1、1.若對于函數若對于函數 f(x) 定義域內任意一個定義域內任意一個 x, 都有都有 f(- -x)=f(x), 則則稱稱 f(x) 為為偶函數偶函數. 一、函數的奇偶性一、函數的奇偶性2.若對于函數若對于函數 f(x) 定義域內任意一個定義域內任意一個 x, 都有都有 f(- -x)=- -f(x), 則則稱稱 f(x) 為為奇函數奇函數. 二、簡單性質二、簡單性質 研究半個區間！研究半個區間！1.奇函數的圖象關于奇函數的圖象關于原點原點對稱對稱, 偶函數的圖象關于偶函數的圖象關于 y 軸軸對稱對稱.反之成立！反之成立！2.單調性單調性:3.奇函數奇函數: f(0)=0( (0 在定義域中在

2、定義域中) ), 偶函數偶函數: f(x)=f(|x|). 3.若若函數函數 f(x) 不具有上述性質不具有上述性質, 則則稱稱 f(x) 不具有奇偶性不具有奇偶性; 若若函數同時具有上述兩條性質函數同時具有上述兩條性質, 則則 f(x) 既是奇函數既是奇函數, 又是偶函數又是偶函數.例例: 函數函數 f(x)=0( (xD, D關于原點對稱關于原點對稱) )是是既奇又偶函數既奇又偶函數. 三、三、函數奇偶性的判定方法函數奇偶性的判定方法 1.根據定義判定根據定義判定:首先看函數的定義域是否關于首先看函數的定義域是否關于原點對稱原點對稱, 若不對稱若不對稱, 則函則函數是非奇非偶函數數是非奇非

3、偶函數; 若對稱若對稱, 再判定再判定 f(- -x)=f(x) 或或 f(- -x)=- -f(x). 2.利用定理利用定理, 借助函數的圖象判定借助函數的圖象判定: 3.性質法判定性質法判定: 在公共定義域內在公共定義域內,兩奇函數之積兩奇函數之積( (商商) )為偶函數為偶函數;兩偶函數之積兩偶函數之積( (商商) )也為偶函數也為偶函數; 一奇一偶函數之積一奇一偶函數之積( (商商) )為奇函數為奇函數. ( (注意取商時分母不為零注意取商時分母不為零!)!) 有時判定有時判定 f(- -x)=f(x) 比較困難比較困難, 可考慮判定可考慮判定 f(- -x) f(x)=0或判定或判定

4、 = 1. f(x) f(- -x) 四、函數的周期性四、函數的周期性 如果存在一個非零常數如果存在一個非零常數 T, 使得對于函數定義域內的任意使得對于函數定義域內的任意 x,都有都有 f(x+T)=f(x), 則稱函數則稱函數 f(x) 為為周期函數周期函數, T 為函數的一個周為函數的一個周期期. 若若f(x)的周期中的周期中, 存在一個最小的正數存在一個最小的正數, 則稱它為函數的則稱它為函數的最小最小正周期正周期.五、典型例題五、典型例題1.判斷下列函數的奇偶性：判斷下列函數的奇偶性： 偶函數偶函數 奇函數奇函數 既奇又偶函數既奇又偶函數 非奇非偶函數非奇非偶函數 若周期函數若周期函

5、數 f(x) 的最小正周期為的最小正周期為 T, 則則 f( x)( 0) 也為周也為周期函數期函數, 且最小正周期為且最小正周期為 . | | T (1) f(x)= ; 2x (1+2x)2 (2) f(x)=lg(x+ x2+1); (3) f(x)=log2( 1- -x2 + x2- -1 +1); (4) f(x)=(1- -x) ; 1- -x 1+x 奇函數奇函數 (5) f(x)= ; |x+3|- -3 lg(1- -x2) 偶函數偶函數 (6) f(x)=x( + ). 3x- -1 1 12 2.(1)設函數設函數 f(x) 的定義域關于原點對稱的定義域關于原點對稱,

6、判斷下列函數的奇判斷下列函數的奇偶性偶性: F(x)= f(x)+f(- -x); G(x)= f(x)- -f(- -x); 1212(2)試將函數試將函數 y=2x 表示為一個奇函數與一個偶函數的和表示為一個奇函數與一個偶函數的和. 3.設設f(x)與與g(x)分別為奇函數和偶函數分別為奇函數和偶函數, 若若f(x)- -g(x)=( )x, 比比12較較 f(1)、g(0)、g(- -2) 的大小的大小. 4.設函數設函數 f(x) 的定義域關于原點對稱的定義域關于原點對稱, 且滿足且滿足: 存在正常存在正常數數 a, 使使 f(a)=1; f(x1- - x2)= . 求證求證: (1

7、) f(x) 是奇函是奇函數數; (2) f(x) 是周期函數是周期函數, 并且有一個周期為并且有一個周期為 4a.f(x1)f(x2)+1 f(x2)- -f(x1) f(1)g(0)g(- -2) 偶函數偶函數 奇函數奇函數 y= (2x- -2- -x)+ (2x+2- -x) 1212g(x)=- - (2- -x+2x). 12f(x)= (2- -x- -2x), 12f(a+x)=1- - , f(x)+1 2f(2a+x)=- - , f(x) 1f(4a+x)=f(x). 5.已知已知 f(x) 是定義在是定義在 R 上的函數上的函數, 且對于任意的且對于任意的 a, bR

8、都滿足都滿足: f(a+b)+f(a- -b)=2f(a)f(b) 且且 f(0) 0. (1)求證求證: f(x)是偶函數是偶函數; (2)若存在正數若存在正數 m, 使使 f(m)=0, 求滿足求滿足 f(x+T)=f(x) 的一個的一個 T(T 0)的值的值.(1)f(0)=1, f(- -b)=f(b), (2)考慮考慮 f(a+m), f(a+2m), f(a+4m). 1.設設 f(x)( (xR) )是以是以 3 為周期的奇函數為周期的奇函數, 且且 f(1)1, f(2)=a, 則則( ) A. a2 B. a1 D. a0 時的表達式為時的表達式為 f(x)=2x - - ,

9、 則當則當 x0 B. f(x)0 C. f(x)+f(- -x)0 課堂練習 3.函數函數 f(x)= 的奇偶性是的奇偶性是( ) A.奇函數奇函數 B.偶函數偶函數 C.非奇非偶函數非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數既是奇函數又是偶函數|x- -2| 4- -x2 D B C 4.已知已知 y=f(x- -1) 是偶函數是偶函數, 則則 y=f(x) 的圖象關于的圖象關于( ) A.直線直線 x+1=0 對稱對稱 B.直線直線 x- -1=0 對稱對稱 C.直線直線 x- - =0 對稱對稱 D. y 軸對稱軸對稱 12A 5.奇函數奇函數 f(x) 在在 3, 7 上是增函數上是增函

10、數, 在在 3, 6 上的最大值為上的最大值為 8,最小值為最小值為 - -1, 則則 2f(- -6)+f(- -3) 的值為的值為( ) A. 5 B. - -5 C. - -13 D. - -15 6.奇函數奇函數 f(x) 在在-1, 0 上是減函數上是減函數, , 是銳角三角形的兩是銳角三角形的兩個內角個內角, 且且 , 則下列不等式中正確的是則下列不等式中正確的是( ) A. f(cos )f(cos ) B. f(sin )f(sin ) C. f(cos )f(cos ) D. f(sin )f(cos )D D 7.已知已知 f(x) 的圖象關于直線的圖象關于直線 x=a 對

11、稱對稱, 又關于點又關于點 (m, n) 對稱對稱, 其中其中 m a. 求證求證 f(x) 是以是以 4(a- -m) 為周期的周期函數為周期的周期函數.證證: 由已知由已知, f(x)=f(2a- -x), 且且 f(x)+f(2m- -x)=2n, f4(a- -m)+x=f2a- -(4m- -2a- -x)=f(4m- -2a- -x)=f2m- -(2a+x- -2m)=2n- -f(2m- -x)=f(x).f(x) 是以是以 4(a- -m) 為周期的周期函數為周期的周期函數. =2n- -f(2a+x- -2m)=2n- -f2a- -(2m- -x) 5.已知定義在已知定義在 R 上的函數上的函數 y=f(x) 滿足滿足 f(2+x)=f(2- -x), 且且 f(x)是偶函數是偶函數, 當當 x 0, 2 時時, f(x)=2x- -1, 求求 x - -4, 0 時時 f(x) 的表的表達式達式. 6.已知已知 f(x) 是定義在是定義在 R 上的不恒為零的函數上的不恒為零的函數, 且對于任意的且