1、主要內容主要內容典型例題典型例題第八章第八章 多元函數微分法多元函數微分法 及其應用及其應用習習 題題 課課平面點集平面點集和區域和區域多元函數多元函數的極限的極限多元函數多元函數連續的概念連續的概念極極 限限 運運 算算多元連續函數多元連續函數的性質的性質多元函數概念多元函數概念一、主要內容一、主要內容全微分全微分的應用的應用高階偏導數高階偏導數隱函數隱函數求導法則求導法則復合函數復合函數求導法則求導法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性偏導數在偏導數在經濟上的應用經濟上的應用多元函數的極值多元函數的極值全微分全微分概念概念偏導數偏導數概念概念1 1、區域、區域 設設),(000yxP是是

2、xoy平面上的一個點，平面上的一個點， 是某是某一正數，與點一正數，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P （3）n維空間維空間（2）區域）區域連通的開集稱為區域或開區域連通的開集稱為區域或開區域2 2、多元函數概念、多元函數概念 。上上）的的圖圖形形（或或圖圖像像）（在在為為函函數數中中的的子子集集的的值值域域，并并且且稱稱稱稱為為函函數數的的定定義義域域，稱稱為為函函數數稱稱為為因因變變量量，稱稱為為自自

3、變變量量，其其中中或或值值）函函數數，記記作作元元（實實上上的的一一個個稱稱為為定定義義在在的的任任一一映映射射到到實實數數集集的的一一個個非非空空子子集集，從從是是設設DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定義3 3、多元函數的極限、多元函數的極限定 義定 義 設 函 數設 函 數),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其內點或邊界點， 如果對于任意是其內點或邊界點， 如果對于任意給定的正數給定的正數 ，總存在正數，總存在正數 ，使得對于適合不，使得對于適合不等式等式

4、20200)()(|0yyxxPP的一的一切點，都有切點，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函為函數數),(yxfz 當當0 xx ，0yy 時的極限，時的極限， 記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. 說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數的極限也叫二重極限）二元函數的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數的極限運算法則與一元函數類似）二元函數的極限運算法則與一元函數類似4 4、極限的運算、極限的運算).0()()().3(;)()().

5、2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時，時，設設5 5、多元函數的連續性、多元函數的連續性定 義定 義 設 函 數設 函 數),(yxf的 定 義 域 為 點 集的 定 義 域 為 點 集)(,0,00yxPD是是D的內點或邊界點且的內點或邊界點且DP 0，如果如果)()(lim00PfPfPP 則稱函數則稱函數),(yxf在點在點0P處連續處連續. . 如果如果),(yxf在點在點),(000yxP處不連續， 則稱處不連續， 則稱0P是函數是函數),(yxf的間斷點的間斷點. . 6 6、閉區域上連續函數的性質閉區域上連續函數的性質

6、 在有界閉區域在有界閉區域D D上的多元連續函數，在上的多元連續函數，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界閉區域有界閉區域D D上的多元連續函數是上的多元連續函數是D D上的上的有界函數有界函數 在有界閉區域在有界閉區域D D上的多元連續函數，如果上的多元連續函數，如果在在D D上取得兩個不同的函數值，則它在上取得兩個不同的函數值，則它在D D上取上取得介于這兩值之間的任何值至少一次得介于這兩值之間的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理定義定義 設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某

7、一鄰的某一鄰域內有定義，當域內有定義，當y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應地函數有增量時，相應地函數有增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數此極限為函數),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對 x的的偏導數，記為偏導數，記為 7 7、偏導數概念、偏導數概念同理可定義函數同理可定義函數),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導數，的偏導數， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxy

8、z 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函數如果函數),(yxfz 在區域在區域D內任一點內任一點),(yx處對處對x的偏導數都存在，那么這個偏導數的偏導數都存在，那么這個偏導數就是就是x、y的函數，它就稱為函數的函數，它就稱為函數),(yxfz 對對自變量自變量x的偏導數，的偏導數， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數同理可以定義函數),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導的偏導數，記作數，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.、高階偏導數、高階偏導數),(22yxfxzxzxxx

9、),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數數),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數數為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義定義 二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數導數. 的的相相對對改改變變量量函函數數對對存存在在處處偏偏導導數數在在設設函函數數xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之比之比的相對改變量的相對改變量與自變量與自變量xxx xxzzx .,兩點間的彈性兩點間的彈性到到從從對對稱為函數稱為函數xxxxyxf 、偏導數在經濟上的應用偏導數在經濟上的應用:交叉彈性交叉彈性即即.l

10、im0zxxzxxzzEExxxzx ,0時時當當 xxxzzx 記作記作的彈性的彈性處對處對在在的極限稱為的極限稱為,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的彈性的彈性處對處對在在類似地可定義類似地可定義yyxyxf, .,表表示示需需求求對對收收入入的的彈彈性性需需求求對對價價格格的的彈彈性性表表示示則則表表示示消消費費者者收收入入表表示示價價格格表表示示需需求求量量中中如如果果特特別別地地yxyxzyxfz 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其

11、中 A,B 不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關，有關，22)()(yx ，則稱函數則稱函數),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數稱為函數),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分，記為全微分，記為dz，即，即 dz=yBxA .1010、全微分概念、全微分概念多元函數連續、可導、可微的關系多元函數連續、可導、可微的關系函數可微函數可微函數連續函數連續偏導數連續偏導數連續函數可導函數可導1111、全微分的應用、全微分的應用( , )( , ),xyzdzfx yxfx yy .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時

12、時當當,yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計.1212、復合函數求導法則、復合函數求導法則定理如果函數定理如果函數)(tu 及及)(tv 都在點都在點t可可導，函數導，函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有連續偏導具有連續偏導數，則復合函數數，則復合函數)(),(ttfz 在對應點在對應點t可可導，且其導數可用下列公式計算：導，且其導數可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的導數以上公式中的導數 稱為稱為dtdz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導導數數，且且函函數數),(v

13、ufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續續偏偏導導數數，則則復復合合函函數數),(),(yxyxfz 在在對對應應點點),(yx的的兩兩個個偏偏導導數數存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .1313、全微分形式不變性、全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數或中間變量的函數或中間變量 的函數，它的全微分形式是一樣的的函數，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0),()1( yxF隱函數存在定理隱函數存在定理 1 1 設函數設函數),(yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內具有連續的偏

14、導數，且某一鄰域內具有連續的偏導數，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數導數的函數)(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數的求導公式隱函數的求導公式1414、隱函數的求導法則、隱函數的求導法則隱函數存在定理隱函數存在定理2 2 設函數設函數),(zyxF在點在點,(0 xP),00zy的某一鄰域內有連續的偏導數，且的某一鄰域內有連續的偏導數，且,(0 xF0),00 zy

15、，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內恒能唯一確的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數定一個單值連續且具有連續偏導數的函數),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF1515、多元函數的極值、多元函數的極值 設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內內異異于于),(00yx的的點點),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函

16、函數數在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數數在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極大值、極小值統稱為極值極大值、極小值統稱為極值.使函數取得極值的點稱為極值點使函數取得極值的點稱為極值點.定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數，且具有偏導數，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數必處有極值，則它在該點的偏導數必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數取得極值的條件多元函數取得極值的條

17、件 定義定義一階偏導數同時為零的點，均稱為多元一階偏導數同時為零的點，均稱為多元函數的函數的駐點駐點.極值點極值點注意注意駐點駐點定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內連續，的某鄰域內連續，有一階及二階連續偏導數，有一階及二階連續偏導數，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時有極值，時有極值， 當當0 A時有極大值，

18、時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值. .求函數求函數),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數解，得駐點求出實數解，得駐點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求出二階偏導數的值求出二階偏導數的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.拉拉格格朗朗日日乘乘數數法法 要要找找函函數數),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可

19、可能能極極值值點點，先先構構造造函函數數),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數數，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標標.條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 .

20、0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數設設)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一階連續偏導數具有一階連續偏導數設

21、設 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的的導導數數兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試求試求且且所確定所確定由方程組由方程組設函數設函數 的的函函數數都都看看成成是是以以及及將將方方程程組組的的變變元元xzyu,得得求導求導方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x

22、)3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉拋物面求旋轉拋物面2222 zyxyxz例例5 5解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任一點為拋物面為拋物面設設分析分析:最小最小即即且使且使滿足滿足，使得，使得本題變為求一點本題變為求一點)22(61(22610,),(22

23、22 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)( 2)0,(3)3,(4)xyzFxyzxFxyzyFxyzzxy .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一駐點即得唯一駐點處取得最小值處取得最小值駐點，故必在駐點，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據題意距離的最小值根據題意距離的最小值)81,41,41(一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 二元函數二元函數22221arcsin4lnyxyx

24、z 的定義的定義 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）4122 yx. . 2 2、設、設2)(),(yxyxxyf , ,則則 ),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .測測 驗驗 題題 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (A) 0 (A) 0 ； (B) 1 (B) 1 ； (C) 2 (C) 2 ； (D) (D) e . . 4 4、函數、函數),(yxf在

25、點在點),(00yx處連續處連續, ,且兩個偏導數且兩個偏導數 ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在該點可微在該點可微 的的( ).( ). （A A）充分條件）充分條件, ,但不是必要條件；但不是必要條件； （B B）必要條件）必要條件, ,但不是充分條件；但不是充分條件； （C C）充分必要條件；）充分必要條件； （D D）既不是充分條件）既不是充分條件, ,也不是必要條件也不是必要條件. . 5 5、設、設),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 則在原點則在原點)0 , 0(處處),(yxf( ).( ). (A) (A)偏導數不存在；偏導數不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏導數存在且連續；偏導數存在且連續； (D) (D)可微可微 . . 6 6、設、設),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二階連續偏具有二階連續偏 導數導數. .則則 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf ； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . . 7 7、曲面、曲面)0(3