1、12一一. 相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì) 相似矩陣的定義相似矩陣的定義設(shè)設(shè)A和和B皆是皆是n階方陣，若存在一個(gè)階方陣，若存在一個(gè)n階可逆階可逆方陣方陣P，使得，使得P-1AP=B，則稱矩陣，則稱矩陣B與與A相似相似。從矩陣從矩陣A到矩陣到矩陣B=P-1AP的變換稱為的變換稱為相似變相似變換換；稱；稱P為該相似變換的為該相似變換的變換矩陣變換矩陣。2. 相似關(guān)系相似關(guān)系自反性自反性; 對(duì)稱性對(duì)稱性; 傳遞性傳遞性.等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系33. 相似矩陣的特征值、特征向量相似矩陣的特征值、特征向量定理定理1. 若若A與與B相似，則相似，則A和和B具有相同的特征具有相同的特征多項(xiàng)式，從而具有相同的特征

2、值。多項(xiàng)式，從而具有相同的特征值。定理定理2. 若若B=P-1AP, 是是A的關(guān)于特征值的關(guān)于特征值 的一個(gè)的一個(gè)特征向量特征向量,則則 = P-1 是是B的關(guān)于特征值的關(guān)于特征值 的的一個(gè)特征向量。一個(gè)特征向量。例例1. 證明證明00010A0100 與與 00000B0000 盡管具有相同的特征值，但它們并不相似。盡管具有相同的特征值，但它們并不相似。4證明：證明： 顯然顯然|A - E| = |B - E| = ( 0 - )3，從而，從而A和和B的特征值皆為的特征值皆為 0容易得到：容易得到： 1000 , 1 , 0001 皆是皆是B的與的與 0對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的特征向量特征向量. 倘若倘

3、若A和和B相似，即有某一可逆方陣相似，即有某一可逆方陣P，滿足，滿足依據(jù)定理依據(jù)定理2得：得： 100P 0 ,P 1 ,P 0001 的與特征值的與特征值 0對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量. P-1AP=B.皆是皆是A5也就是說也就是說,矩陣矩陣A應(yīng)該有應(yīng)該有3個(gè)線性無關(guān)的特征個(gè)線性無關(guān)的特征向量向量.證畢證畢二二. 方陣在相似變換下的方陣在相似變換下的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形1, Jordan塊塊 0, 001,0 00011, 0000111 而這是不可能的而這是不可能的因?yàn)榫仃囈驗(yàn)榫仃嘇 - 0E的秩為的秩為2，方程組方程組(A - 0E)X = 0不可能有三個(gè)線性無關(guān)的不可能有三個(gè)線性

4、無關(guān)的解向量。解向量。612JJJJs 2. Jordan矩陣矩陣定理定理3. 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n階方陣階方陣,則存在某一則存在某一Jordan矩矩陣陣J, 使得使得A與與J相似相似. 稱該稱該Jordan矩陣矩陣J為方陣為方陣A在相似變換之下在相似變換之下的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形.7三三. 確定方陣確定方陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的方法標(biāo)準(zhǔn)型的方法.定理定理4 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n階方陣，則階方陣，則A相似于一個(gè)對(duì)相似于一個(gè)對(duì)角陣的充分必要條件是：角陣的充分必要條件是：A有有n個(gè)線性無個(gè)線性無關(guān)的特征向量。關(guān)的特征向量。12n 證明：證明： A相似于一個(gè)對(duì)角陣相似于一個(gè)對(duì)角陣 的充分必要條件

5、是的充分必要條件是:12(,.,)ndiag 8存在存在n階可逆方陣階可逆方陣P，使得，使得P-1AP = ,即即AP = P 記記P = (p1, p2, , pn)，其中，其中p1, p2, , pn是是P矩陣的矩陣的n個(gè)線性無關(guān)的列向量。個(gè)線性無關(guān)的列向量。(Ap1, Ap2, , Apn) = ( 1p2, 2p2, , npn)從而有從而有:也就是說：也就是說：Apk = kpk, k = 1, 2, , n. 即即p1, p2, , pn皆是矩陣皆是矩陣A的特征向量。的特征向量。證畢證畢推論：若推論：若n階矩陣具有階矩陣具有n個(gè)互異的特征值，則該矩個(gè)互異的特征值，則該矩陣相似于一個(gè)

6、對(duì)角矩陣。陣相似于一個(gè)對(duì)角矩陣。9試問試問:若方陣若方陣A相似于對(duì)角方陣相似于對(duì)角方陣12(,.,)ndiag 1. A2是否也相似于對(duì)角方陣是否也相似于對(duì)角方陣? 相似于什么樣相似于什么樣的對(duì)角方陣的對(duì)角方陣?2. A3呢呢?3. 若若 ( ) = a0 + a1 + a2 2 + + am m是一個(gè)是一個(gè)多項(xiàng)式多項(xiàng)式, 定義定義 (A) = a0E + a1A + a2A2+ + amAm. (A)相似于相似于12( (), (),., ()ndiag 10特別當(dāng)特別當(dāng):( )AE , (A)相似于相似于12( (), (),., ()ndiag O 即即: (A) = O定理定理5. 設(shè)

7、設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n階方陣階方陣, ( ) = |A - E|是是A的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式, 則則 (A) = O凱萊凱萊-哈密頓哈密頓(Cayley-Hamilton)定理定理 例例2.判斷下列矩陣是否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，如判斷下列矩陣是否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，如相似，求出相似變換矩陣相似，求出相似變換矩陣P11704A22120011 解：解： 70422120011 74(2)2011 (1)(2)(3) 該矩陣有三個(gè)不同的特征值，所以相似于對(duì)該矩陣有三個(gè)不同的特征值，所以相似于對(duì)角矩陣角矩陣diag(1, 2, 3).12解下列方程組解下列方程組,計(jì)算特征向量計(jì)算特征向量: 123710

8、40221102001110 xxx 102 12372040222102001120 xxx 010 12373040223102001130 xxx 215 13即：即： 11A 00 ,22 00A 12 1 ,00 22A 13 155 從而從而 1021021A 01101122052053 令令 102P011205 ,得到：得到： 11P AP23 14例例3矩陣矩陣 431A632613 是否相似于對(duì)角陣？是否相似于對(duì)角陣？如果相似，請(qǐng)求出相似變換矩陣如果相似，請(qǐng)求出相似變換矩陣P解：解： 431632613 143263361 14302(1)30(1)(6) 8 3 143

9、02(1)300(1)(2)/2 152(2)(1)解方程組解方程組, 求特征向量：求特征向量： 123423106322061320 xxx 128 123413106312061310 xxx 103 該方陣只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以該方陣只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以它并不相似于對(duì)角矩陣。它并不相似于對(duì)角矩陣。 16例例4證明矩陣證明矩陣 431A632613 的的Jordan標(biāo)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型為：標(biāo)準(zhǔn)型為：200011001 證明思路，證明的過程就是要尋找一個(gè)證明思路，證明的過程就是要尋找一個(gè)3階階可逆方陣可逆方陣P = (p1, p2, p3)，使得，使得: 200APP 01100

10、1 17即即:（Ap1, Ap2, Ap3）=（2p1, p2, p2 + p3) 得知：得知：Ap1 = 2p1，Ap2= p2，Ap3= p2 + p3也就是說，也就是說，p1是是A的與特征值的與特征值2對(duì)應(yīng)的特征向?qū)?yīng)的特征向量，量，p2是與特征值是與特征值1所對(duì)應(yīng)的特征向量所對(duì)應(yīng)的特征向量,而而P3則是則是方程組方程組(A E)X = p2的解向量。的解向量。取取 112 ,8p 2103p 18解方程組解方程組: 123331164206123xxx 得：得： 123100132xxcx , 取取 3012p 顯然：顯然： P-1AP = 200011001 ,其中其中 110P20

11、1832 19例例5證明矩陣證明矩陣 100A311643 的的Jordan標(biāo)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型為標(biāo)準(zhǔn)型為100J011001 解：解： 100311643 11(1)43 3(1) 20解方程組解方程組 123110003111064310 xxx 得到特征向量：得到特征向量： 011 ,023 所以該方陣并不與對(duì)角陣相似。剩下的問題就所以該方陣并不與對(duì)角陣相似。剩下的問題就是要在這兩個(gè)向量中是要在這兩個(gè)向量中, 把其中的一個(gè)記作把其中的一個(gè)記作p1, 另一另一個(gè)記作個(gè)記作p2, 然后解線性方程組然后解線性方程組(A E)X = p2, 得到得到p3, 最終找一個(gè)可逆矩陣最終找一個(gè)可逆矩陣P(p1, p2, p3)，使，使P-1AP = J 211231