1、哈爾濱工業大學數學系引言動力系統的研究現狀及分析非線性動力系統的穩定性和漸近穩定性解非線性不適定問題的漸近正則化方法求解非線性不適定問題的動力系統方法和離散化方法一、引言什么是動力系統？ 動態的；確定性；可預測性。動力系統研究的主要動因，是它在處理與我們周圍世界的關系中隨處可見的重要性。 數學中的動力系統 自然中的動力系統自然中的動力系統例子（一）對踵之兔(澳大利亞) 比薩斜兔 (1202,Leonardo)“某人有一對兔子，養在一處四周被圍墻圍著的地方。我們希望知道，如果這對兔子每月生一對小兔，且新生的兔子在兩個月大時便可繁殖，那么一對兔子一年中可繁殖出多少對兔子。若第一對兔子在第一個月內生

2、一對小兔，則兔子增加一倍，第一個月末便有兩對兔子；第一對兔子在第二個月內生一對小兔，這樣，第二個月末便有三對兔子。至此，一個月內會有兩隊兔子懷孕，從而第三個月末會有五對。于是，同一個月內會有三對兔子懷孕，從而第四個月末會有八對加上第一個數與第二個數，即1和2，第二個數與第三個數，第三個數與第四個數”蝴蝶效應（與周圍隔離且季節變化較為恒定不變法則及無外部影響） 不變法則保證了次年夏天的數量僅依賴于當年夏天的數量，且這依賴關系每年都相同。指數增長的競爭 例子（二）數學中的動力系統動力系統可看作是某個函數，反復地重復同一件事情。狀態向量- 準確地用數值描述了某一真實或假想系統的 狀態 例：(1)垂直

3、向上拋球：離地面的高度h和向上的速度v (2) 銀行賬戶本金100美元，按每年6%的利率， 賬戶的收支平衡 (3) 全球各地的天氣（溫度、壓力、速度等等）函數（或法則）-給定當前狀態，下一時刻系統將往何處去例子 根的尋找對分搜索（微積分中的介值定理）給定 ，考慮中間點( )0( )f af b()2abzNewton法（速度快，但不永遠可靠）描述一個力學系統：狀態參量；從一個狀態點到另一個狀態點的對應法則。具備這兩個要素的系統自Poincar以來被稱為一個動力系統。狀態點的集合稱為相空間（phase space) 從相空間的一個狀態點到另一個狀態點的運動稱為相流（phase flow)下一時刻

4、：離散時間函數（法則）決定了系統如何隨時間改變：即已知系統當前狀態，法則告訴我們系統下一時刻的狀態。例：銀行賬戶 是系統在時刻k的狀態。k代表離散時間。( )x k下一時刻：連續時間例：垂直向上拋球由于時間連續變化，沒有下一“即時”時刻。此時我們用t表示時間，考慮系統在任意給定的時刻是如何變化的。球向上的速度是dh/dt=v；重力把球向下拉dv/dt=-g，因此，系統的改變為動力系統分為連續動力系統和離散動力系統保守系統-相流可壓縮系統耗散系統-相流不可壓縮系統 Poincar 截面動力系統連續動力系統離散動力系統保測度流Hamilton系統耗散保測度映射辛映射離散動力系統與連續動力系統的轉換

5、 連續動力系統可以通過(1)取Poincare截面的方法，(2)等時映射方法：即每一相同時間記下一個狀態點的方法來獲得離散動力系統； 離散動力系統可經過適當的方法擴充成一個流，但這種擴充一般不常見，因為研究映射通常比研究常微分方程更容易。一個連續系統，通過Poincare截面得到一個界面上的映射，該映射的性質可以通過Poincare截面反映原系統的性質。動力系統的其它分類1.確定性與隨機系統（方程是否含隨機項）2.自治與非自治系統（右端f是否顯含時間）3.可逆與不可逆系統 可逆：x(t)唯一得到x(t-1). 只要任一軌道不并和，就是可逆系統。連續的確定性流總是可逆的。映射系統則未必。從一個流

6、得到的映射總是可逆的。保守映射可逆的。只要映射的Jacobi行列式不為零，該映射是可逆的。4.其他，如：隨機性(K系統、C系統)結構穩定性、分岔、分形與混沌結構穩定性或魯棒性 當動力系統受到小擾動后拓撲結構保持不變分岔 當某個動力系統是結構不穩定的，則任意小的適當的擾動都可使系統的拓撲結構發生突然的變化。 含參數的動力系統還可能通過一系列的分岔導致混沌運動的產生。混沌 某些確定性系統的隨機性過程； 某些非線性動力系統具有的一種特定性質； 系統的解對初值具有敏感的依賴性。分形- 1.若集合的Hausdorff維數大于其拓撲維數（Cantor三分集、Koch曲線、Sierpinski墊)2.若集合

7、的整體與其組成成分具有某種自相似性。3.FalconerA具有精細的結構，即有任意小比例的細節；A是如此的不規則，以致它的整體和局部都不能用傳統的集合語言來描述；A通常有某種自相似的形式，可能是近似的或是統計的；A的某種分形維數大于其拓撲維數；在大多數令人感興趣的情形下，A以非常簡單的方式定義，或由迭代產生。動力系統的穩定性混沌混沌應用流體混合攪拌微波爐設計（chaotic defrost)醫學 混沌機制在神經信息處理的作用氣象學分析混沌通信Lorenz 吸引子Rossler 吸引子Smale馬蹄Singular cycle(Fig.1)A singular cycle gives rise

8、to (singular) horseshoeRef. Labarca and Pacificas workSingular cycle (Fig.2)homoclinic singular cycle gives rise to horseshoes. Ref. Silnikovs work 幾種自然分形圖形B.B.Mandelbrot 集同學們自己做的mandelbrot集合圖像立體圖形茱莉亞集科郝曲線被用作晶瑩剔透的雪花模型謝爾賓斯基三角形墊片 謝爾賓斯基地毯門杰海綿與謝爾賓斯基金字塔皮亞諾曲線 無論X是有限維的還是無限維的，都需要研究如下四個方面：所研究系統的解的存在性；解的唯一性；

9、解的穩定性（對于初值）；系統的魯棒性。Question:找到不動點后，如何判斷其穩定性？線性化Lyapunov functionLyapunov方法x二動力系統方法的研究現狀及分析連續型方法參數識別問題參數識別在自然科學、工程控制、及其他學科中都起著非常重要的作用。它的主要想法是通過優化實驗數據與理論的擬合函數值之間的距離，識別數學模型中的某些未知參數。因此，盡管某些參數無法直接測量出來，但是可以通過最小二乘擬合而得到。典型的動力系統可以由依賴于時間的微分方程所描述，并且該微分方程是依賴于參數的。除了上述提到的優化平方差的方法以外，還可以運用殘差范數的方法，比如說利用絕對殘差的最小值，或者絕對

10、殘差的最大值。在參數識別，尤其是關于動力系統中參數識別這方面的研究，Schittkowski做了大量的研究工作此外，在參數識別問題中經常會遇到靈敏度矩陣(sensitivity matrix)這一概念。其主要出現于對依賴于參數的系統的定量及定性的研究中。靈敏度矩陣是研究系統對于參數依賴性的強有力的工具。系統關于參數的靈敏性方程通常應用于優化問題、反問題、模型選擇，以及生物學、力學和控制論中。由于實際模型對于參數的依賴，人們越來越多的關注這方面的研究。特別是具概率測度的動力系統，在實際問題中尤為普遍。這一類問題可歸結為如下的一般動力系統：其中P是概率測度。實際上，這類含有概率參數的系統并不是一個

11、新的問題，最早的工作可以追溯到Young在變分學中的廣義曲線問題。2002年，李春發，馮恩民等人研究了一類弱耦合反應-擴散動力系統的參數識別問題。通過構造上、下解，證明了反應-擴散方程組的解的存在唯一性，并給出了求解參數識別問題的最優化關系，從而可以選取適當的梯度法或者共軛梯度法，實現對系統參數的識別。隨后，在2004年，他們又研究了具有反應-擴散現象的三維種群生態動力系統的參數識別問題。依據該系統正問題的解的性質，建立了參數識別的數學模型，并論證了系統正問題的解關于待識別參數的連續依賴性與參數識別問題的最優解的存在性。在實際應用中，許多依賴于時間的問題都可以歸結為非線性動力系統的簡單形式：P

12、hilipp對Hilbert空間中的這類動力系統，考慮了未知參數 的識別問題。原有的基于在線的參數識別問題都是針對線性的、有限維問題而Philipp在這篇論文中，基于預估誤差的極小化，將動力系統的參數識別問題擴展到了非線性無限維的情況，并用Lyapunov理論證明了這個問題的穩定性。q( )( )y tA t qLyapunov理論的直接應用2003年，Xu和Yung研究了Banach空間的非線性時變動力系統的Lyapunov穩定性理論，并將Lyapunov穩定性定理和Barbashin-Krasovskii-LaSalle不變集原理擴展到了無限維Banach空間進一步加以研究。在解存在及運動

13、可加性的前提假設下，提出了一致穩定及一致漸近穩定的充分必要條件，并構造了Lyapunov函數。這一擴展理論也可作為連續系統及不連續系統的穩定性的有效的判別標準。1995年，吳忠麟和吳新元基于Lyapunov的漸近穩定性和常微分方程的非線性求解方法，提出了解方程 在a,b內的根的非線性迭代公式。它的突出特點即它是全局收斂的，并且不需要估計導數值 就可以找到每一個新的迭代值( )0f x ( )fx( )f x無約束優化問題1991年，Nocedal提出了無約束的優化算法理論。1997年，Schropp開始將動力系統應用于優化問題的研究工作，并取得了一定的進展。他利用梯度方程 的解的定量特性計算實

14、值函數 的局部極小值。并且在所有平衡點都是正則的假設條件下，用任意的定常步長的單步或線性多步法離散化相應的動力系統，證明了有界軌跡的全局收斂性。此外，在 穩定的情況下推導出了剛性優化問題的有效算法。1998年，Alvarez等人用與牛頓法相關聯的動力系統方法解決了參數凸優化問題。( )( )x tf x ( )Af三、非線性動力系統的穩定性和漸近穩定性19世紀末 俄國數學家 Lyapunov 穩定性理論 Lyapunov 第一方法 通過解系統的微分方程式，根據解的性質判斷系統的穩定性； Lyapunov第二方法 無需求解系統的微分方程式就可以對系統的穩定性直接進行分析判斷。構造輔助函數，稱其為

15、能量函數。Lyapunov函數的構造的一般方法： 針對特殊的非線性系統，作出具體的Lyapunov函數，通常為所研究系統的能量函數，或是能量值加上一個額外的能量因子，從而解決具體的個別問題。Lyapunov穩定性理論最早解決有限維空間的問題1970s將對線性自治系統的研究從有限維空間擴展到了無限維空間1996年，Neerven提出了較新的結論2000年，Clark等將Lyapunov穩定性理論擴展到了線性非自治系統對Lyapunov函數的要求通常要求Lyapunov函數是光滑正定的可能存在不連續的Lyapunov函數（Bacciotti & Rosier, 1998）可能是下半連續函數，或是不連續的函數（Chellaboina, 1999, Li,2000）系統的解也可能是不連續的（Biles & Schechter,2000DeLaubenfels & Vu Quoc Phong, 1997; Kunstmann,1998）G