1、 中高考 找才子 始建于1998年專題22 與圓相關的比例線段閱讀與思考比例線段是初中數學的一個核心問題.我們開始是用平行線截線段成比例進行研究的，隨著學習的深入、知識的增加，在平行線法的基礎上，我們可以利用相似三角形研究證明比例線段，在這兩種最基本的研究與證明比例線段方法的基礎上，在不同的圖形中又發展為新的形式.在直角三角形中，以積的形式更明快地表示直角三角形內線段間的比例關系.在圓中，又有相交弦定理、切割線定理及其推論，這些定理用乘積的形式反映了圓內的線段的比例關系.相交弦定理、切割線定理及其推論，它們之間有著密切的聯系：1從定理的形式上看，都涉及兩條相交直線與圓的位置關系；2從定理的證明

2、方法上看，都是先證明一對三角形相似，再由對應邊成比例而得到等積式.熟悉以下基本圖形和以上基本結論.例題與求解【例1】如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F.若DE=CE，AC=8，點D為EF的中點，則AB= . （全國初中數學聯賽試題）解題思路：設法求出AE、BE的長，可考慮用相交弦定理，勾股定理等. 例1題圖 例2題圖【例2】如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一點O為圓心作O與AC、AB都相切，又O與BC的另一個交點為D，則線段BD的長為（ ）A1 B C D（武漢市中考試題）解題思路：由切割線定理知BE2

3、=BD·BC，欲求BD，應先求BE. 須加強對圖形的認識，充分挖掘隱含條件.【例3】如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是AB延長線上一點，CD切半圓于D，DEAB于E.已知AE EB=4 1，CD=2，求BC的長.（成都市中考試題）解題思路：由題設條件“直徑、切線”等關鍵詞聯想到相應的知識，尋找解題的突破口. 【例4】如圖，AC為O的直徑且PAAC，BC是O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，=.（1）求證：直線PB是O的切線；（2）求cosBCA的值.（呼和浩特市中考試題）解題思路：對于（1），恰當連線，為已知條件的運用創設條件；對于（2），將問題轉化為求線段的比值. 【例5】如

4、圖，已知AB為O的直徑，C為O上一點.延長BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BF交O于F，AF交CE于P.求證：PE=PC.（太原市競賽試題）解題思路：易證PC為O切線，則PC2=PF·PA，只需證明PE2= PF·PA. 證PEFPAE，作出常用輔助線，突破相關角. 【例6】如圖，已知點P是O外一點，PS、PT是O的兩條切線. 過點P作O的割線PAB，交O于A、B兩點，與ST交于點C.求證：=（+）.（國家理科實驗班招生試題）解題思路：利用切割線定理，再由三角形相似即可證. 能力訓練A級1如圖，PA切O于A點，PC交O于B、C兩點，M是BC上一點，且PA=6，PB=B

5、M=3，OM=2，則O的半徑為 .（青島市中考試題）2如圖，已知ABC內接于O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F是OE的中點.如果BDCF，BC=2，則CD= .（四川省競賽試題） （第1題圖） （第2題圖） （第3題圖） （第4題圖）3如圖，AB切O于點B，AD交O于點C、D，OPCD于點P. 若AB=4cm，AD=8cm，O的半徑為5cm，則OP= .（天津市中考試題）4如圖，已知O的弦AB、CD相交于點P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切O于點A，AE與CD的延長線交于點E，AE=2，那么PE的長為 .（成都市中考試題）5如圖，在O中，弦AB與半徑OC相交于點M，且OM=MC，

6、若AM=1.5，BM=4，則OC的長為（ ） A2 B C2 D2（遼寧省中考試題）（第5題圖） （第6題圖） （第7題圖）6如圖，兩個同心圓，大圓的弦AB與小圓相切于點P，大圓的弦CD經過點P，且CD=13，PD=4，則兩圓組成的圓環的面積為（ ） A16 B36 C52 D81（南京市中考試題）7如圖，兩圓相交于C、D，AB為公切線，若AB=12，CD=9，則MD=（ ） A3 B3 C6 D68如圖，O的直徑AB=10，E是OB上一點，弦CD過點E，且BE=2，DE=2，則弦心距OF為（ ） A1 B C D（包頭市中考試題）（第8題圖） （第9題圖） （第10題圖）9如圖，已知在ABC

7、中，C=90°，BE是角平分線，DEBE交AB于D，O是BDE的外接圓.（1）求證：AC是O的切線；（2）若AD=6，AE=6，求DE的長.（南京市中考試題）10如圖，PA切O于A，割線PBC交O于B、C兩點，D為PC的中點，連結AD并延長交O于E，已知：BE2=DE·EA.求證：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.（天津市中考試題）11如圖，ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC.已知O過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G.求證：ADBF.（全國初中數學聯賽試題）（第11題圖） （第12題圖）12如圖，已知AB是O的直徑，AC切

8、O于點A. 連結CO并延長交O于點D、E，連結BD并延長交邊AC于點F.（1）求證：AD·AC=DC·EA；（2）若AC=nAB（n為正整數），求tanCDF的值.（太原市競賽試題）B級1如圖，兩個同心圓，點A在大圓上，AXY為小圓的割線，若AX·AY=8，則圓環的面積為（ ）A4 B8 C12 D16（咸陽市中考試題）2如圖，P為圓外一點，PA切圓于A，PA=8，直線PCB交圓于C、B，且PC=4，ADBC于D，ABC=，ACB=. 連結AB、AC，則的值等于（ ）A B C2 D4（黑龍江省中考試題）（第1題圖） （第2題圖） （第3題圖）3如圖，正方形ABC

9、D內接于O，E為DC的中點，直線BE交O于點F，若O的半徑為，則BF的長為（ ）A B C D（南京市中考試題）4如圖，已知O的半徑為12，銳角ABC內接于O，BDAC于點D，OMAB于點M，則sinCBD的值等于（ ）AOM的長 B2OM的長 CCD的長 D2 CD的長（武漢市中考試題）（第4題圖） （第5題圖） （第6題圖）5如圖，PC為O的切線，C為切點，PAB是過O點的割線，CDAB于D.若tanB=，PC=10cm，求BCD的面積.（北京市海淀區中考試題）6如圖，已知CF為O的直徑，CB為O的弦，CB的延長線與過F的O的切線交于點P.（1）若P=45°，PF=10，求O半徑

10、的長；（2）若E為BC上一點，且滿足PE2=PB·PC，連結FE并延長交O于點A.求證：點A是的中點.（濟南市中考試題）7已知AC、AB是O的弦，ABAC.（1）如圖1，能否在AB上確定一點E，使AC2=AE·AB?為什么？（2）如圖2，在條件（1）的結論下延長EC到P，連結PB，如果PB=PE，試判斷PB與O的位置關系并說明理由；（3）在條件（2）的情況下，如果E是PD的中點，那么C是PE的中點嗎？為什么？（重慶市中考試題）（第7題圖） （第8題圖）8如圖，P為O外一點，PA與O切于A，PBC是O的割線，ADPO于D，求證：=.（四川省競賽試題）9如圖，正方形OABC的頂點O在坐標原點，且OA邊和AB邊所在的直線的解析式分別為：y=x和y=.D、E分別為邊OC和AB的中點，P為OA邊上一動點（點P與點O不重合），連接DE和CP，其交點為Q（1）求證：點Q為COP的外心；（2）求正方形OABC的邊長；（3）當Q與AB相切時，求點P的坐標（河北省中考試題）（第9題圖） （第10題圖） （第11題圖）10如圖，已知BC是