1、題目 第六章不等式不等式綜合問題高考要求 1熟練運用不等式的知識綜合解決函數、方程等中的有關問題2在掌握一次函數單調性、二次函數的最值以及在定區間上的最值問題，學會變量的轉換，掌握：恒正、恒負、解集為R、解集為空集的實際含義并且會轉化3掌握 “兩個正數的算術平均數不小于他們的幾何平均數”，并能運用此定理解決一些問題4能從實際問題中抽象出數學模型，尋找出該數學模型中已知量與未知量，建立數學關系式，并用適當的方法解決問題5通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力在應用不等式的基本知識、方法

2、、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創新意識知識點歸納 1兩個正數的均值不等式是： 三個正數的均值不等式是： n個正數的均值不等式是：2兩個正數的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、均方根之間的關系是3. 雙向不等式是：左邊在時取得等號，右邊在時取得等號4不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用因此不等式應用問題體現了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學們將所學數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用在解決問題時，要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證明不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中諸如集合問題

3、，方程(組)的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明5不等式應用問題體現了一定的綜合性這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數式求最大值或最小值利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意“正數、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件利用不等式解應用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數學問題，40作答題型講解 例1 某電腦用戶計劃使用不超過450元的資金購買單價分別為60元，70元的單

4、元軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少要買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有（ ）A5種 B 6種 C 7種 D 8種解:設購買軟件片, 且,磁盤盤, 且,則,即當=3時, =2, 或=3 ; 當=4時, =2, 或=3 ; 當=5時, =2綜上述，共有5種不同的選購方式，故選A例2 已知，求的范圍分析：先利用解含絕對值的不等式的方法及積（商）的符號法則解不等式求出A和B，再利用數軸表示出A和B，得到時應滿足的條件，從而求出的范圍解： 由：例3 已知某種商品的定價上漲成（1成即為，成即為），其銷售量便相應減少成，按規定，稅金是從銷售額中按一定的比例繳納，如果這種商品的定價無論如何變化，從銷

5、售額中扣除稅金后的金額總比漲價前的銷售額少，試求這時稅率的取值范圍(精確到01% )注:本小題考查建立函數關系式,解不等式的知識,數學應用意識,建模能力和解決問題的能力解：設原定價為元/件，原銷售量為件，則原銷售額為元，由已知得 式恒成立，<0，解得，故111%<<1,即稅率的取值范圍(111%,100%)例4已知對任意q都有cos2q2msinq2m2恒小于0，求m的取值范圍解法一：設y= cos2q2msinq2m2=(sinq+m)2+m22m1 1£sinq£1, (1)1£m£1 Þsinq=m時，y的最大值為m22

6、m1,由m22m1<0,得 1<m<1+Þ1<m£1;(2)m>1 Þsinq=1時，y的最大值為2<0恒成立；(3)m<1 Þsinq=1時，y的最大值=4m2<0Þm>1/2與m<1矛盾綜合即得：m (1,+¥)解法二：對任意q都有cos2q2msinq2m2恒小于0，等價于 sin2q2msinq2m1<0恒成立等價于2m(sinq+1) < sin2q+1恒成立當sinq=1時，顯然成立；當1< sinq£1時，2m< (sin2q+

7、1)/ (sinq+1) 恒成立 (sin2q+1)/ (sinq+1)22 2m<22 m>1例5若拋物線上總存在關于直線的異于交點的兩個對稱點，試求實數的取值范圍 解法一：（對稱曲線相交法）曲線關于直線對稱的曲線方程為如果拋物線上總存在關于直線對稱的兩點，則兩曲線與必有不在直線上的兩個不同的交點(如圖所示)，從而可由： 代入得有兩個不同的解，解法二：（對稱點法）設拋物線上存在異于于直線的交點的點，且關于直線的對稱點也在拋物線上 則 必有兩組解(1)-(2)得 必有兩個不同解，有解 從而有 有兩個不等的實數解即 有兩個不等的實數解 ， 解法三：（點差法）設拋物線上以為端點的弦關于

8、直線對稱，且以為中點是拋物線（即）內的點 從而有由 (1)-(2)得 由從而有例6 大樓共有n層，現每層指派一人，共n個人集中到第k層開會 試問如何確定k，能使各位參加會議人員上、下樓梯所走路程總和最小？（假設相鄰兩層樓梯長都一樣）解：設相鄰兩層樓梯長為a ，則問題轉化為下列和式S的最小值的探求：S = S（k) = a 1 +2 +3 + ××× + (k1) + a 1 +2 + ××× + （n k ) = a k 2 (n +1) k + (n 2 + n) 目標函數S（k)為 k的二次函數，且a > 0 ，故當n為奇數

9、時，取k = ，S最小；當為n偶數時，取k = 或 ，S最小 例7 已知三條拋物線中至少有一條與軸有交點，求實數的取值范圍解：用反證法，假設三條拋物線中沒有一條與軸有交點，則三條拋物線中至少一條與軸有交點時，實數的取值范圍為：例8 已知函數（1）求證：函數上是增函數 （2）若上恒成立，求實數a的取值范圍 （3）若函數上的值域是，求實數a的取值范圍解：（1）當用定義或導數證明單調性均可（2）上恒成立設上恒成立可證單調增 故的取值范圍為（3）的定義域為當上單調增 故有兩個不相等的正根m，n，當時，可證上是減函數綜上所述，a的取值范圍為例9設關于x的方程2x2ax2=0的兩根為、（），函數（）求f

10、()·f ()的值；（）證明f (x)是，上的增函數；（）當a為何值時，f (x)在區間，上的最大值與最小值之差最小？解：（）由題意知，·1，22，f ()·f ()（）證明：當x時， 、是方程2x2ax2=0的兩根， 當x時，恒有2x2ax20，0，又不是常函數，是，上的增函數（）f (x)在區間，上的最大值f ()0，最小值f ()0，又| f ()·f () |4，f ()f ()| f ()| f ()|當且僅當| f ()| f ()|2時取“”號，此時f ()2，f ()2 由（1）、（2）得 ，a0為所求小結：1把不等式作為一種工具，應用于

11、其他課題之中，表現為不等式的解法的應用，求函數的定義域,值域，單調區間，討論函數的單調性，討論一元二次方程的實根的分布規律等2應用不等式的知識解題的關鍵是建立不等量關系；其建立的途徑有：（1）利用幾何意義；（2）利用判別式；（3）利用變量的有界性；（4）利用函數的單調性和利用均值不等式3在應用均值不等式時，應注意它的使用條件；有時需對式子的結構進行調整，構造為定理所需的形式4重要不等式的功能在于和積互化，要注意三個條件：一正、二定、三相等的檢驗在運用過程中，要注意創造特殊的環境：學生練習 1某工廠年產值第二年比第一年增長百分率為p1,第三年比第二年增長的百分率為p2,第四年比第三年增長的百分率

12、為p3,若p1+p2+p3=m,m為常數，則年平均增長率p的最大值為( B )A B C D2如果一輛汽車每天行駛的路程比原來多19千米，那么在8天之內它的行程就超過2200千米；如果它每天行程比原來少12千米，那么它行駛同樣的路程就得花9天多的時間，這輛汽車原來每天行程的千米數x滿足：（ D ）A259<x<260 B258<x<260 C257<x<260 D256<x<2603已知非負實數，滿足且，則的最大值是（ ） A B C D 解：畫出圖象，由線性規劃知識可得，選D4已知命題p：函數的值域為R，命題q：函數是減函數若p或q為真命題，p

13、且q為假命題，則實數a的取值范圍是（ ）Aa1Ba<2C1<a<2Da1或a2解：命題p為真時，即真數部分能夠取到大于零的所有實數，故二次函數的判別式，從而；命題q為真時，若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結果為1<a<2，故選C5軸截面周長為1的圓柱的體積的最大值為 （p/216);6若關于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，則實數a的取值范圍是 (¥,8);7正數x,y滿足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值(利用(x+2y)(1/x+1/y)=3+x/y+

14、2y/x³3+2,可以得到x+2y³3/2+)8 解關于的不等式0分析：本題主要復習分式不等式的解法、分類討論的思想及利用序軸標根法解不等式的基本步驟本題的關鍵是對分母分解因式，將原不等式等價轉化為和比較與及3的大小，定出分類方法解：原不等式化為：當時，由圖1知不等式的解集為 當當9 解關于的不等式分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關系，對含參數的不等式，運用圖解法，還可以使得分類標準更加明晰解：設，原不等式化為，在同一坐標系中作出兩函數圖

15、象故（1）當（2）（3）當時，原不等式的解集為綜上所述，當時，解集為）；當時，解集為時，解集為10數列由下列條件確定：（1）證明：對于,（2）證明：對于證明：（1）（2）當時，=11已知數列中，b1=1，點P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上）求數列）設的前n項和為Bn, 試比較）設Tn=分析：本題主要復習數列通項、求和及不等式的有關知識略解：） )Bn=1+3+5+(2n-1)=n2 )Tn= -得又12一輪船行駛時，單位時間的燃料費與其速度的立方成正比，若輪船的速度為每小時10 km 時，燃料費為每小時35元，其余費用不隨速度而變化，每小時為560元，求輪船速度為多少時，輪

16、船行每千米的費用最少？ （20km/小時，42元/千米） 解：設輪船的燃料費u與速度v之間的關系是:u=kv3,由已知，v=10時，u=35, 35=k´103 Þk=7/200;輪船行駛1千米的費用y=u´1/v+560´1/v =7v2/200+560/v=7v2/200+280/v+280/v³=42 (元）；等號條件：7v2/200=280/v Þv=20(km/h)13汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故責任人的一個重要因素在一個限速40千米/小時

17、以內的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了，事后現場測得甲車的剎車距離略大于12米，乙車的剎車距離略大于10米，又知甲、乙兩種車的剎車距離S與車速x（千米/小時）之間的函數關系為：S甲=01x+001x2; S乙=005x+0005x2 問：超速行駛應負主要責任的是誰？解：由12<01x+001x2 Þx>30 (km/h); 10<005x+0005x2 Þx>40 (km/h);可見乙車超速主要責任人是乙14某廠制定2000年某產品的生產計劃，已有如下數據：生產此產品的現有工人人數為400人，每個工人的年工時為2200小時，預測下一年的銷售量在10萬到17萬箱之間，每箱需用料10千克，目前存料1000噸，今年另需用1400噸，到2000年底可補充2000噸，試根據上述數據確定2000年可能的生產量，并根據產量確定生產人數解：由勞動力因素可得4x