1、解三角形應用舉例一.選擇題（共19小題）A所在的河岸邊另選定一點C,測得1. （2014?海南模擬）如圖，已知A,B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A . 506mB - 2&VmAC=50m,/ACB=45°,/CAB=105°,則A、B兩點的距離為（）D.50&m2. （2014?海淀區(qū)二模）如圖所示，為了測量某湖泊兩側A、B間的距離，李寧同學首先選定了與A、B不共線的一點C,然后給出了三種測量方案：（AABC的角A、B、C所對的邊分別記為a、b、c）:測量A、C、b;測量a、b、C;測量A、B、a；則一定能確定A、B間距離的所有方案的序號為（）AA.B

2、.C.D.3. （2014?重慶一模）在。點測量到遠處有一物體在做勻速直線運動，開始時該物體位于P點，一分鐘后，其位置在Q點，且/POQ=90°,再過兩分鐘后，該物體位于R點，且ZQOR=30°,則tan/OPQ的值為（）A.日B.2aC.3D.22出4. （2014?成都三模）在一條東西走向的水平公路的北側遠處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平面上，為了測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了A、B兩個觀測點，在A處測得該塔底部C在西偏北”的方向上，在B處測得塔底C在西偏北3的方向上，并測得塔頂a<2，則此塔高CD為（5. （2014?浙江模擬）如圖，在鐵路建設中，

3、需要確定隧道兩端的距離（單位：百米）某一點C的距離分別為5和8, /ACB=60。，則A, B之間的距離為（）D. 8,已測得隧道兩端點A,B到6. （2014?房山區(qū)一模）如圖，有一塊銳角三角形的玻璃余料，欲加工成一個面積不小于800cm2的內(nèi)接矩形玻璃（陰影部分），則其邊長x（單位：cm）的取值范圍是（）32C. 20, 35D. 20, 4020海里的B處有一艘漁船遇險等待7. （2014?濮陽一模）如圖所示，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30。相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東卅30。角的方向沿直線前往B處營救，則sin

4、。的值為（）B.V228. （2014?成都三模）某公司要測量一水塔 CD的高度，測量人員在該水塔所在的東西方向水平直線上選擇A, B兩個觀測點，在A處測得該水塔頂端 一，KD的仰角為”,在B處測得該水塔頂端 D的仰角為 &已知AB=a ,0< 3< a<,則水塔CD的高度為（A . asin (0 - 5 ) sin B b .sin(Ias in。min 5sin (5- B )C. asin (匹 一 B ) sinP D.cos<l9. （2014?懷化一模）在等腰 RtAABC 中，AB=AC=4 ,點P是邊AB上異于A,B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng),

5、則 PQR的周長等于（BC, CA反射后又回到原來的點 P.若A.B.C.10. （2012?珠海一模）臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動, 險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為（離臺風中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危A . 0.5小時C. 1.5小時D. 2小時11. （2011?寶雞模擬）一質點受到平面上的三個力120°角，且y=g （x）的大小分別為1和2,則有（F1,F2, F3 （單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài).已知 D成 ）A . F1, 53成90°角B. F1, F3成 150°角C. F2, 53成90

6、6;角D. F2, F3成 60°角12. （2011?大連二模）已知A船在燈塔C北偏東75°且A到C的距離為3km,B船在燈塔C西偏北15o且B到C的距離為jjjkm,則A,B兩船的距離為（）A.5kmB.J21kmC.4kmD.Jlkm13. （2011?安徽模擬）如圖，在山腳下A測得山頂P的仰角為 “ 沿傾斜角為 3的斜坡向上走a米到達B,在B處測得山頂P的仰角為y,則山（Wj PQ為（）A .B.C.asin ( 7 - 0( ) sin (Y - P )D.sin。asin C Y - a ) sin (T ' P )sin314.（2010?武昌區(qū)模擬）

7、某人朝正東方向走 xkm后,向右轉150°,然后朝新方向走3km,結果他離出發(fā)點恰好那么x的值為（）D. 3A.215.（2010?江門一模）海事救護船A在基地的北偏東60°,與基地相距10W1海里，漁船B被困海面，已知B距離基地100海里，而且在救護船 A正西方,A . 100海里C. 100海里或200海里則漁船 B與救護船A的距離是（）B. 200海里D. 10跖海里16. （2010?武漢模擬）飛機從甲地以北偏西1400km到達丙地，那么丙地距甲地距離為（15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地以南偏東75°的方向飛行）A. 1400kmB

8、. 700%用kmC. 700/3kmD. 14002 km17. （2010?石家莊二模）如圖，一條寬為a的直角走廊，現(xiàn)要設計一輛可通過該直角走廊的矩形面平板車，其寬為b （0vbva）.則該平板車長度的最大值為（）C.B.A. 60八D.|2V2a+2b15_的看臺上，同一列上的第一 米（如圖所示），則旗桿的18. （2009?韶關二模）北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度 排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為 60。和30。，第一排和最后一排的距離為高度為（）A. 10 米B. 30 米C. 1%國米D. 10遍米19.（2009?溫州一模）北京2008年第29屆奧運

9、會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15。的色?上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，看臺上第一排和最后一排的距離米（如圖所示），旗桿底部與第一排在一個水平面上，已知國歌長度約為50秒，升旗手勻速升旗的速度為（）.填空題（共7小題）D-1 （米/秒）20. （2014?重慶模擬）如圖，割線點 E,貝U PE=.PBC經(jīng)過圓心 O, PB=OB=1 , PB繞點O逆時針旋120°到OD ,連PD交圓。于21.（2014?南昌模擬）已知4ABC中，角A,B,C所對應的邊的邊長分別為a,b,c,外接圓半徑是1,且滿足條件2（sin2A-sin2C）=（sinA-s

10、inB）b,則4ABC面積的最大值為.22. （2014?韶關二模）一只艘船以均勻的速度由 A方位角（從正北方向順時針轉到目標方向的水平角） 海里.點向正北方向航行，如圖，開始航行時，從為45。，行駛60海里后，船在B點觀測燈塔A點觀測燈塔C的C的方位角為75°,23. （2014?濰坊二模）如圖所示，位于東海某島的雷達觀測站A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45。，與觀測站A距離20歷海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北0（0°<0<45°）的C處，且cos。事,已知A、C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為海里/小時.24.

11、（2014?濰坊三模）如圖，C、D是兩個小區(qū)所在地，C、D到一條公路AB的垂直距離分別為CA=1km,DB=2km,A、B間的距離為3km,某公交公司要在A、B之間的某點N處建造一個公交站點，使得N對C、D兩個小區(qū)的視角/CND最大，則N處與A處的距離為km.B, D兩點，測出四邊形 ABCD各邊的長度25. （2014?臺州一模）為了測量A,C兩點間的距離，選取同一平面上（單位：km）如圖所示，且/B+/D=180°,則AC的長為km.26. （2014?黃岡模擬）路燈距地平面為8m,一個身高為1.75m的人以,m/s的速率，從路燈在地面上的射影點C處,沿某直線離開路燈，那么人影長

12、度的變化速率v為m/s.三.解答題（共4小題）27. （2014?廣州模擬）如圖，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達的兩點A,B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C;并測量得到數(shù)據(jù)：/ACD=90°,ZADC=60°,ZACB=15°,ZBCE=105°,/CEB=45°,DC=CE=1（百米）.（1）求CDE的面積；（2）求A,B之間的距離.28. （2014?福建模擬）如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)

13、規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N（異于村莊A）,要求PM=PN=MN=2（單位：千米）.如何設計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠）AMB29. （2010?福建）某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30。且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.（I）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？（n）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪

14、船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；（出）是否存在v,使得小艇以v海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由.30. 在平地上有A、B兩點，A在山的正東，B在山的東南，且在A的西偏南65°距離為300米的地方，在A測得山頂?shù)难鼋鞘?0°,求山高（精確到10米,sin70=0.94）.2014年12月27日高中數(shù)學解三角形應用舉例參考答案與試題解析一.選擇題（共19小題）1. （2014?海南模擬）如圖，已知A,B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C,測得AC=50m,/ACB=45&#

15、176;,/CAB=105°,則A、B兩點的距離為（）A . 50V3mB - 25V3mC. 2WmD. 50/m考點：解三角形的實際應用.專題：應用題；解三角形.分析：依題意在A, B, C三點構成的三角形中利用正弦定理，根據(jù)AC, /ACB, B的值求得AB解答：解：由正弦定理得ABACsinNACB in/E 'V2.AR_AC-sinZACB_ -AB=SWB=1-5W2，2 .A,B兩點的距離為50/2m,故選：D.點評：本題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵.2. （2014?海淀區(qū)二模）如圖所示，為了測量某湖泊兩側A、B間的

16、距離，李寧同學首先選定了與A、B不共線的一點C,然后給出了三種測量方案：（AABC的角A、B、C所對的邊分別記為a、b、c）:測量A、C、b;測量a、b、C;測量A、B、a；則一定能確定A、B間距離的所有方案的序號為（）A.B.C.D.考點：解三角形的實際應用.專題：應用題；解三角形.分析：根據(jù)圖形，可以知道a,b可以測得，角A、B、C也可測得，利用測量的數(shù)據(jù)，求解A,B兩點間的距離唯一即可.解答：解：對于可以利用正弦定理確定唯一的A,B兩點間的距離.對于直接利用余弦定理即可確定A,B兩點間的距離.故選：D.點評：本題以實際問題為素材，考查解三角形的實際應用，解題的關鍵是分析哪些可測量，哪些不

17、可直接測量，注意正弦定理的應用.3. （2014?重慶一模）在。點測量到遠處有一物體在做勻速直線運動，開始時該物體位于P點，一分鐘后，其位置在Q點，且Z POQ=90 °,再過兩分鐘后，該物體位于R點，且ZQOR=30 °,則tan/ OPQ的值為（）A. V3B. 2V3C. 32考點： 專題： 分析：解答:解三角形的實際應用.計算題；解三角形.根據(jù)題意設PQ=x,可得QR=x, ZPOQ=90°, 別在AORQ、AOPQ中利用正弦定理， 計算出 的值.解：根據(jù)題意，設 PQ=x ,則QR=2x ,ZQOR=30 °, /OPQ+/R=60°

18、.算出 Z R=60 - Z OPQ,分OQ長，再建立關于/ OPQ的等式，解之即可求出tan/OPQ/POQ=90°,/QOR=30°,./OPQ+/R=60°,即/R=60°/OPQ在ORQ中，由正弦定理得00OQ=sinZR=2XS%/R=2xsin (60 - ZOPQ)在4OPQ中，由正弦定理得 OQ=OPsin90 2xsin (60 - ZOPQ) =xsin / OPQ 2sin (60 - Z OPQ) =sinZ OPQ>Sin / OPQ=xsin / OPQ. 2/OP0 - 5sin/OFQ) =sin/ OPQ整理得VS

19、cosZOPQ=2sin/OPQ,所以tan/OPQ必啊-幺二.IcosZOPQU33故選：B點評:本題考查利用正弦定理解決實際問題，要把實際問題轉化為數(shù)學問題，利用三角函數(shù)有關知識進行求解是解決本題的關鍵.4. （2014?成都三模）在一條東西走向的水平公路的北側遠處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平面上，為了C在西偏北a的方向上，在B測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了A、B兩個觀測點，在A處測得該塔底部處測得塔底C在西偏北3的方向上，并測得塔頂BC-3,/ACBA=a兀a,AB=a,Ja<2，則此塔高CD為（）sin(叮一Q)sin(口-B)'.asiiiGbc=Kii

20、(口，CD=BCtan 尸sin (口- P )tan 丫.點評：本題主要考查了解三角形的實際應用.考查了運用數(shù)學知識，建立數(shù)學模型解決實際問題的能力.,已測得隧道兩端點A, B到5. （2014?浙江模擬）如圖，在鐵路建設中，需要確定隧道兩端的距離（單位：百米）某一點C的距離分別為5和8,/ACB=60。，則A,B之間的距離為（A . 7B. 10>/129C. 6D. 8考點： 專題： 分析： 解答:點評:6. （2014?房山區(qū)一模）如圖，有一塊銳角三角形的玻璃余料, 影部分），則其邊長x （單位：cm）的取值范圍是（）欲加工成一個面積不小于 800cm2的內(nèi)接矩形玻璃（陰A .

21、10, 30B. 25, 32C. 20, 35D. 20, 40考點： 專題： 分析：解三角形的實際應用.應用題；解三角形.設矩形的另一邊長為 ym,由相似三角形的性質可得:I 60 - y、=,(0v xv 60).矩形的面積 S=x (60x),6060利用S書00解出即可.解三角形的實際應用.解三角形.由余弦定理和已知邊和角求得AB的長度.解：由余弦定理知AB=：-;“：二一；一所以A,B之間的距離為7百米.故選：A.本題主要考查了余弦定理的應用.已知兩邊和一個角，求邊常用余弦定理來解決.解答:解：設矩形的另一邊長為ym,由相似三角形的性質可得：三尸一一,解得y=60-x,（0vxv6

22、0）60-60，矩形的面積S=x（60-x）,2矩形花園的面積不小于800m2,.x（60x）m00,化為（x20）（x40）4，解得20蟲40.滿足0vxv60.故其邊長x（單位m）的取值范圍是20,40.故選：D.點評：本題考查了相似三角形的性質、三角形的面積計算公式、一元二次不等式的解法等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題.7. （2014?濮陽一模）如圖所示，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30。相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東卅30。A .B.退D.角的方向沿直線前往B處營救，則sin。

23、的值為（）考點：解三角形的實際應用.專題：應用題；解三角形.sin/ACB的值，即可求出分析：連接BC,在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的長，再利用正弦定理求出sin0的值.解答:解：連接BC,在4ABC中，AC=10海里，AB=20海里，ZCAB=120°根據(jù)余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC?AB?cos/CAB=100+400+200=700,BC=10.7海里，根據(jù)正弦定理得BCsinZCAB -sinZACB '20Tasin/ACB=匕=7sin9=點評：解三角形問題，通常要利用正弦定理、余弦定理，同時往往與三角函數(shù)知識相聯(lián)系.8. （2014?成都

24、三模）某公司要測量一水塔CD的高度，測量人員在該水塔所在的東西方向水平直線上選擇A,B兩個觀測點，在A處測得該水塔頂端D的仰角為”,在B處測得該水塔頂端D的仰角為&已知AB=a,0V3V,則水塔CD的高度為（）A-asin（O-PlsinPb.a-indsinbC.asin（-B）sin6d.自sin11sinClsin（口一B）cosG.sin（口一F）sinP考點：解三角形的實際應用.專題：應用題；解三角形.分析:解答:設CD=x,求出AC, BC,利用a=BC-AC,即可求出水塔 CD的高度.角的設CD=x,則AC=tan CL點評: BC=a=BC - AC , tan pta

25、n口 一 tan Psin ( Q -中)故選：B.本題考查解三角形的實際應用，考查學生的計算能力，求出AC, BC是關鍵.9. （2014?懷化一模）在等腰 RtAABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A, B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC, CA反射后又回到原來的點P.若,則 PQR的周長等于（A.B.C. 873考點：解三角形的實際應用.專題：綜合題；解三角形.分析:解答:建立坐標系，設點 P的坐標，可得P關于直線BC的對稱點Pi的坐標，和 由Pi, Q, R, P2四點共線可得4PQR的周長.解：建立如圖所示的坐標系：P關于y軸的對稱點P2的坐標,可得 B (4, 0) , C

26、(0, 4) , P (二，0)_ _ _ 一 4故直線BC的萬程為x+y=4, P關于y軸的對稱點P2 （-，0）,設點P關于直線BC的對稱點Pi （x, y）,滿足,P1 (4,-), ，一,由光的反射原理可知Pl,Q,R,P2四點共線,故PQR的周長等于|PiP2|=點評：本題考查直線與點的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應用，屬中檔題.10. （2012?珠海一模）臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為（）A.0.5小時B.1小時C.1.5小時D.2小時考點：解三角形

27、的實際應用.專題：計算題.分析：先以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，進而可知B點坐標和臺風中心移動的軌跡，求得點B到射線的距離，進而求得答案.解答：解：如圖，以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，則B（40,0）,臺風中心移動的軌跡為射線y=x（x涮）,而點B到射線y=x的距離d=4O=2Q/2<30,故4/-（20加）2=20，故B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為1小時,故選B.點評：本題主要考查了解三角形的實際應用.通過建立直角坐標系把三角形問題轉換成解析幾何的問題，方便了問題的解決.11. （2011?寶雞模擬）一質點受到平面上的三個力F1,F2,F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài).已

28、知D成120°角，且y=g（x）的大小分別為1和2,則有（）人.51,53成90°角B.F1,F3成150°角C.F2,53成90°角D.F2,53成60°角考點：解三角形的實際應用；向量的模；向量在物理中的應用.分析：處于平衡狀態(tài)即三個力合力為0,利用向量表示出等式，將等式變形平方，利用數(shù)量積公式求出,T通過三角形邊的關系求出角.解答：解：由司+同+可與?月二一（司-+7P?1-=，:21-?11cos120。=|-1-Ii-1一一|，一由I,I.-知，F(xiàn)l,F3成90°角，故選A.點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、向量模的求法、及解

29、三角形.12. （2011?大連二模）已知A船在燈塔C北偏東75°且A到C的距離為3km,B船在燈塔C西偏北150且B到C的距離為Jjjkm,則A,B兩船的距離為（）A.5kmB.V21kmC.4kmD.V15km考點：解三角形的實際應用.專題：計算題.分析：先畫出簡圖求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值.解答：解：依題意可得簡圖，可知A=150°,根據(jù)余弦定理可得，AB2=bc2+ac22BC>ACcosC=16,AB=4.故選C.測得山頂P的仰角為y,則山（Wj PQ為（專題： 分析：解答:點評：本題主要考查余弦定理的應用.屬基礎題.主要在于能夠準確的畫出圖形

30、來.13. （2011?安徽模擬）如圖，在山腳下A測得山頂P的仰角為“沿傾斜角為3的斜坡向上走a米到達B,在B處B.式n（T-B）sin（下一口）D.asi。1Y一a）minI¥sin?考點：解三角形的實際應用.計算題；應用題.“,，一-e一,口a?in（豈一方）、一、八一PAB中，由正弦定理可得PB=一"-7,根據(jù)PQ=PC+CQ=PB?sinasin3通分化簡可得結果.sintY_J_.,.兀、K斛：PAB中，/PAB=a_3,/BPA=（a）一（力二1a,=目口PB產(chǎn)m3T）sin1口一0）sin1-。'sin（Y-口）asinsin(1-B)PQ=PC+CQ

31、=PB?siny+asin歹_-sin(Y-Q)故選B.點評：本題考查正弦定理的應用，直角三角形中的邊角關系，求出PB=aKn(Q-S,是解題的關鍵.sin(Y-Q)14. （2010?武昌區(qū)模擬）某人朝正東方向走xkm后，向右轉150°,然后朝新方向走3km,結果他離出發(fā)點恰好,那么x的值為（）A.2B.2C.V3D.3考點：解三角形的實際應用.專題：計算題.分析：作出圖象，三點之間正好組成了一個知兩邊與一角的三角形，由余弦定理建立關于x的方程即可求得x的值.解答：解：如圖，AB=x,BC=3,AC=yi,/ABC=30°.由余弦定理得3=x2+9-2>3>x

32、>Cos30°.解得x=2，：=或x二二故選A.54口-4-5-點評：考查解三角形的知識，其特點從應用題中抽象出三角形.根據(jù)數(shù)據(jù)特點選擇合適的定理建立方程求解.15. （2010?江門一模）海事救護船A在基地的北偏東60°,與基地相距1。收后海里,漁船B被困海面，已知B距離基地100海里，而且在救護船A正西方，則漁船B與救護船A的距離是（）A.100海里B.200海里C.100海里或200海里D.10。的海里考點：解三角形的實際應用.專題：計算題.分析：先根據(jù)正弦定理求得sinB的值，進而確定B的值，最后根據(jù)B的值，求得AB.解答：解：設基地為與O處，根據(jù)正弦定理可知

33、=0AsinAsinB1-sinB=%?OA=/5X100后當urluu£.B=60°或120°當B=60°,/BOA=90°,ZA=30°BA=2OB=200當B=120°,/A=/B=30°OB=AB=100故漁船B與救護船A的距離是100或200海里.故選C點評：本題主要考查了解三角形的實際應用.考查了學生轉化和化歸思想和邏輯思維的能力.16. （2010?武漢模擬）飛機從甲地以北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地以南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地，那么丙地距甲地

34、距離為（）A.1400kmB.70072kmC.700/kmD.140Mkm考點：解三角形的實際應用.專題：計算題；數(shù)形結合.分析：設A,B,C分別對應甲、乙、丙三地，由B向x軸做垂線垂足為D,則/BAD和/DBC可知，進而求得/ABC=60。判斷出三角形為正三角形，進而求得AC.解答：解：依題意，設A,B,C分別對應甲、乙、丙三地，由B向x軸做垂線垂足為D,則/BAD=75°,/DBC=75/ABC=75-15=60°AB=BC=1400AABC為正三角形AC=1400千米.故選A.點評：本題主要考查了解三角形的應用.要注意特殊三角形的運用.17. （2010?石家莊二模

35、）如圖，一條寬為a的直角走廊，現(xiàn)要設計一輛可通過該直角走廊的矩形面平板車，其寬為b（0vbva）.則該平板車長度的最大值為（）D.|2V2a+2b考點：解三角形的實際應用.專題：應用題.分析：先設平板手推車的長度不能超過x米，此時平板車所形成的三角形：ADG為等腰直角三角形.連接EG與AD交于點F,利用ADG為等腰直角三角形即可求得平板手推車的長度解答：解：設平板車的長度的最大值為x由題意可得4ADG為等腰直角三角形，連接EG交AD于F,則EG=.口偵asin45FG=EG-EF=V2a-b得ADG為等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=2貶2b故選：C點評:本題主要考查了在實際問題中建立三角

36、函數(shù)模型，解答的關鍵是由實際問題：要想順利通過直角走廊，轉 化為數(shù)學問題：此時平板手推車所形成的三角形為等腰直角三角形18. （2009?韶關二模）北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度 排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為 60。和30。，第一排和最后一排的距離為高度為（）15_的看臺上，同一列上的第一 米（如圖所示），則旗桿的D.|l跖米A.10米B.30米C.10/5米考點：解三角形的實際應用.專題：計算題；數(shù)形結合.分析：先畫出示意圖，根據(jù)題意可求得/AEC和/ACE,則/EAC可求，然后利用正弦定理求得AC,最后在RtAABC中禾1J用AB=AC?sin/ACB求得

37、答案.解答：解：如圖所示，依題意可知/AEC=45°,/ACE=180°-60-15=105°/EAC=180-45-105=30°CF.IAC由正弦定理可知不天占'AC=AC?sin/CEA=20 會米在RtAABC中,AB=AC ?sin/ACB=20 , 一；米答：旗桿的高度為30米故選B.點評：本題主要考查了解三角形的實際應用.此類問題的解決關鍵是建立數(shù)學模型，把實際問題轉化成數(shù)學問題,利用所學知識解決.19. （2009?溫州一模）北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15。的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿

38、頂部的仰角分別為60。和30。，看臺上第一排和最后一排的距離米（如圖所示），旗桿A 衛(wèi)（米/秒）底部與第一排在一個水平面上，已知國歌長度約為50秒，升旗手勻速升旗的速度為（）（米/秒）B亞（米/秒）5考點：解三角形的實際應用.專題：計算題；應用題.分析：先根據(jù)題意可知/DAB,/ABD和/ADB,AB,然后在4ABD利用正弦定理求得BD,進而在RtABCD求得CD,最后利用路程除以時間求得旗手升旗的速度.解答：解：由條件得4ABD中，/DAB=45°,ZABD=105°,ZADB=30°,AB=10p,由正弦定理得BD=-:-1-1?AB=20二；sinZADB1

39、貝U在RtABCD中，CD=20/3><Sin60o=30所以速度v=li£米/秒50國故選A.點評：本題主要考查了解三角形的實際應用.考查了學生分析問題和基本的推理能力，運算能力.二.填空題（共7小題）20. （2014?重慶模擬）如圖，割線PBC經(jīng)過圓心O,PB=OB=1,PB繞點O逆時針旋120°到OD,連PD交圓。于點 E,則 PE=.考點：三角形中的幾何計算.專題：計算題.分析：先由余弦定理求出 PD,再根據(jù)割線定理即可求出PE,問題解決.斛答： 解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2-2OD?OPcos120°=1+4 - 2MX2X （

40、-_1） =7,2所以PD=近.根據(jù)害U線定理 PE?PD=PB?PC得，VPE=1>3,所以pe=%71故答案為 迎7點評：已知三角形兩邊與夾角時，一定要想到余弦定理的運用，之后做題的思路也許會豁然開朗.21. （2014?南昌模擬）已知4ABC中，角A, B, C所對應的邊的邊長分別為 a, b, c,外接圓半徑是1,且滿足條件 2 ( sin2A - sin2C) = (sinA-sinB) b,則 4ABC 面積的最大值為考點： 專題： 分析：三角形中的幾何計算；三角函數(shù)中的恒等變換應用.計算題.把b=2sinB代入已知等式并應用正弦定理得a2+b2- c2=ab由余弦定理 得c

41、osC，得至U C=60°,由ab=a2+b 2解答:-3或ab-3求得ab最大值為3,從而求得4ABC面積 工水抽口。的最大值.解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得2sin2A - 2sin2C=2sinAsinB - 2sin2B ,2 + b 2 - 2 sin A+sin B - sin C=sinAsinB , - a +b _ c =ab, ，cosC=-=2C=60°.ab=a2+b2- c2=a2+b2- （ 2rsinC） 2=a2+b2- 3或ab- 3,.ab小（當且僅當a=b時，取等號），.ABC面積為2abs2 M斕?=&

42、quot;j 故答案為旦i.4點評： 本題考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的應用，求出abq是解題的難點.22. （2014?韶關二模）一只艘船以均勻的速度由方位角（從正北方向順時針轉到目標方向的水平角） 則A到C的距離是 30 （灰+巫）海里.A點向正北方向航行，如圖，開始航行時，從A點觀測燈塔C的為45°,行駛60海里后，船在B點觀測燈塔C的方位角為75°,考點：解三角形的實際應用.專題：應用題；解三角形.分析：由題意，ZABC=105°,/C=30°,AB=60海里，由正弦定理可得AC.解答：解：由題意，ZABC=105°,/C=30&

43、#176;,AB=60海里.由正弦定理可得ac=AB>shlZABC=30（在死）海里.sinZC故答案為：30（V6+<2）點評：本題考查正弦定理，考查學生的計算能力，屬于基礎題.23. （2014?濰坊二模）如圖所示，位于東海某島的雷達觀測站A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45。，與觀測站A距離20日海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北0（0°<0<45°）的C處，且cos。乂,5已知A、C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為考點：解三角形的實際應用.專題：解三角形.分析：根據(jù)余弦定理求出BC的長度即可得到結論.解答：解：

44、1cos=,sin,55由題意得/BAC=45°一依即cos/BAC=cos（45°0）第芻當邛,25U10,.AB=20亞，AC=10,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos/BAC,即BC2=（20VI）2+102-2>206刈04&800+100-560=340,710即BC=V而二左廂，設船速為x,則工冗=2山左，24x=4-（海里/小時）,故答案為：4.-：二點評：本題主要考查解三角形的應用，根據(jù)條件求出cos/BAC,以及利用余弦定理求出BC的長度是解決本題的關鍵.24. （2014?濰坊三模）如圖，C、D是兩個小區(qū)所在地，C、D到

45、一條公路AB的垂直距離分別為CA=1km,DB=2km,A、B間的距離為3km,某公交公司要在A、間的某點N處建造一個公交站點，使得N對C、D兩個小區(qū)的視角/CND最大，則N處與A處的距離為2JS-3km.考點：解三角形的實際應用.專題：應用題；三角函數(shù)的求值.分析：設出NA的長度x,把/CNA與/DNB的正切值用含有x的代數(shù)式表示，最后把ZCND的正切值用含有x的代數(shù)式表示，換元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N對C、D兩個小區(qū)的視角/CND最大時的x值，即可確定點N的位置.解答：解：設NA=x,/CNA=a,/DNB=&依題意有tano=,tan戶一-,93-ztan/CND=

46、tan兀（o+3）=tan（廿3）=1-1-x2-3i+2x3-R令t=x+3,由0vxv3,得3vtv6,貝UtanZCND=r-二一t£-9t+20t4陽藻+<3+t|3t=2V5,即x=2V5-3時取得最大角，故N處與A處的距離為（2代-3）km.故答案為：25-3.點評：本題考查解三角形的實際應用，考查了利用基本不等式求最值，解答的關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學問題,是中檔題.25. （2014?臺州一模）為了測量A,C兩點間的距離，選取同一平面上B,D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度（單位：km）如圖所示，且/B+/D=180°,則AC的長為/I_km.S考點

47、：解三角形的實際應用.專題：計算題；解三角形.分析：利用余弦定理，結合ZB+ZD=180°,即可求出AC的長.解答：解：由余弦定理可得AC2=22+32-2?2?3?cosD=13-12cosD,AC2=52+82-2?5?8?cosB=89-80cosB,/B+ZD=180°,2AC2=13+89=102,AC=h/Tkm.故答案為：一點評：本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)知識，正確運用余弦定理是關鍵.26. （2014?黃岡模擬）路燈距地平面為8m,一個身高為1.75m的人以jm/s的速率，從路燈在地面上的射影點C處,沿某直線離開路燈，那么人影長度的變化速率v為二_m/s

48、.5考點：解三角形的實際應用.專題：解三角形.分析：由題意畫出幾何圖形，設出人從C點運動到B處路程、運動時間及人影長度，由三角形相似求出人影長度與運動路程間的關系式，把運動路程用運動速度和運動時間替換，求導后得答案.解答：解：如圖，路燈距地平面的距離為DC,人的身高為EB.設人從C點運動到B處路程為x米，時間為t（單位：秒），AB為人影長度，設為V,BE/CD,AC-CD.V.L75 y=X, 25故答案為:點評:又.x=t,ny=則y=1,5人影長度的變化速率為-m/s.5解答此題的關鍵是明確題意，把實際問題轉化為數(shù)學問題，是中檔題.三.解答題（共4小題）27. （2014?廣州模擬）如圖，

49、某測量人員，為了測量西江北岸不能到達的兩點A,B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C;并測量得到數(shù)據(jù)：/ACD=90°,/ADC=60°,ZACB=15°,ZBCE=105°,ZCEB=45°,DC=CE=1（百米）.（1）求CDE的面積；（2）求A,B之間的距離.考點：解三角形的實際應用；余弦定理.專題：計算題.分析：（1）連接DE,在4CDE中，求出/DCE,直接利用三角形的面積公式求解即可.（2）求出AC,通過正弦定理求出BC,然后利

50、用余弦定理求出AB.解答：解：（1）連接DE,在4CDE中，/DCE=360°-90°-15°-105°=150°,（1分）SaeCD4tle比式n150"=1尺式門3。口><2=（平方百米）（4分）（2）依題意知，在 RTAACD 中，55 分）在 4BCE 中，/ CBE=180 - / BCE - / CEB=180 - 105 - 45 =30°由正弦定理 型=選一sinZCEB -sinZCBEBC二. %mTin/CEa-X 名i口4 5 口二V?sinZCBEgin 30得cos15 =cos （6

51、00- 45°） =cos60 cos45 +sin60 °sin45°（7分）（8分）（9分）在 ABC 中，由余弦定理 AB2=AC2+BC22AC?BCcos/ACB（10 分）可得卜屋=杼+娟2 -gxg x=2-V?（11分）物在二貓（百米）（12 分）點評：本題考查三角形的面積的求法，正弦定理與余弦定理的應用，考查計算能力.28. （2014?福建模擬）如圖，經(jīng)過村莊 A有兩條夾角為60°的公路AB, AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi) 建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N （異于村莊 A）,要求PM=PN=MN=2 （單位：千米）.如何設計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠）考點：解三角形的實際應用.專題：綜合題；解三角形.分析：設/AMN二依在4AMN中，求出AM,在4APM中，利用余弦定理，建立函數(shù)，利用輔助角公式化簡,孫一二_Mlsin60sin（1200-9）即可得出結論.解答：解：設ZAMN=0,在4AMN中,因為MN=2,所以AM=一；sin（120-0）.3在4APM中，cos/AMP=cos（60°+。）.-6分AP2=AM2+mp2-2AM?MP?cosZA