1、人教人教A版高中數學必修版高中數學必修2微課系列微課系列R3324:,.33VRVR 半半球球猜猜測測從從而而?V 半半球球313VR 圓圓錐錐333VR 圓圓柱柱高等于底面半徑的旋轉體體積對比高等于底面半徑的旋轉體體積對比球的體積球的體積 學習球的知識要留意和圓的有關指示結合起來所以我們先學習球的知識要留意和圓的有關指示結合起來所以我們先來回想圓面積計算公式的導出方法來回想圓面積計算公式的導出方法 我們把一個半徑為我們把一個半徑為R R的圓分成假設干等分，然后如上圖重的圓分成假設干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是.RR 和

2、和 的的矩矩形形2.R 那那么么圓圓的的面面積積就就近近似似等等于于當所分份數不斷添加時，準確程度就越來越高；當份數無當所分份數不斷添加時，準確程度就越來越高；當份數無窮大時，就得到了圓的面積公式窮大時，就得到了圓的面積公式下下面面我我們們就就運運用用上上述述方方法法導導出出球球的的體體積積公公式式即先把半球分割成即先把半球分割成n n部分，再求出每一部分的近似體積，并部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后思索將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后思索n n變為無窮變為無窮大的情形，由半球的近似體積推出準確體積大的情形，由半球的近似體積推出準確體積分割

3、分割求近似和求近似和化為準確和化為準確和問題問題:知球的半徑為知球的半徑為R,用用R表示球的體積表示球的體積.21,rRR222() ,RrRn2232() ,RrRn AOB2C2AOOR(1)Rin i第第 層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的半半徑徑：22(1) ,1, 2,.iRrRiinn irOA32211() ,1,2,iiRRiVrinnnn 22(1) ,1,2,iRrRiinn12nVVVV 半半球球3222212(1)Rnnnn 321(1)(21)6Rnnnnnn 321(1)(21)16nnRn 311(1)(2)16nnVR 半半球球1,0.nn 當當時時3324.

4、33VRVR半半球球 從從而而343VRR 定定理理：半半徑徑是是 的的球球的的體體積積為為：假設每小塊外表看作一個平面假設每小塊外表看作一個平面,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面,球心作球心作為頂點便得到為頂點便得到n個棱錐個棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積.當當n越越大大,越接近于球的體積越接近于球的體積,當當n趨近于無窮大時就準確到等于球的體趨近于無窮大時就準確到等于球的體積積.球的外表是曲面球的外表是曲面,不是平面不是平面,但假設將外表平均分割成但假設將外表平均分割成n個小塊個小塊,每小塊外表可近似看作一個平面每小塊外表可近似看作一個平面,這這

5、n小塊平面面積之和可近似看小塊平面面積之和可近似看作球的外表積作球的外表積.當當n趨近于無窮大時趨近于無窮大時,這這n小塊平面面積之和接近于小塊平面面積之和接近于甚至等于球的外表積甚至等于球的外表積. 球面不能展開成平面圖形，所以求球的外表積無法用展開圖求球面不能展開成平面圖形，所以求球的外表積無法用展開圖求出，如何求球的外表積公式呢出，如何求球的外表積公式呢?回想球的體積公式的推導方法回想球的體積公式的推導方法,能否能否也可借助于這種極限思想方法來推導球的外表積公式呢也可借助于這種極限思想方法來推導球的外表積公式呢? 下面，我們再次運用這種方法來推導球的外表積公式下面，我們再次運用這種方法來

6、推導球的外表積公式球的外表積球的外表積第一步：分割第一步：分割球面被分割成球面被分割成n個網格，外表積分別為：個網格，外表積分別為：123,nSSSS，那么球的外表積：那么球的外表積：123nSSSSS 那么球的體積為：那么球的體積為：iV 設設“小小錐錐體體”的的體體積積為為iV123nVVVVV iSO OO O第二步：求近似和第二步：求近似和ih 由第一步得：由第一步得：123nVVVVV 11223311113333nnVShShShSh 13iiiVShO OiS iV O O第三步：化為準確和第三步：化為準確和13iiVS R 假設網格分的越細假設網格分的越細, ,那么那么: “: “小錐小錐體就越接近小棱錐體就越接近小棱錐2311113333inVS RS RS RS R2311(.)33inRSSS