開后，研究左桿截開后，研究左段桿的平衡。

5、段桿的平衡。0X cbxxN1XAXAN2N35kN2kNd在截面上假設軸力在截面上假設軸力N1為拉力（如圖為拉力（如圖(b)）。）。由平衡條件由平衡條件N1XA0，N14kN。結果為正，說明原假設拉力結果為正，說明原假設拉力是正確的。是正確的。 在在BC及及CD段，橫截面積雖有改變，但平衡方程式與截面段，橫截面積雖有改變，但平衡方程式與截面大小無關，故只取一段。如在大小無關，故只取一段。如在BD段用任一截面段用任一截面2-2將桿截將桿截開，研究左段桿的平衡。在截面上軸力開，研究左段桿的平衡。在截面上軸力N2仍設為拉力（如仍設為拉力（如圖圖2-3（c）。）。 由平衡條件：由平衡條件：N2+54

6、0，N21kN。 結果為負，說明實際方向與原假設的結果為負，說明實際方向與原假設的N2方向相反，即為壓方向相反，即為壓力。力。 同理在同理在DE段，用任一截面段，用任一截面3-3將桿截開，研究右段桿的平將桿截開，研究右段桿的平衡，因為該桿段的外力較少，計算簡例，假設軸力衡，因為該桿段的外力較少，計算簡例，假設軸力N3為拉為拉力（如圖力（如圖2-3（d），由，得），由，得N32kN。（3）作軸力圖）作軸力圖 取一直角坐標系，以與桿軸平行的坐標軸取一直角坐標系，以與桿軸平行的坐標軸x表示截面位表示截面位置，對齊原題圖下方畫出坐標軸。然后，選定比例尺置，對齊原題圖下方畫出坐標軸。然后，選定比例尺，縱

7、坐標，縱坐標N表示各段軸力大小。根據各截面軸力的大表示各段軸力大小。根據各截面軸力的大小和正負號畫出桿軸力圖，如圖小和正負號畫出桿軸力圖，如圖2-3（e）。）。xxx5kNN13kN2kNXAXAXAA ABCDE 123 123N2N35kN2kNN2kN1kN4kN圖2-3 例題2-1圖cbe2.2 軸向拉壓桿的應力軸向拉壓桿的應力 2.1 橫截面上的橫截面上的應力應力 根據由實驗中觀根據由實驗中觀察到的變形現象察到的變形現象，作出關于變形，作出關于變形分布規律的假設分布規律的假設，然后據以推導，然后據以推導出應力的計算公出應力的計算公式。式。變形實驗如右圖示：變形實驗如右圖示：l1lPP

8、bc dbcdefghegf hd1dPPNNAdA圖2-5 軸向受拉桿截面上的應力與變形bc桿受軸向拉力桿受軸向拉力P后，桿發生變形，在桿的表面上可觀察到后，桿發生變形，在桿的表面上可觀察到如下的現象如下的現象 ： （1）周邊線）周邊線ab、cd等分別移到了等分別移到了 、 等位置，但仍等位置，但仍保持為直線，且仍互相平行及垂直于桿軸線。保持為直線，且仍互相平行及垂直于桿軸線。 （2）縱向直線）縱向直線ef、gh等分別移到了等分別移到了 、 等位置，但等位置，但仍保持與桿軸線平行。仍保持與桿軸線平行。 根據現象做出如下假設：根據現象做出如下假設： 桿在變形以前的橫截面，在變形以后仍保持為平面

9、且仍與桿在變形以前的橫截面，在變形以后仍保持為平面且仍與桿軸線垂直。通常把這個假定叫做平面假設。桿軸線垂直。通常把這個假定叫做平面假設。根據平面假設可知：根據平面假設可知：當桿受拉時，所有的縱向纖維都均勻地伸長，即在桿橫截當桿受拉時，所有的縱向纖維都均勻地伸長，即在桿橫截面上各點處的變形都相同。因內力是伴隨著變形一同產生面上各點處的變形都相同。因內力是伴隨著變形一同產生的，故在桿橫截面上的內力也一定是均勻分布的。的，故在桿橫截面上的內力也一定是均勻分布的。a b c d e f g h 橫截面上正應力計算橫截面上正應力計算由圖由圖2-5b可見，作用在微面積可見，作用在微面積dA上的微內力上的微

10、內力dN=dA通過積分可求得作用在桿橫截面上的內力通過積分可求得作用在桿橫截面上的內力ANdA 因在橫截面上各點處的正應力相等，故因在橫截面上各點處的正應力相等，故 從而從而 ANdAANA上式即為軸向受拉桿橫截面上正應力的計算公式。上式即為軸向受拉桿橫截面上正應力的計算公式。又又 NP ，故，故PA單位是單位是Pa，在工程單位制中常，在工程單位制中常用的單位是用的單位是kg/cm2和和t/m2。例題例題2-4：圖：圖2-6表示用兩根鋼絲繩起吊一扇平板閘門。若表示用兩根鋼絲繩起吊一扇平板閘門。若每根鋼絲繩上所受的力為每根鋼絲繩上所受的力為20kN，鋼絲繩圓截面的直徑，鋼絲繩圓截面的直徑d20m

11、m，試求鋼絲繩橫截面上的應力。，試求鋼絲繩橫截面上的應力。20kN20kN2.5m3.5m圖2-6 例題2-4圖閘門解：解： 鋼絲繩的軸力鋼絲繩的軸力 NP20kN2104N 鋼絲繩的橫截面積鋼絲繩的橫截面積 22242203143.14 1044DAmmm由公式由公式 可求得可求得鋼絲繩橫截面上的應力為鋼絲繩橫截面上的應力為：NA46242 1063.7 10/63.73.14 10NN mMPaA2.2 斜截面上的應力斜截面上的應力 軸向受拉桿用一與其橫截面軸向受拉桿用一與其橫截面mk成成 角的斜截面角的斜截面mn（簡（簡稱為稱為 截面）將其分成為截面）將其分成為I I、IIII兩部分，并

12、取部分兩部分，并取部分I I為脫為脫離體離體 dPPmknPmkbcmknPPNxmknPnP圖2-7 軸向受拉桿斜截面上的應力由靜力學平衡方程由靜力學平衡方程 , ,可求得可求得 截面上的內力截面上的內力0X NP在在 截面上的應力為截面上的應力為p ，其指向與桿軸線平行，且在整個，其指向與桿軸線平行，且在整個 截面截面上是均勻分布的。上是均勻分布的。若以若以A 與與A 分別表示截面分別表示截面mn與橫截面與橫截面mk的面積，則的面積，則 AANp ApdAp A由圖由圖2-7可知可知cosAA將式（將式（a）、（）、（c）代入式（）代入式（b），即可求得截面上的），即可求得截面上的應力應力

13、 截面上的應力為截面上的應力為p ：coscosNPpAA 為了研究方便，通常為了研究方便，通常p 將分解為兩個分量，即沿截面法線方將分解為兩個分量，即沿截面法線方向（或垂直于截面）的分量與沿截面切線方向（或平行于截向（或垂直于截面）的分量與沿截面切線方向（或平行于截面）的分量。面）的分量。2cos1sincossinsin22p方向規定：方向規定： 角以自橫截面的外向法線量起，到所求斜截面的外向法線為角以自橫截面的外向法線量起，到所求斜截面的外向法線為止，是反時針轉時為正，是順時針轉時為負；止，是反時針轉時為正，是順時針轉時為負；正應力仍以拉應力為正，壓應力為負。正應力仍以拉應力為正，壓應力

14、為負。剪應力以它對所研究的脫離體內任一點（例如剪應力以它對所研究的脫離體內任一點（例如C）的力矩的轉）的力矩的轉向是順時針轉時為正，是反對時針轉時為負。向是順時針轉時為正，是反對時針轉時為負。 如圖如圖2-82-8示：示：ncnc圖2-8 的正負號規定 例題例題2-5 有一受軸向拉力有一受軸向拉力P100kN的拉桿（圖的拉桿（圖2-9a），其橫截），其橫截面面積面面積A1000mm2。試分別計算。試分別計算 0、 90及及 45各截面上的各截面上的 和和 的數值。的數值。 P=100kNP=100kNP=100kN221133n11P=100kNP=100kN22nP=100kN33nbcd圖

15、2-9 例題2-5圖PA=100MPa50MPa2=50MPa解：（a）解：解： （a ） 0的截面即桿的橫截面（如圖的截面即桿的橫截面（如圖2-9中的截面中的截面1-1）。由式（。由式（2-3）和（）和（2-4）可分別算得：）可分別算得：322662100 10coscos 01000 10 100 10/100oPAN mMPa111sin2sin(2 0 )sin00222oo（b ） 90的截面即桿的橫截面（如圖的截面即桿的橫截面（如圖2-9中的截面中的截面2-2）?？煞謩e算得：?？煞謩e算得：2cos 9001sin(2 90 )02oo（c ） 45的截面即桿的橫截面（如圖的截面即桿

16、的橫截面（如圖2-9中的截面中的截面3-3）?？煞謩e算得：）?？煞謩e算得：222cos 45100 ()50211sin(2 45 )10050222ooMPaMPa將上面算得的正應力和剪應力分別表示在它們所作用的截面將上面算得的正應力和剪應力分別表示在它們所作用的截面上，如圖上，如圖2-9b、c、d所示。所示。P=100kNP=100kNP=100kN221133n11P=100kNP=100kN22nP=100kN33nbcd圖 2-9 例 題 2-5圖PA=100MPa50MPa2=50MPa 分析例題分析例題2-5的答案，可得出如下結論，即：的答案，可得出如下結論，即： 1. 在軸向受

17、拉（壓）桿的橫截面上，只有正應力；在軸向受拉（壓）桿的橫截面上，只有正應力； 2. 在與桿軸線平行的縱截面上，既不存在正應力，也不在與桿軸線平行的縱截面上，既不存在正應力，也不存在剪應力；存在剪應力；3. 在所有的斜截面上，即有正應力，又有剪應力；當在所有的斜截面上，即有正應力，又有剪應力；當 在在090之間變動時，最大正應力之間變動時，最大正應力 max 產生在產生在 0的橫截面上且等于的橫截面上且等于 ，即即 ；最大剪應力產生在；最大剪應力產生在 45，數值等于正應力的一半，即，數值等于正應力的一半，即 。 maxmax22.3 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 胡克定律胡克定律 3.1

18、軸向受拉（壓）桿的變形軸向受拉（壓）桿的變形 1. 軸向受拉桿的變形主要是軸向伸長，且桿的橫向尺寸也軸向受拉桿的變形主要是軸向伸長，且桿的橫向尺寸也有所縮小。有所縮小。 2. 軸向受壓桿，其主要變形為軸向縮短，同時其橫向尺寸軸向受壓桿，其主要變形為軸向縮短，同時其橫向尺寸也有所增大。也有所增大。 一、受拉桿的軸向變形一、受拉桿的軸向變形 設有一原長為設有一原長為l的等直桿，受到一對軸向的等直桿，受到一對軸向拉力拉力P作用后，其長度增大為作用后，其長度增大為l1，則桿的，則桿的軸向伸長為軸向伸長為 1lll 在桿各部分都為均勻伸長的情況下在桿各部分都為均勻伸長的情況下 ，可求，可求出每單位長度桿

19、的軸向伸長，即軸向線應出每單位長度桿的軸向伸長，即軸向線應變為變為llPd1d圖2-10 軸向受拉桿的變形受拉桿為正，故軸向受拉桿的受拉桿為正，故軸向受拉桿的 為正為正。二、受拉桿的橫向變形二、受拉桿的橫向變形 設桿的原有橫向尺寸為設桿的原有橫向尺寸為d，受力變形后縮小為，受力變形后縮小為d1（圖（圖2-10），故其橫向縮小為，故其橫向縮小為1ddd與其相應的橫向線應變為與其相應的橫向線應變為 dd 受拉桿的受拉桿的 d為負值，故為負值，故 也為負值，它與軸向線應變有相反也為負值，它與軸向線應變有相反的正負號。的正負號。 3.2 胡克定律胡克定律 胡克定律：當桿內應力不超過材料的比例極限（即正

20、應力胡克定律：當桿內應力不超過材料的比例極限（即正應力 與線應變與線應變 成正比的最高限應力）時，應力與應變成正比成正比的最高限應力）時，應力與應變成正比，即，即 E式中的比例常數式中的比例常數E稱為彈性模量，它表示材料在拉伸（壓稱為彈性模量，它表示材料在拉伸（壓縮）時抵抗彈性變形的能力，其量綱為，在國際單位制中縮）時抵抗彈性變形的能力，其量綱為，在國際單位制中的常用單位是的常用單位是Pa。E的數值隨材料而異，是通過試驗測定的數值隨材料而異，是通過試驗測定的。的。 3.3 橫向變形系數橫向變形系數 實驗結果還表明，當受拉（壓）桿內的應力不超過材料的實驗結果還表明，當受拉（壓）桿內的應力不超過材

21、料的比例極限時，橫向線應變比例極限時，橫向線應變 與軸向線應變與軸向線應變 之比的絕對值為之比的絕對值為一常熟，即一常熟，即式中式中 稱為橫向變形系數或泊松（稱為橫向變形系數或泊松（S.D.Poisson）比，是一無）比，是一無量綱的量，其數值也隨材料而異，需要通過試驗測定。量綱的量，其數值也隨材料而異，需要通過試驗測定。 例題例題2-6：用低碳鋼試件作拉伸試驗。當拉力達到：用低碳鋼試件作拉伸試驗。當拉力達到20kN時，試時，試件中間部分件中間部分A、B兩點間距離由兩點間距離由50mm變為變為50.01mm（圖（圖2-11）。試求該試件的相對伸長、在試件中產生的最大正應力和）。試求該試件的相對

22、伸長、在試件中產生的最大正應力和最大剪應力。已知低碳鋼的最大剪應力。已知低碳鋼的E2.1105 MPa。AB圖2-11 例題2-6圖解：解：在拉力在拉力P20kN時，試件上時，試件上A、B兩點間一段的絕對伸長兩點間一段的絕對伸長為為l=50.1500.01mm相對伸長為相對伸長為0.010.000250ll 軸向拉伸時，最大正應力發生在試件的橫截面上，將軸向拉伸時，最大正應力發生在試件的橫截面上，將E和和 代入公式代入公式 ,可得可得E5max2.1 100.000242EMPa軸向拉伸時，最大剪應力發生在試件中軸向拉伸時，最大剪應力發生在試件中 45的斜截面上的斜截面上，其值等于最大正應力的

23、一半，即，其值等于最大正應力的一半，即maxmax422122MPa 表表2-1 彈性模量與橫向變形系數的約值彈性模量與橫向變形系數的約值材料名稱材料名稱牌號牌號E（GPa）低碳鋼低碳鋼Q2352002100.240.28中碳鋼中碳鋼35，45號號2052090.260.30低合金鋼低合金鋼16Mn2000.250.30合金熱強鋼合金熱強鋼40CrNiMoA2100.280.32合金預應力鋼合金預應力鋼筋筋45MnSiV2200.230.25灰口鑄鐵灰口鑄鐵601620.230.27球墨鑄鐵球墨鑄鐵1501800.240.27鋁合金鋁合金LY12720.33銅合金銅合金1001100.310.

24、36材料名稱材料名稱牌號牌號E（GPa）硬質合金硬質合金3800.250.28混凝土混凝土C30C4518380.160.20木材木材（順紋）（順紋）912木材木材（橫紋）（橫紋）0.51.0巖石巖石石灰巖類石灰巖類690.160.22磚瓦磚瓦紅、青磚瓦紅、青磚瓦2.73.50.140.21橡膠橡膠工業工業P型橡膠型橡膠板板0.0080.470.502.4 材料在拉伸和壓縮時材料在拉伸和壓縮時的力學性質的力學性質 4.1 4.1 概述概述 不同的材料有著不同的應力限度，這就需要研究各種材不同的材料有著不同的應力限度，這就需要研究各種材料本身固有的力學性質（或機械性質）。料本身固有的力學性質（或

25、機械性質）。 許多材料在拉伸試驗時，能較充分地顯示出它們的力學許多材料在拉伸試驗時，能較充分地顯示出它們的力學性質，故拉伸試驗是一種被廣泛采用的基本試驗。通常性質，故拉伸試驗是一種被廣泛采用的基本試驗。通常采用兩類典型材料，以低碳鋼為代表的塑性材料和以鑄采用兩類典型材料，以低碳鋼為代表的塑性材料和以鑄鐵為代表的脆性材料。鐵為代表的脆性材料。 4.2 鋼材的拉伸試驗鋼材的拉伸試驗 根據國家頒布的測試規范，在做拉伸試驗時，應將材料根據國家頒布的測試規范，在做拉伸試驗時，應將材料做成標準試件，使其幾何形狀和受力條件都能符合軸向做成標準試件，使其幾何形狀和受力條件都能符合軸向拉伸的要求。圖拉伸的要求。

26、圖2-14表示一般金屬材料試件的形式。表示一般金屬材料試件的形式。 bAA圖2-14 試件 試驗方法：試驗方法： 在試驗以前，要在試件中部的等截面直桿部分用與試件軸在試驗以前，要在試件中部的等截面直桿部分用與試件軸線垂直的二細線（或圓環線）標出一工作段，并稱其長度線垂直的二細線（或圓環線）標出一工作段，并稱其長度為標距為標距l。為便于比較不同精細試件的工作段在拉斷后的。為便于比較不同精細試件的工作段在拉斷后的變形程度，通常將圓截面標準試件的標距變形程度，通常將圓截面標準試件的標距l與橫截面直徑與橫截面直徑d的比例規定為的比例規定為 l10d或或l5d 將矩形截面標準試件的標距將矩形截面標準試件

27、的標距l與橫截面面積與橫截面面積A的比例規定為的比例規定為 或或 。 做軸向拉伸試驗時，首先應將試件兩端牢牢地夾在試驗機做軸向拉伸試驗時，首先應將試件兩端牢牢地夾在試驗機的上、下夾頭中（圖的上、下夾頭中（圖2-15），然后再開動試驗機給試件施），然后再開動試驗機給試件施加拉力，使其發生伸長變形，直至最后拉斷。加拉力，使其發生伸長變形，直至最后拉斷。11.3lA5.65lAPP夾頭夾頭試件圖2-15 試件的安裝圖2-16 低碳鋼試件的拉伸圖bcPo 通常是將試件拉伸圖中的拉力通常是將試件拉伸圖中的拉力P除以試件的原有截面面積除以試件的原有截面面積A求得試件中的正應力求得試件中的正應力 ， 將伸長

28、將伸長 l除以標距除以標距l求得試件的軸向線應變求得試件的軸向線應變 ，然后根據，然后根據求得的求得的 值和值和 值畫出材料的應力應變曲線值畫出材料的應力應變曲線 。圖。圖2-17所示所示為低碳鋼的應力應變曲線：為低碳鋼的應力應變曲線： PAllABCDEFGH O圖2-17 低碳鋼的應力-應變曲線PAPesbPe 從低碳鋼的應力應變曲線可以看到，在整個拉伸試驗過從低碳鋼的應力應變曲線可以看到，在整個拉伸試驗過程中，與拉伸圖中所示的程中，與拉伸圖中所示的I、II、III、IV四個階段相對應，四個階段相對應，應力與應變之間的關系也大致可分為如下的四個階段：應力與應變之間的關系也大致可分為如下的四

29、個階段： （1）彈性階段，即）彈性階段，即OB直線段。相應于點直線段。相應于點A的應力叫做材料的應力叫做材料的比例極限，而將相應于彈性階段最高點的比例極限，而將相應于彈性階段最高點B的應力叫做材的應力叫做材料的彈性極限。料的彈性極限。 （2）屈服階段。當荷載繼續增加，使應力接近點）屈服階段。當荷載繼續增加，使應力接近點C所示的所示的應力值時，應變的增長將比應力的增長要快一些，且在過應力值時，應變的增長將比應力的增長要快一些，且在過點點C以后一直到點以后一直到點D時，幾乎應力保持不變而應變卻繼續不時，幾乎應力保持不變而應變卻繼續不斷地迅速增加，這種現象稱為材料的屈服（或流動）。與斷地迅速增加，這

30、種現象稱為材料的屈服（或流動）。與點點C相對應的應力叫做材料的屈服極限（或流動極限），相對應的應力叫做材料的屈服極限（或流動極限），這一階段稱為屈服階段（或流動階段）。這一階段稱為屈服階段（或流動階段）。 （3）強化階段。經過屈服階段以后，鋼材因塑性變形使其）強化階段。經過屈服階段以后，鋼材因塑性變形使其內部的晶體結構得到了調整，抵抗能力有所增強，故如圖內部的晶體結構得到了調整，抵抗能力有所增強，故如圖2-17中中DE段曲線所示，應力又逐漸升高，這個階段稱為強段曲線所示，應力又逐漸升高，這個階段稱為強化階段。與曲線最高點化階段。與曲線最高點E相對應的應力是材料在被拉斷前相對應的應力是材料在被拉

31、斷前所能承受的最大應力，叫做材料的強度極限（或極限強度所能承受的最大應力，叫做材料的強度極限（或極限強度）。）。 （4）頸縮階段。當應力超過強度極限）頸縮階段。當應力超過強度極限 后，試件的變形開后，試件的變形開始集中在某一小段內，使此小段的橫截面面積顯著地縮小始集中在某一小段內，使此小段的橫截面面積顯著地縮小，出現如圖，出現如圖2-16c所示的頸縮現象。此時，施加于試件的拉所示的頸縮現象。此時，施加于試件的拉力不但加不上去，反而會自動地降下來一些，一直到試件力不但加不上去，反而會自動地降下來一些，一直到試件被拉斷，如圖被拉斷，如圖2-17中中EF段曲線所示。這一階段稱為頸縮階段曲線所示。這一

32、階段稱為頸縮階段（或局部變形階段）。段（或局部變形階段）。 材料塑性的重要指標材料塑性的重要指標 p，其值常用百分數表示，稱為伸長，其值常用百分數表示，稱為伸長率（或延伸率），并用符號率（或延伸率），并用符號 d d表示，即表示，即 1100%100%100%pllllld式中的式中的l1是試件斷裂后標矩段的總長度（試驗完是試件斷裂后標矩段的總長度（試驗完 后需測出的后需測出的），）， l是試件斷裂后標矩段的總伸長。是試件斷裂后標矩段的總伸長。在工程實際中，通常將發生顯著塑性變形（在工程實際中，通常將發生顯著塑性變形（ d d5）以后才）以后才斷裂的材料稱為塑性材料，而將在沒有發生顯著變形以前

33、（斷裂的材料稱為塑性材料，而將在沒有發生顯著變形以前（ d d 5）即斷裂的材料稱為脆性材料。衡量材料塑性的另一）即斷裂的材料稱為脆性材料。衡量材料塑性的另一指標，稱為面積收縮率，即指標，稱為面積收縮率，即1100%AAA式中的式中的A1是試件斷裂后在斷口處的橫截面面積。是試件斷裂后在斷口處的橫截面面積。 例題例題2-9：用低碳鋼圓截面試件（參看圖：用低碳鋼圓截面試件（參看圖2-14a）做拉伸試驗）做拉伸試驗。已知試件圓截面的直徑。已知試件圓截面的直徑d10mm，工作段的長度，工作段的長度l100mm，當加拉力至，當加拉力至P10kN時，量測得工作段的伸長時，量測得工作段的伸長l0.0607m

34、m，低碳鋼的比例極限（實驗平均數值），低碳鋼的比例極限（實驗平均數值） p 200MPa，試求此時鋼試件橫截面上的正應力，試求此時鋼試件橫截面上的正應力 ，工作段的，工作段的應變應變 以及低碳鋼的彈性模量以及低碳鋼的彈性模量E各為多少？各為多少？ 解：解： 首先算出鋼試件的橫截面面積首先算出鋼試件的橫截面面積23 262(10 10 )78.5 1044dAm 將其代入式（將其代入式（2-2-1）求得試件橫截面上的正應力）求得試件橫截面上的正應力362610 10127.4 10/127.478.5 10NN mMPaA再由式（再由式（2-3-1）算出試件工作段的應變）算出試件工作段的應變0.

35、06070.000607100ll低碳鋼的彈性模量低碳鋼的彈性模量 69127.4 10210 102100.000607ePaGPa 4.3 鋼材的冷作硬化和鋼筋的冷拉加工鋼材的冷作硬化和鋼筋的冷拉加工 卸載后又立即重新加載，則應力應變曲線將沿卸載后又立即重新加載，則應力應變曲線將沿OK上升，上升，且在到達點且在到達點K后轉向原曲線后轉向原曲線KEF，最后到達點，最后到達點F。這表示，。這表示，若使鋼材先產生一定的塑性變形，則其比例極限屈服極限若使鋼材先產生一定的塑性變形，則其比例極限屈服極限可得到提高可得到提高 ，但其塑性變形將減少，但其塑性變形將減少 ，通常把鋼材的這種特，通常把鋼材的這

36、種特性稱為冷作硬化。性稱為冷作硬化。 ABCDEFH EFKKOOsssddd圖2-18 鋼的冷作硬化和時效現象 4.4 其他材料在拉伸時的力學性質其他材料在拉伸時的力學性質 對沒有明顯屈服階段的工程材料，一般規定以產生對沒有明顯屈服階段的工程材料，一般規定以產生0.2的的殘余變形時所對應的應力值作為條件屈服極限。殘余變形時所對應的應力值作為條件屈服極限。 一般來說，脆性材料在受拉過程中沒有屈服階段，也不會一般來說，脆性材料在受拉過程中沒有屈服階段，也不會發生頸縮現象。發生頸縮現象。 圖2-19 幾種塑性材料的應力-應變曲線塑料鋁合金退火球墨鑄鐵16錳鋼錳釩鋼圖2-20 確定名義屈服極限 的方

37、法OOC 4.5 材料在壓縮時的力學性質材料在壓縮時的力學性質 （1）鋼材的壓縮試驗）鋼材的壓縮試驗 鋼材的壓縮試件通常做成圓柱體，其鋼材的壓縮試件通常做成圓柱體，其高度為直徑的高度為直徑的1.52倍（圖倍（圖2-22）。）。 試驗時將試件放在試驗機的二壓座間試驗時將試件放在試驗機的二壓座間，施加軸向壓力。象拉伸試驗那樣，施加軸向壓力。象拉伸試驗那樣，若使若使 ， 也可將壓縮圖整理為鋼材在壓縮時的應也可將壓縮圖整理為鋼材在壓縮時的應力應變曲線。圖力應變曲線。圖2-23中的實線即為中的實線即為低碳鋼在壓縮時的應力應變曲線。低碳鋼在壓縮時的應力應變曲線。 PP圖2-22 鋼材的壓縮試驗PlAl、

38、從這兩條曲線可以看出：在屈服階段以前，它們基本上從這兩條曲線可以看出：在屈服階段以前，它們基本上是重合的，這說明低碳鋼在壓縮時的比例極限、屈服極是重合的，這說明低碳鋼在壓縮時的比例極限、屈服極限和彈性模量都與拉伸時相同。但在超過屈服極限以后限和彈性模量都與拉伸時相同。但在超過屈服極限以后，因低碳鋼試件被壓成鼓形（圖，因低碳鋼試件被壓成鼓形（圖2-22），受壓面積越來），受壓面積越來越大，不可能產生斷裂，也無法測定材料的壓縮強度極越大，不可能產生斷裂，也無法測定材料的壓縮強度極限。故一般說來，鋼材的力學性質主要是用拉伸試驗來限。故一般說來，鋼材的力學性質主要是用拉伸試驗來確定。確定。O圖2-23

39、 低碳鋼壓縮是的應力-應變曲線 圖2-24 鑄鐵的壓縮試驗（ ）應力-應變曲線 （ ）試件破壞情況Ob （2）鑄鐵的壓縮試驗）鑄鐵的壓縮試驗 作為脆性材料典型代表的鑄鐵在受壓時的應力應變曲線作為脆性材料典型代表的鑄鐵在受壓時的應力應變曲線如圖如圖2-24a所示。試驗證明，鑄鐵試件在壓縮變形很小時即所示。試驗證明，鑄鐵試件在壓縮變形很小時即會突然破裂會突然破裂 。 鑄鐵的抗壓性能較好，它在受壓時的強度極限比受拉時的鑄鐵的抗壓性能較好，它在受壓時的強度極限比受拉時的要高要高45倍。由于破壞面間磨擦力的影響，鑄鐵試件破壞倍。由于破壞面間磨擦力的影響，鑄鐵試件破壞時，是沿與試件軸線大約成時，是沿與試件

40、軸線大約成3935的斜面上發生剪斷的斜面上發生剪斷破壞（圖破壞（圖2-24b），這表明鑄鐵的抗剪能力比其抗壓能力差），這表明鑄鐵的抗剪能力比其抗壓能力差，故只適合于用作受壓的構件。，故只適合于用作受壓的構件。 4.6 工程中常用材料的力學性質的比較工程中常用材料的力學性質的比較 在工程實際中，通常是根據材料在破壞前變形的大小，將在工程實際中，通常是根據材料在破壞前變形的大小，將材料劃分為塑性材料和脆性材料。材料劃分為塑性材料和脆性材料。 對材料性質的進一步研究，發現即使是同一種材料，在不對材料性質的進一步研究，發現即使是同一種材料，在不同外界因素（例如加載的速度，溫度的高低、受力的狀態同外界因

41、素（例如加載的速度，溫度的高低、受力的狀態等）的影響下，它既可表現為塑性性質，也可表現為脆性等）的影響下，它既可表現為塑性性質，也可表現為脆性性質。性質。 以低碳鋼和鑄鐵為代表，對其力學性質的特點加以說明：以低碳鋼和鑄鐵為代表，對其力學性質的特點加以說明：（1）在拉伸時，塑性材料的強度極限遠大于脆性材料的強度極）在拉伸時，塑性材料的強度極限遠大于脆性材料的強度極限，故受拉構件一般應采用塑性材料。限，故受拉構件一般應采用塑性材料。（2）脆性材料的抗壓強度遠大于其抗拉強度，故脆性材料適合）脆性材料的抗壓強度遠大于其抗拉強度，故脆性材料適合于用在抗壓的地方。于用在抗壓的地方。（3）塑性材料在破壞以前

42、的變形較大，其抵抗沖擊的能力比脆）塑性材料在破壞以前的變形較大，其抵抗沖擊的能力比脆性材料要大得多，故對承受沖擊或振動的構件一般要用塑性材料性材料要大得多，故對承受沖擊或振動的構件一般要用塑性材料。（4）試驗證明，塑性材料或脆性材料對應力集中現象即在變截）試驗證明，塑性材料或脆性材料對應力集中現象即在變截面處發生應力急驟增大的現象（參見第七節）的反映也是大不相面處發生應力急驟增大的現象（參見第七節）的反映也是大不相同的。同的。 bc圖2-26 應力集中與應力重分布現象表表2-2 部分常用材料在拉伸和壓縮時的部分常用材料在拉伸和壓縮時的主要力學性能指標（常溫，靜載下）主要力學性能指標（常溫，靜載

43、下）材料名稱材料名稱牌號牌號屈服極限（屈服極限（MPa）強度極限（強度極限（MPa）伸長率（）伸長率（）普通碳素普通碳素鋼鋼Q23524038040025272123優質結構優質結構鋼鋼35號號3155292016優質結構優質結構鋼鋼45號號3535001614低合金鋼低合金鋼16Mn28034047051019211618合金鋼合金鋼40CrNiMoA83098012灰口鑄鐵灰口鑄鐵98390640100020表表2-2 部分常用材料在拉伸和壓縮時的部分常用材料在拉伸和壓縮時的主要力學性能指標（常溫，靜載下）主要力學性能指標（常溫，靜載下）材料名稱材料名稱牌號牌號屈服極限屈服極限（MPa）強

44、度極限強度極限（MPa）伸長率（）伸長率（）鋁合金鋁合金LY1237045015聚碳酸脂聚碳酸脂玻璃鋼玻璃鋼含玻璃含玻璃纖維纖維3012016068環氧玻璃環氧玻璃鋼鋼490混凝土混凝土C30C402.63.83040松木（順松木（順紋）紋）9632.2 4.7 材料強度的許用應力和安全系數材料強度的許用應力和安全系數 通過材料的拉伸（壓縮）試驗，我們即可確定材料在位伸通過材料的拉伸（壓縮）試驗，我們即可確定材料在位伸（壓縮）下達到危險狀態時應力的極限值（例如達到屈服（壓縮）下達到危險狀態時應力的極限值（例如達到屈服極限時即會出現較大的塑性變形；達到強度極限時即會發極限時即會出現較大的塑性變形

45、；達到強度極限時即會發生斷裂破壞），這種應力的極限值稱為材料的極限應力。生斷裂破壞），這種應力的極限值稱為材料的極限應力。 為保證構件能正常地工作和具有必要的安全儲備，在設計為保證構件能正常地工作和具有必要的安全儲備，在設計時，必須使構件中的最大工作應力小于材料的許用應力。時，必須使構件中的最大工作應力小于材料的許用應力。所謂許用應力是將極限應力除以安全系數而得到的，并用所謂許用應力是將極限應力除以安全系數而得到的，并用符號符號 ， jxK式中的式中的K是安全系數，其數值恒大于是安全系數，其數值恒大于1。2.5 軸向受拉（壓）壓桿軸向受拉（壓）壓桿的強度計算的強度計算 5.1 受拉（壓）桿的強

46、度條件受拉（壓）桿的強度條件maxmaxNA把最大軸力把最大軸力Nmax所在的截面稱為危險截面，其上的正應所在的截面稱為危險截面，其上的正應力稱為桿的最大工作應力。力稱為桿的最大工作應力。 等截面受拉（壓）桿的強度條件等截面受拉（壓）桿的強度條件 :maxmax NA或 針對不同的具體情況，應用等截面受拉（壓）桿的強針對不同的具體情況，應用等截面受拉（壓）桿的強度條件可解決三種不同類型的強度計算問題，即度條件可解決三種不同類型的強度計算問題，即 （1）校核桿的強度）校核桿的強度 （2）選擇桿的截面）選擇桿的截面 （3）確定桿的容許荷載）確定桿的容許荷載max NAmax NAmax NA 例題

47、例題2-11 有一根由三號鋼制成的拉桿。已知三號鋼的有一根由三號鋼制成的拉桿。已知三號鋼的許用應力許用應力 =170MPa，桿的橫截面為直徑，桿的橫截面為直徑d14mm的圓形。若桿受有軸向拉力的圓形。若桿受有軸向拉力P25kN，試校核此，試校核此桿是否滿足強度要求。桿是否滿足強度要求。 解：解： 已知：桿中的最大軸力已知：桿中的最大軸力 NmaxP25kN 桿的橫截面積桿的橫截面積 23 2623.14(14 10 )44 154 10dAm 三號鋼的許用應力三號鋼的許用應力 =170MPa，將它代入式（，將它代入式（2-5-1）可得）可得 滿足強度要求。滿足強度要求。362maxmax625

48、 10162 10/154 10 162 170NPN mAAMPaMPa 5.2 考慮自重時受拉（壓）桿的計算考慮自重時受拉（壓）桿的計算 1. 強度計算和變形計算強度計算和變形計算 在實際工程中，尤其是土建和水利工程中，有許多建筑在實際工程中，尤其是土建和水利工程中，有許多建筑或其構件，例如混凝土柱、鋼筋混凝土梁、以及擋土或其構件，例如混凝土柱、鋼筋混凝土梁、以及擋土墻、橋墩、重力壩等等，它們的自重都非常大；另外墻、橋墩、重力壩等等，它們的自重都非常大；另外有些長度比較大的構件例如起重機的吊纜、鉆探機的有些長度比較大的構件例如起重機的吊纜、鉆探機的鉆桿和海洋深度探測器的懸索等，其自重雖不一

49、定很鉆桿和海洋深度探測器的懸索等，其自重雖不一定很大，但和它們所承受的其它荷載比較，自重常占有很大，但和它們所承受的其它荷載比較，自重常占有很大的比例，故在計算這些構件的強度和變形時，不能大的比例，故在計算這些構件的強度和變形時，不能再把它們的自重忽略不計再把它們的自重忽略不計 。 例題例題2-14：有一高度：有一高度l24m的方形截面等直石柱（圖的方形截面等直石柱（圖2-29a），在其頂部作用有軸向荷載），在其頂部作用有軸向荷載P1000kN。已知材料。已知材料的容重的容重g g=23kN/m3、容許應力、容許應力 = 1MPa，試設計此石柱，試設計此石柱所需的截面尺寸。所需的截面尺寸。P=

50、1000kNnnbcPnnPNN(x)W(x)= AgNmax=P+ Alg圖2-29 例題2-14圖 解：解： 在求解本例題時，應考慮到石柱是在軸向荷載在求解本例題時，應考慮到石柱是在軸向荷載P及其自重的及其自重的共同作用下，柱的自重可看作是沿柱高均勻分布的荷載（共同作用下，柱的自重可看作是沿柱高均勻分布的荷載（圖圖2-29a）。）。 （1）計算軸力）計算軸力 在距柱頂面的距離為在距柱頂面的距離為x處，用一個假想橫截面處，用一個假想橫截面nn截出脫離截出脫離體如圖體如圖2-29b所示，則在所示，則在nn截面上的軸力為截面上的軸力為( )( )()N xPW xPAxg 當當x0時，時，W(x

51、)0，即在柱的頂面上不受自重作用，即在柱的頂面上不受自重作用，當當xl時，時， W(x) g gAl （2）設計橫截面）設計橫截面 等直柱的橫截面應根據最大軸力等直柱的橫截面應根據最大軸力Nmax來設計，即柱的來設計，即柱的截面大小應能滿足下列強度條件：截面大小應能滿足下列強度條件： 故可求得故可求得 故方形截面的邊長故方形截面的邊長a應為應為 取取maxmax NPlAAg6263102.23 1023 1024PAmlg2.231.49aAm1.5am 2. 等強度桿等強度桿 對于等直柱我們是按照式（對于等直柱我們是按照式（2-5-2）選擇其橫截面的，）選擇其橫截面的，只使柱的底端橫截面上

52、的最大正應力只使柱的底端橫截面上的最大正應力 max達到了容許達到了容許應力應力 ，而其它橫截面上的應力都要比，而其它橫截面上的應力都要比 小。小。 桿上每一橫截面上的應力都達到桿上每一橫截面上的應力都達到 ，具有這種特點的，具有這種特點的桿稱為等強度桿。桿稱為等強度桿。 桿頂端橫截面的面積為桿頂端橫截面的面積為A0，桿身材料的容重為，桿身材料的容重為g g，許用應力許用應力 ，則，則PA0bA(x)A(x)+dA(x)A(x)A(x)+dA(x)Axdxg圖2-32 等強度桿的計算0 PA 頂端作用有軸向荷截頂端作用有軸向荷截P的圓截面等強度桿，其頂端橫截的圓截面等強度桿，其頂端橫截面面積為

53、面面積為 A0，距離為，距離為x處的橫截面面積處的橫截面面積 ，r(x)為圓截面的半徑為圓截面的半徑 ，其中，其中2( )( )A xrx12( )( ) xA xPr xeg 2.6 拉伸和壓縮的超靜定問題拉伸和壓縮的超靜定問題 6.1 超靜定問題的解法超靜定問題的解法 根據靜力學平衡方程即可解得要求的支座反力和軸力根據靜力學平衡方程即可解得要求的支座反力和軸力，這類問題稱為靜定問題。，這類問題稱為靜定問題。 靠靜力平衡方程的辦法不能求得其解答，這類問題稱靠靜力平衡方程的辦法不能求得其解答，這類問題稱為靜力學不可定問題，也簡稱為靜不定問題或超靜定為靜力學不可定問題，也簡稱為靜不定問題或超靜定問題。問題。 超靜定問題中與多余約束相應的支座反力或內力稱為多超靜定問題中與多余約束相應