1、歡迎使用歡迎使用工工 程程 力力 學(xué)學(xué) 系系 多多 媒媒 體體 教教 學(xué)學(xué) 課課 件件 系系 列列 之之 五五第第11章章 梁和結(jié)構(gòu)的位移梁和結(jié)構(gòu)的位移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章虛虛 功功 原原 理理 及及 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移 計(jì)計(jì) 算算11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移11.4 單位荷載法單位荷載法11.5 圖乘法圖乘法水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組11.6 線彈性結(jié)構(gòu)的互

2、等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理11.1 概述概述第第11章章虛虛 功功 原原 理理 及及 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移 計(jì)計(jì) 算算11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移11.4 單位荷載法單位荷載法11.5 圖乘法圖乘法水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組11.6 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理11.1 概述概述水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組一、結(jié)構(gòu)的位移一、結(jié)構(gòu)的位移CDFPDC CD 相對線位移相對線

3、位移 相對角位移相對角位移FPAAyx角位移角位移1、變形和位移、變形和位移在荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形在荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。和位移。變形變形：是指結(jié)構(gòu)形狀的改變。：是指結(jié)構(gòu)形狀的改變。位移位移：是指結(jié)構(gòu)各處位置的移動。：是指結(jié)構(gòu)各處位置的移動。2、位移的分類、位移的分類廣義位移廣義位移線位移線位移xyCD第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.1 11.1 概概 述述水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組3、引起結(jié)構(gòu)位移的原因、引起結(jié)構(gòu)位移的原因 荷載荷載一、結(jié)構(gòu)的位移一、結(jié)構(gòu)的位移 第第11章章 梁梁 和和

4、 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.1 11.1 概概 述述 溫度改變溫度改變 T 制造誤差制造誤差 支座移動支座移動 c等等 c+t水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組二、計(jì)算位移的目的二、計(jì)算位移的目的 1 1、剛度要求、剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度1/600 跨度；高層建筑最跨度；高層建筑最大位移大位移1/1000 高度；最大層間位移高度；最大層間位移1/800 層高。層高。鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定：橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定：橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度和鋼桁梁最大撓度 1

5、/700 和和1/900跨度。跨度。2、超靜定要求、超靜定要求3、施工要求、施工要求maxPF2PFACBPFPF2PFACBmax第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.1 11.1 概概 述述水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.1 11.1 概概 述述xABFBCC 平面彎曲時(shí)，梁上任意兩個橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過一定角平面彎曲時(shí)，梁上任意兩個橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過一定角度，其軸線變成平面曲線，稱為梁的度，其軸線變成平面曲線，稱為梁的撓曲線撓曲線。撓曲線是梁變。撓曲線是

6、梁變形后各截面形心的連線。形后各截面形心的連線。鉛垂位移，稱為鉛垂位移，稱為撓度撓度，用用 表示，規(guī)定表示，規(guī)定向下為正向下為正；變形前后橫截面轉(zhuǎn)過的角度，稱為變形前后橫截面轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角，用，用 表示，表示，規(guī)定規(guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)為正順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；軸向位移或水平位移通常軸向位移或水平位移通常忽略不計(jì)忽略不計(jì)。三、梁的位移三、梁的位移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.1 11.1 概概 述述其中其中 = (x) 稱為撓度方程，稱為撓度方程， = (x) 稱為轉(zhuǎn)角方程。稱為轉(zhuǎn)角方

7、程。從上圖中可以看出，在從上圖中可以看出，在Oxy坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列幾何關(guān)系在下列幾何關(guān)系tandxd 在小變形條件下，在小變形條件下， 很小，有很小，有tan 。于是。于是)(xdxdxABFBCC水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.1 11.1 概概 述述ACFB12A 對于圖示的簡單桁架和剛架，則會如圖所示的變形和對于圖示的簡單桁架和剛架，則會如圖所示的變形和位移，彎曲變形的計(jì)算方法就不適用了。位移，彎曲變形的計(jì)算方法就不適用了。 KKKFP1F

8、P2 因此，本章在了解梁的彎曲變形計(jì)算的基礎(chǔ)上，還因此，本章在了解梁的彎曲變形計(jì)算的基礎(chǔ)上，還要介紹以功能原理為基礎(chǔ)的單位荷載法和圖乘法。要介紹以功能原理為基礎(chǔ)的單位荷載法和圖乘法。第第11章章虛虛 功功 原原 理理 及及 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移 計(jì)計(jì) 算算11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移11.4 單位荷載法單位荷載法11.5 圖乘法圖乘法水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組11.6 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理11.1 概述概述水水 利利 土

9、土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 彈性范圍內(nèi)曲率與彎矩、彈性范圍內(nèi)曲率與彎矩、彎曲剛度之間的關(guān)系為彎曲剛度之間的關(guān)系為 EIM1數(shù)學(xué)中的曲率計(jì)算公式為數(shù)學(xué)中的曲率計(jì)算公式為2322211xddxdd小撓度情形下小撓度情形下0 xddEIMxdd 22xABFBCC水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2

10、 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 彈性范圍內(nèi)，梁的撓曲線近似微分方程滿足彈性范圍內(nèi)，梁的撓曲線近似微分方程滿足EIxMxdd2)(2式中的正負(fù)號與式中的正負(fù)號與 坐標(biāo)正向規(guī)定有關(guān)。坐標(biāo)正向規(guī)定有關(guān)。EIxMxdd2)(20, 02Mxdd20a ,0 xdyd22OxyMOxM 所以梁的撓曲線近似微分方程應(yīng)取所以梁的撓曲線近似微分方程應(yīng)取水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 對于等

11、截面梁，寫出彎矩方程對于等截面梁，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分，代入上式后，分別對別對x作不定積分，得到包含積分常數(shù)的撓度與轉(zhuǎn)角方程：作不定積分，得到包含積分常數(shù)的撓度與轉(zhuǎn)角方程： 其中其中C、D為待定的積分常數(shù)。為待定的積分常數(shù)。 EIMxdd22lCdxEIxMxddx)()(DxCdxdxEIxMxl)()(水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 左端固定右端左端固定右端自由的懸臂梁承受均布載荷。自

12、由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為均布載荷集度為q，梁的彎曲，梁的彎曲剛度為剛度為EI、長度為、長度為l。q、EI、l均已知。求：梁的撓度與轉(zhuǎn)角均已知。求：梁的撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。角。 1建立建立Oxy坐標(biāo)系坐標(biāo)系Ox 2建立梁的彎矩方程建立梁的彎矩方程21( )02M xq lxxl M(x)FQ(x) 【例例11-1】【解解】水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其

13、積分 3建立微分方程并積分建立微分方程并積分 將上述彎矩方程代入將上述彎矩方程代入撓曲線近似微分方程，得撓曲線近似微分方程，得 2)(21 xlqMEI4. 利用約束條件確定積分常數(shù)利用約束條件確定積分常數(shù)積分后，得到積分后，得到 CxlqEIEI3)(61DCxxlqEI4)(241固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 00,0；wx24qlD ,6qlC43解得：解得：【解解】Ox 水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線

14、近似微分方程及其積分 6確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角 從撓度曲線可以看出，懸臂梁在自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角從撓度曲線可以看出，懸臂梁在自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均最大值。均最大值。5確定撓度與轉(zhuǎn)角方程確定撓度與轉(zhuǎn)角方程336qlxlEI 434424qwlxl xlEI3max6BqlEI4m ax8BqlwwEIOx 【解解】maxwmax于是，將于是，將 x = l分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到： 水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2

15、11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 圖示簡支圖示簡支梁已知梁已知FP、EI、l。求：點(diǎn)。求：點(diǎn)B的撓度和的撓度和A、C處轉(zhuǎn)角。處轉(zhuǎn)角。1建立彎矩方程建立彎矩方程AB段段 BC段段 ）（4043)(1lxxFxMP）（lxllxFxFxMPP4)4(43)(2 【例例11-2】【解解】2將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分 ）（4043)(1212lxxFxMdxdEIP）（lxllxFxFxMdxdEIPP4)4(43)(2222水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組

16、組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 其中，常數(shù)其中，常數(shù)C1、D1、C2、D2由約束條件和連續(xù)條件確定。由約束條件和連續(xù)條件確定。 積分后，得積分后，得 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw2將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分 ）（4043)(1212lxxFxMdxwdEIP）（lxllxFxFxMdxwdEIPP4)4(43)(2222【解解】水

17、水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 【解解】4. 確定撓度和轉(zhuǎn)角確定撓度和轉(zhuǎn)角方程以及點(diǎn)方程以及點(diǎn)B的撓度與轉(zhuǎn)角的撓度與轉(zhuǎn)角 BC段段 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 22P378128FxxlEIAB段段 xlxEIFxw23P128781于是于是2P7128AF lEI2P5128BF lEI EIlFwB3P2563水水 利利 土土 木木 工工

18、程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.2 11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 確定約束力確定約束力，判斷是否需要分段以及分幾段；，判斷是否需要分段以及分幾段； 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程積積 分分 法法 小小 結(jié)結(jié)第第11章章虛虛 功功 原原 理理

19、及及 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移 計(jì)計(jì) 算算11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移11.4 單位荷載法單位荷載法11.5 圖乘法圖乘法水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組11.6 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理11.1 概述概述水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.3 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移疊加原理：疊加原理： 多個載荷同時(shí)作用

20、于結(jié)構(gòu)而引起的某一參數(shù)等于每個載多個載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的某一參數(shù)等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的該參數(shù)的代數(shù)和。荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的該參數(shù)的代數(shù)和。在很多的工程計(jì)算手冊中，已將各種支承條件下的靜定在很多的工程計(jì)算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡稱為撓度表。簡稱為撓度表。基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個重要結(jié)論，以及在小變形條件下的力變形累加的結(jié)果這兩個重要結(jié)論，以及在小變形條件下的力的獨(dú)立作用原

21、理，采用的獨(dú)立作用原理，采用疊加法疊加法由現(xiàn)有的撓度表可以得到在由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。很多復(fù)雜情形下梁的位移。水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.3 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移圖 示 簡 支 梁圖 示 簡 支 梁中，中，q、l、EI均為已知。求均為已知。求C截截面的撓度面的撓度 C，B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B 。1. 將梁上載荷變?yōu)橛覀?cè)所將梁上載荷變?yōu)橛覀?cè)所示示3種簡單荷載作用的情形種簡單荷載作用的情形 【例例11-3】【解解】水水 利利 土

22、土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.3 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移【解解】2. 由撓度表查得由撓度表查得3種情形下種情形下C截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加用時(shí)的結(jié)果分別疊加 EIqliBiB3314811EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlwwiCiC43138411水水 利利 土土 木木 工工

23、 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.3 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移 懸臂梁受懸臂梁受力如圖所示，力如圖所示，q、l、EI均為均為已知。求已知。求C截面的撓度和截面的撓度和 C 和和 C 。 1. 首先，將梁上載首先，將梁上載荷變成有表可查的情形荷變成有表可查的情形 2將處理后的梁分解為將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)簡單載荷作用的情形，計(jì)算各個簡單載荷引起撓度算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角qq 【例例11-4】【解解】水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力

24、學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.3 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移3計(jì)算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角并疊加計(jì)算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角并疊加EIqlEIqlCC323148161,EIqliCiC321487414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI ,EIqlwwiCiC42138441【解解】第第11章章虛虛 功功 原原 理理 及及 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移 計(jì)計(jì) 算算11.2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移11.

25、4 單位荷載法單位荷載法11.5 圖乘法圖乘法水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組11.6 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理11.1 概述概述水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法1、功的定義、功的定義一個不變的集中力一個不變的集中力F 所作的功所作的功 等于該力的大小與其作用點(diǎn)沿力作用等于該力的大小與其作用點(diǎn)沿力作用線方向的位移線方向的位移 的乘積，即的乘積，即=FAFAF一個力偶一個力偶

26、m 所作的功所作的功 等于其等于其力偶矩的大小與角位移位移力偶矩的大小與角位移位移 的乘積，的乘積，即即FF m=Fdd=m 一、基本概念一、基本概念 水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法 實(shí)功：實(shí)功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。2、實(shí)功和實(shí)功和虛虛功功 虛功：虛功：力狀態(tài)中的力力狀態(tài)中的力在在位移狀態(tài)位移狀態(tài)中所產(chǎn)生的位移上中所產(chǎn)生的位移上所作的功。所作的功。力與位移是彼此無關(guān)的兩個量，分別屬于同一體系的力與位移

27、是彼此無關(guān)的兩個量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)力狀態(tài)力狀態(tài)和和位移狀態(tài)位移狀態(tài)。F力狀態(tài)力狀態(tài)+t位移狀態(tài)位移狀態(tài)=F水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法3、變力功、變力功 作用在彈性桿件上的力，其加力點(diǎn)的位移，隨桿件受力作用在彈性桿件上的力，其加力點(diǎn)的位移，隨桿件受力和變形的增加而增加，這種情形下，力所作的功為變力功。和變形的增加而增加，這種情形下，力所作的功為變力功。 對于材料滿足胡克定律、又在小變形條件下工作的彈對于

28、材料滿足胡克定律、又在小變形條件下工作的彈性桿件，作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)系，即性桿件，作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)系，即FP=k。這時(shí)，力所作的變力功為這時(shí)，力所作的變力功為FPOFP02121P200FkdkdFWP水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法3、變力功、變力功 彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持平衡，這時(shí)，如果某種外界因素使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，平衡，這時(shí)，如果某種外界因

29、素使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，作用在彈性體上的力，由于加力點(diǎn)的位移，也作功，但不是作用在彈性體上的力，由于加力點(diǎn)的位移，也作功，但不是變力功，而是常力功變力功，而是常力功: 需要指出的是，上述功的表達(dá)式中，力和位移都是廣需要指出的是，上述功的表達(dá)式中，力和位移都是廣義的。義的。FP可以是一個力，也可以是一個力偶；當(dāng)可以是一個力，也可以是一個力偶；當(dāng)FP是一個是一個力時(shí)，對應(yīng)的位移力時(shí)，對應(yīng)的位移和和都是線位移，當(dāng)都是線位移，當(dāng)FP是一個力偶時(shí)，是一個力偶時(shí)，對應(yīng)的位移對應(yīng)的位移和和都是角位移。都是角位移。 FPFPFWP水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課

30、程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法4、廣義力與廣義位移、廣義力與廣義位移作功有兩方面因素：力和位移。與力相對應(yīng)的因子，稱為作功有兩方面因素：力和位移。與力相對應(yīng)的因子，稱為廣義力廣義力F ；與位移相對應(yīng)的因子，稱為；與位移相對應(yīng)的因子，稱為廣義位移廣義位移。 廣義力廣義力可以是一個集中力或一個集中力偶，也可以是可以是一個集中力或一個集中力偶，也可以是一對集中力或一對集中力偶，它可以是外力，也可以是內(nèi)力；一對集中力或一對集中力偶，它可以是外力，也可以是內(nèi)力；既可以是主動力，也可以是約束反力。既可以是主動力，也可以是約束反力。

31、廣義位移廣義位移可以是一個線位移、一個角位移、相對線位可以是一個線位移、一個角位移、相對線位移或相對角位移等。移或相對角位移等。應(yīng)該指出：應(yīng)該指出： 通常通常廣義力廣義力是與是與廣義位移廣義位移相對應(yīng)的。相對應(yīng)的。水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組MM F幾種常見的廣義力和廣義位移幾種常見的廣義力和廣義位移mFF 1 1 2 2 = 1 1+ + 2 2水水 利

32、利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法二、彈性桿件的變形能二、彈性桿件的變形能 桿件在外力作用下發(fā)生彈性變形時(shí)，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N桿件在外力作用下發(fā)生彈性變形時(shí)，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N能量，儲存于桿件內(nèi)，從而使彈性桿件具有對外作功的能力，能量，儲存于桿件內(nèi)，從而使彈性桿件具有對外作功的能力，這種能量稱為這種能量稱為彈性變形能彈性變形能，簡稱，簡稱變形能變形能。 考察微段桿件的受力和變形，應(yīng)用彈性范圍內(nèi)力和變考察微段桿件的受力和變形，應(yīng)用彈性范圍內(nèi)力和變形之間的線性關(guān)系

33、，可以得到微段應(yīng)變能表達(dá)式，然后通形之間的線性關(guān)系，可以得到微段應(yīng)變能表達(dá)式，然后通過積分即可得到計(jì)算桿件變形能的公式。過積分即可得到計(jì)算桿件變形能的公式。 下述變形能表達(dá)式必須在小變形條件下、并且在彈性下述變形能表達(dá)式必須在小變形條件下、并且在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)才適用。范圍內(nèi)加載時(shí)才適用。 水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法dx+ dxdxFNFN 對于拉伸和壓縮桿件，微段對于拉伸和壓縮桿件，微段的變形能的變形能 N1dd2VFx拉伸和壓縮桿件的變

34、形能拉伸和壓縮桿件的變形能 EAlFlNNN011d22lVFxFl2NN122F lVFlEA水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法 對于承受彎曲的梁對于承受彎曲的梁其中其中d d為微段兩截面繞中性軸相對為微段兩截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)的角度，轉(zhuǎn)的角度， 代入上式積分后，得到梁的變形能代入上式積分后，得到梁的變形能的表達(dá)式的表達(dá)式 1dd2VMxEIMxxwddddd22201d22lM lVMEI忽略剪力影響，微段的變形能為忽略剪力影響，微段的變形能為

35、水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法三、單位荷載法三、單位荷載法 梁未受荷載作用或者剛受荷載作用的那一瞬時(shí)的位置梁未受荷載作用或者剛受荷載作用的那一瞬時(shí)的位置I上上(圖圖a)。外力的位能和梁的變形位能均為零，即此位置的總能。外力的位能和梁的變形位能均為零，即此位置的總能量為零。梁受力量為零。梁受力F作用后，發(fā)生變形并靜止于圖作用后，發(fā)生變形并靜止于圖b中虛線所示中虛線所示的位置的位置II。根據(jù)能量守恒定律，在位置。根據(jù)能量守恒定律，在位置II上的總能

36、量和位置上的總能量和位置I上的相等，即也等于零。上的相等，即也等于零。ABI(a)ABFIIF(b) 所以在這一過程中，力所以在這一過程中，力F在位移在位移F上所做的功都轉(zhuǎn)變?yōu)樯纤龅墓Χ嫁D(zhuǎn)變?yōu)榱旱淖冃文埽戳旱淖冃文埽碫 = W水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法ABI(c)ABFIIF(b) V = W表示變形能在數(shù)值上等于外表示變形能在數(shù)值上等于外力在變形過程中所作的功，這稱為力在變形過程中所作的功，這稱為功能功能原理原理，即，即FlFFdx

37、EIxM212)(2KKF=1K 為求得力為求得力F作用下點(diǎn)作用下點(diǎn)K的線位移的線位移K，在點(diǎn)在點(diǎn)K沿線位移沿線位移K方向施加單位力方向施加單位力F=l。受力受力F=l作用，梁的變形如圖作用，梁的變形如圖c中虛線所中虛線所示。力示。力F=l所引起的點(diǎn)所引起的點(diǎn)K的線位移以的線位移以K表示，則有表示，則有KldxEIxM1212)(2水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法ABI(c)ABFIIF(b)KKF=1KABFFKF=1K(d) 先加力先加力F=

38、l，再加力，再加力F作用，則有作用，則有)()()(xMxMxMF外力功為外力功為K121KFF121+）（KFKlFFdxEIxMxM1211212)()(2dxEIxMxMlFK)()(水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法 對于承受彎曲的梁對于承受彎曲的梁dxEIxMxMlFK)()(為要求的某一截面處的位移，可以是線位移，也可以是角為要求的某一截面處的位移，可以是線位移，也可以是角位移，還可以是兩個截面處的相對線位移或相對角位移。位移，還可以是

39、兩個截面處的相對線位移或相對角位移。K)(xMF)(xMEI為在荷載作用下的彎矩方程。為在荷載作用下的彎矩方程。為在與所求位移相對應(yīng)的單位廣義力作用下的彎矩方程。為在與所求位移相對應(yīng)的單位廣義力作用下的彎矩方程。為梁的抗彎剛度。為梁的抗彎剛度。 對于軸向拉壓桿則有位移計(jì)算公式為對于軸向拉壓桿則有位移計(jì)算公式為dxEAFxFlNNFK)(水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法BAlq1FBAxBA1m求求 。AAV、【例例11-5】【解解】EIEI121

40、212MxMqxMF EIqldxxqxEIdxMMEIllFAV821114020EIqldxqxEIlA6211402水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法用單位荷載法求用單位荷載法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，抗彎剛度為點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，抗彎剛度為EI。EIABaaqCl/4F=1ABql2/8AB)2( ; )2(2)0( ; 2)(axaxaxaxxxM2)(2qxqaxxM d)()(d)(20aaaCxEIxMxMxEIMxMaxEIxMxM0d)(

41、)(2EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402【例例11-5】【解解】對稱性對稱性水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法用單位荷載法求用單位荷載法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，抗彎剛度為點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，抗彎剛度為EI。EIABaaqCql2/8AB2)(2qxqaxxM【例例11-5】【解解】m/2ABm=1m/22)( :211qxqaxxMACaxxM2)( 1 2)( :222qxqaxxMBCaxxM2)(2x1x2 d)()()()()(0

42、)(0 aBCaABxEIxMxMdxEIxMxMCaaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(10 求圖示桁架求圖示桁架C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 CV和水平位移和水平位移 CH。其中桿。其中桿BC、CD和和DE的長度均為的長度均為a，剛度均為，剛度均為EA。水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法【例例11-6】【解解】虛設(shè)單位力狀態(tài)。虛設(shè)單位力狀態(tài)。ECBDFFF2F0EBCD1121FEBCD1F1N

43、F2NFEAFaCH FaEACV221求軸力。求軸力。求位移。求位移。水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法1F3mACB4m4m4mDFFFACBD【解解】桿剛度為桿剛度為EA。求求 DV。虛設(shè)單位力狀態(tài)。虛設(shè)單位力狀態(tài)。求軸力。求軸力。求位移。求位移。EAFFFFEADV3280434853553131000000000013/ 53/ 4F3F8F5【例例11-7】水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程

44、程 組組第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移11.4 11.4 單位荷載法單位荷載法【例例11-8】【解解】求剛架求剛架A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。ABlqlCA（實(shí)際位移狀態(tài)）（實(shí)際位移狀態(tài)）BC1FA虛設(shè)單位力狀態(tài)虛設(shè)單位力狀態(tài)x1x2x1x2實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)21210qxMFFNFAB：BC：221qlMqlFFNF虛單位力狀態(tài)虛單位力狀態(tài)1, 0 xMFNlMFN, 1求剛架求剛架A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。dxEIMMdxEAFFFFAyNNEIqlEAql8542第第11章章虛虛 功功 原原 理理 及及 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移 計(jì)計(jì) 算算11.2

45、 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 11.3 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移11.4 單位荷載法單位荷載法11.5 圖乘法圖乘法水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組11.6 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理11.1 概述概述水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組已有基礎(chǔ)：已有基礎(chǔ)：1. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；2. 桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式，即桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式，即:EAsFFEIsMMFKddNFN3.上述公式在

46、桿件數(shù)量多的情況下，不方便。上述公式在桿件數(shù)量多的情況下，不方便。EIsMMFKd下面介紹梁和剛架在荷載作用下計(jì)算位移的圖乘法下面介紹梁和剛架在荷載作用下計(jì)算位移的圖乘法.剛架與梁的位移計(jì)算公式為：剛架與梁的位移計(jì)算公式為：11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組一、一、 圖乘法的基本原理圖乘法的基本原理dPKPMMsEI1tandPxMxEItandPxMxEItanCxEI( (等截面直桿等截面直桿) )1dPMMxEI(tan)Mx1CyEIxyCx

47、PM 圖M圖MAB形 心PMdxxCyCBA面積面積 圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年年提出的，他當(dāng)時(shí)是莫斯科鐵路提出的，他當(dāng)時(shí)是莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組一、一、 圖乘法的基本原理圖乘法的基本原理圖乘法求位移公式為圖乘法求位移公式為: :iCiKPyEI適用條件適用條件: : 桿段的桿段的EI為常數(shù)；為常數(shù)； 桿段的軸線為直線；桿段的軸線為直線； 各桿段的各桿段的 圖和圖和 圖中至

48、少有一個為直線圖形。圖中至少有一個為直線圖形。MPM對于等截面直桿，前兩個條件自然滿足；至于第三個條對于等截面直桿，前兩個條件自然滿足；至于第三個條件，圖總是由直線段組成。因此對于由等截面直桿所構(gòu)成件，圖總是由直線段組成。因此對于由等截面直桿所構(gòu)成的梁和剛架，在位移計(jì)算中可采用的梁和剛架，在位移計(jì)算中可采用圖乘法圖乘法。M11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組二、幾種常見圖形的面積和形心位置及處理方法二、幾種常見圖形的面積和形心位置及處理方法l/2l/2

49、頂點(diǎn)頂點(diǎn)23hl形心形心h5l/8h頂點(diǎn)頂點(diǎn)3l/8形心形心23hl3l/4hl/4形心形心3hl頂點(diǎn)頂點(diǎn)labh(a+l)/3(b+l)/32hl形心形心11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組二、幾種常見圖形的面積和形心位置及處理方法二、幾種常見圖形的面積和形心位置及處理方法4l/5hl/5形心形心4hl頂點(diǎn)頂點(diǎn)hl/(n+2)形心形心1hln頂點(diǎn)頂點(diǎn)(n+1)l/(n+2)l/3C1C2C1l/3C2ldcPM圖圖M圖圖abyC1yC2c1PM圖圖d

50、2PM圖圖11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組二、幾種常見圖形的面積和形心位置及處理方法二、幾種常見圖形的面積和形心位置及處理方法ldcPM圖圖M圖圖abyC1yC21PM圖圖c2PM圖圖dl/3C1l/3C2C1C2ldcPM圖圖M圖圖abdc1PM圖圖218ql2PM圖圖218qlyC11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課

51、課 程程 組組三、圖乘法注意事項(xiàng)三、圖乘法注意事項(xiàng)iCiKPyEI表示對各桿和各桿段分別圖乘而后相加。表示對各桿和各桿段分別圖乘而后相加。 復(fù)雜圖形，可分解為簡單圖形圖乘復(fù)雜圖形，可分解為簡單圖形圖乘。 面積面積 與豎標(biāo)與豎標(biāo)yC在桿的同側(cè)，在桿的同側(cè)， yC取正值，否則取負(fù)值。取正值，否則取負(fù)值。 豎標(biāo)豎標(biāo)yC必須取在直線圖形上，面積必須取在直線圖形上，面積 可取任意圖形。可取任意圖形。但豎標(biāo)但豎標(biāo)yC和面積和面積 必須分別取在兩個圖形上。必須分別取在兩個圖形上。 yC 2 3yC3yC2yC1 1yC2 1 211.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的

52、 位位 移移1Fl/4水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組EIFABl/2l/2EIABm=112214211）（lFlEIB(a)求梁求梁B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。【例【例11-9】【解】【解】PMMEIFl162lqABF=1AB(b)求梁求梁B點(diǎn)豎向線位移。點(diǎn)豎向線位移。lql2/23l4l/4C1llqlEIBy43)231(12EIql84PM11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組求圖示梁中點(diǎn)的撓

53、度求圖示梁中點(diǎn)的撓度 Cy。【例【例11-10】【解】【解】MPMEIABl/2l/2qCql2/8ABl/4F=1AB241215() () 2328825( )384CyllqlEIqlEI)(961)4)8131(142EIqllqllEICy？11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組求圖示梁中點(diǎn)的撓度求圖示梁中點(diǎn)的撓度 。【例例11-11】【解解】FABaaFaFaFaABMl/4F=1ABPMEIFaFaaaEI89)34321(13？a/2a/

54、2EIaFFaaaaFaEIPaa2423)222(2)232(213432EI11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組求圖示梁上求圖示梁上C點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度 C。【例例11-12】【解解】ABlql/2CF=1BCAMPMBCA218ql218qly1 1y2 2y3 3CC iiyEI 2113 ()382 8qlllEI212() 283 2qlll22()384qlll4 ()128qlEIEI11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁

55、梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組111(12 4)26BEIAB4m2kN/m4mEI12kNm4kNm4kN8AB4124121m1AB求圖示梁上求圖示梁上B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角點(diǎn)的轉(zhuǎn)角 B。【例例11-13】【解解】方法一方法一161323345611(8 4)23 12(8 4)23 15(4 4)26 23(4 4)34 403BEIMPM11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課

56、 程程 組組111(12 4)26BEIAB4m2kN/m4mEI12kNm4kNm4kN8AB4124121m1AB求圖示梁上求圖示梁上B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角點(diǎn)的轉(zhuǎn)角 B。【例例11-13】【解解】方法二方法二16345615(4 4)26 23(4 4)34 403BEI11(8 4)22 MPM11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組求圖示梁上求圖示梁上B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 B。【例例11-14】【解解】ABlqEIMPMBA232ql28qlql1FBA

57、l24113()3248BqllqllEIEI y1 1y2 221Biiiy 21132() ()223qlllEI212()382qlllEI41124qlEI11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組求圖示梁上求圖示梁上B點(diǎn)的向位移點(diǎn)的向位移 B。【例例11-15】【解解】ABl/2ql/2EI2EIMPM22qlBA28ql1FBAll/2y1 1 2y2232qly3 3 4y42112()2222232BqllllEI 41Biiiy 2111(

58、)2282232qllllEI2121()23322222qllllEI2113()38242qlllEI417256qlEI11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組【例例11-16】【解解】AB3l/4ql/4EIC求求C截面豎向位移截面豎向位移 C。ACB2316ql28qlACB1F316lMPMl8 1l8 23l32 3213()84lq21( )84lq3l32 441Ciiiy 21133()23248CqlllEI 2113()23248q

59、lllEI212933()3128432qlllEI2123()3128432qlllEI4192048qlEI11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移1水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組【例例11-17】【解解】AB4l/5ql/4EIC求求C截面處的轉(zhuǎn)角。截面處的轉(zhuǎn)角。ACB2225ql28qlMPM12 115ACB1m4511 22121()382CqllEI21Ciiiy333100qlEI22112(25252) 1358 25lqlEIlql 11.5 11.5 圖圖 乘乘

60、法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力 學(xué)學(xué) 課課 程程 組組【例例11-18】【解解】求剛架求剛架A點(diǎn)的豎向位移，并繪出剛架的變形曲線。點(diǎn)的豎向位移，并繪出剛架的變形曲線。ABlCEIll/2EIF2EIDABCD2Fl2FlFlABCD1Fl)(16423212213EIFlFlllEIFlllEIEIyiiAyFl4 1 2Fl2反彎點(diǎn)反彎點(diǎn)MPM11.5 11.5 圖圖 乘乘 法法 第第11章章 梁梁 和和 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移水水 利利 土土 木木 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 力力