1、v1.0可編輯可修改課題解三角形專題1教學目標理解正玄定理、余弦定理的基本內容會應用正玄定理、余弦定理解決有關三角形的問題重點、難點正玄定理、余弦定理的基本內容及其簡單應用考點及考試內容本章中的有關三角形的一些實際問題，往往動筆計算比較復雜，象這樣的問題的計算就要求大家能用計算器或電腦來幫助計算，能根據精確度的需要保留相應的位數。盡管科學技術發展很快，但必要的計算能力對干-個現代人還是有必要的，所以平時大家還要注意訓練自己的運算速度與準確性，時刻注意鍛煉自己的意志力。教學內容一、正弦定理及其證明正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC正弦定理揭示的

2、是一般三角形中的重要邊角關系，它們是解三角形的兩個重要定理之一。對于正弦定理，課本首先引導學生回憶任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，引導學生思考是否能得到這個邊、角關系準確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數量關系，就比較自然地引導到三角函數。在直角三角形中，邊之間的比就是銳角的三角函數。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快證明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察結論是否適用于銳角三角形，可以發現asinB和bsinA實際上表上了銳角二角形邊AB上的高。這樣，利用高的兩個不同表不，就容易證明銳角三角形中的正弦定理。鈍角三角形中定理的證明要應用正弦函數的誘導鈍

3、角三角形中定理的證明要應用正弦函數的誘導公式，教科書要求學生自己通過探究來加以證明。可以考慮采用向量的知識來證明。二、余弦定理及其證明余弦定理在一個三角形中，任一邊的平方都等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角的余弦的積的2倍，即a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC；余弦定理同樣揭示的是一般三角形中的重要邊角關系，它們是解三角形的兩個重要定理之一。由直角三角形三邊間的關系，歸納猜想任意三角形的邊角間的關系。自己學會探索、并試著去從理論上去解決。通過這個定理的探索并去從理論上證明，作廿-個現代中學生，要掌些研究11杭州龍文教育科技有限公司v1.0可編

4、輯可修改事物的方法、要學會學習，善于提出問題，并且試著去解決問題。同樣這個定理的證明也是采用了向量的相關知識很容易得到解決，向量知識在數學上的一個具體應用，這也體現了數學科學的特點之一：前后知識間聯系緊密。這也要求大家能夠將前后知識聯系起來，而不應該是孤立地來學習某部分知識，而不善于將所學恰當地應用，這也要求大家能夠活學活用。當然這兩個定理的證明證明方法，自己還可以考慮采用比如平面幾何知識等其它的方法，以鍛煉自己的能力。三、正弦定理和余弦定理的應用正弦定理的應用:1.用正弦定理解三角形是正弦定理的一個直接應用，正弦定理可以用于兩類解三角形的問題:(1)已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和

5、另一角。(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角.2.三角形解的個數況:般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形(已知a,b和A),用正弦定理求 B時的各種情若A為銳角時：bsin Absin AbsinA aa 3b無解一解(直角),如下圖所示:b二解(一銳，一鈍)一解(銳角)22杭州龍文教育科技有限公司已知邊a,b和a<CH=bsinA無解a=CH=bsinA僅有一個解CH=bsinA<a<b有兩個解僅有一個解若A為直角或鈍角時：b 無解b一解(銳角)余弦定理的應用:利用余弦定理可以解決兩類解斜三角形問題:(1) 已知三邊，求各角;

6、(2) 已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個角。考點知識點一：正弦定理v1.0可編輯可修改典型例題1 .定理：-c-2R.（R為三角形外接圓半徑）sinAsinBsinC2 .例題：例1：在ABC中，已知A450,B600,a2,求b.例2：ABC中，c的A450,a2,求b和B,C.針對性練習1、 ABC中，b4,B600,c1,求a和A,C.2、 ABC中，a233,A600,b2J2,求B3.已知 ABC43,A=60° , aa b csin A sin B sinC4、 ABC中，若A:B:C1:2:3則a:b:c5、 ABC,若b2asinB貝UA= 6.已知a、b為

7、ABC勺邊，A、B分別是a、b的對角，且snA-,求ab的值sinB3b 7、ABC中，b2,B300,C1350，求a考點二：余弦定理33杭州龍文教育科技有限公司v1.0可編輯可修改1. 定理： b2 a2 c2 2accosB推論cosA222b c a2bccosBcosC2ac222b a c2ba-2,22abc2bccosA22,2cab2abcosC典型例題例1.在ABC43,已知a3,b4,C600,求c.練習：在ABC,已知a2串,cgg,B60°,求b及A（答案：b2J2,A60°）例2：在AABC3,已知a=3,b=4,c=6,求cosC.知識點方法總

8、結小結：余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例;余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊針對性練習1 .三角形ABC3,A=120°,b=3,c=5,求a2 .在ABO43,若a2b2c2bc,求角A(答案：A=1200)變式：在ABO43,(abc)(bca)3bc,則A3.三角形 ABO43, AB 3,AC2, BO45杭州龍文教育科技有限公司正弦定理和余弦定理的綜合問題v1.0可編輯可修改例1三角形ABC,cosC=:，a=7,b=8,求最大角的余弦14變式：在ABO43,已知sinA：sinB：sinC=6：5：4,求

9、最大角的余弦.例2：在AABO43,已知a=7,b=10,c=6,判斷三角形的類型.a2b2c2A是直角AB0直角三角形a2b2c2A是鈍角ABO鈍角三角形a2b2c2A是銳角ABR銳角三角形練習：1.在AABC43,已知a=3,b=5,c=7,判斷三角形的類型. 2.在ABC3,若2cosBsinA=sinC,則ABC勺形狀一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形 3.已知ABC中，bcosCccosB,試判斷ABC勺形狀. 4.三角形ABC43,C=60,a=3,c=7,求b15.在ABC中，已知a2,c3,cosB一，求(1)b的值(2)求sinC46.已知

10、ABC三個頂點的直角坐標分別為A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)若c5,求sinA的值.(2)若A是鈍角，求c的取值范圍55杭州龍文教育科技有限公司v1.0可編輯可修改54一7.在ABC43,已知cosA一,sinB_,求cosC.135應用問題一、面積問題公式：S=1absinC,S=1bcsinAS=1acsinB222例1:已知在ABC中，B=30,b=6,c=6.3,求a及ABC的面積S練習：1.已知在ABC中，B=30,AB=2J3,AC=2,求ABC的面積2.三角形ABO,a=5,b=7,c=8求S；abca, b, c ,已知 sin A3.在銳角zABO中，角A,

11、B,O所對的邊分別為Saabc逝，求b的值。課后練習1.4ABC中，a=3,b=斷，c=2,那么B等于（A. 30B. 45°C. 60°D. 120°2.已知 ABC中,sinA:sinB:sinO = 1 ： «'3 ： 2,則A ： B： C等于A. 1 ： 2 ： 3B. 2 ： 3 ： 1C. 1 ： 3 ： 2D. 3 ： 1 ： 23. 在 QABO 中,60； , b2 ac,則 A ABOA、銳角三角形、鈍角三角形 C、等腰三角形D 、等邊三角形4.若三條線段的長為5、6、7,則用這三條線段（C、5.A.A 、能組成直角三角形、

12、能組成銳角三角形能組成鈍角三角形、不能組成三角形在 ABC中，若a 7,b3,c8,則其面積等于（66杭州龍文教育科技有限公司v1.0可編輯可修改6 .在 ABC中，若(a c)(a c)b(b c),則/ A=(A. 900 B . 600.1200 D . 15007 .在 ABC中，若7,b8, cosC13- A ,人、一，則最大角的余弦是（14188.三角形的兩邊分別為3,它們夾角的余弦是方程 5x2 7x 60的根,則三角形的另一邊長為（A. 52B. 2、, 13C. 16D. 477杭州龍文教育科技有限公司9 .如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、由增加的長度決定10 .在ABC中，周長為，且sinA:sinB:sinC=4：5：6,下列結論：a:b:c4:5:6a:b:c2:J5:J6D a 2cm,b 2.5cm, c 3cm A:B:C 4:5:6其中成立的個數是A. 0個B. 1個C. 2個D. 3B組鞏固提高11.已知銳角三角形的邊長分別是2,3, x ,則x的取值范圍是A、1 x 5 Bx/5xM C 、0x>/5D、713 x 513 .在ABC3,若AB=J5,