1、張量概念及其基本運算張量概念及其基本運算 1 1、張量概念、張量概念 張量分析是研究固體力學、流體力學及連續介張量分析是研究固體力學、流體力學及連續介 質力學的重要數學工具質力學的重要數學工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。 所有與坐標系選取無關的量，統稱為所有與坐標系選取無關的量，統稱為物理恒量物理恒量。 在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統稱為的物理量，統稱為標量標量。例如溫度、質量、功等。例如溫度、質量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向在一定單位制下，除指明其

2、大小還應指出其方向 的物理量，稱為的物理量，稱為矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需 三個分量來確定。三個分量來確定。 若我們以若我們以r表示維度，以表示維度，以n表示冪次，則關于三維表示冪次，則關于三維 空間，描述一切物理恒量的分量數目可統一地表空間，描述一切物理恒量的分量數目可統一地表 示成：示成： M = 3n 現令現令 n 為這些物理量的階次，并統一稱這些物為這些物理量的階次，并統一稱這些物 理量為張量。理量為張量。 當當n=0時，零階張量，時，零階張量，M = 1，標量；，標量；當當n

3、=1時，一階張量，時，一階張量，M = 3，矢量；，矢量； 、 、 、當取當取n時，時，n階張量，階張量，M = 3n。 張量的定義為：由若干坐標系改變時滿足一定張量的定義為：由若干坐標系改變時滿足一定 坐標轉化關系的有序數組成的集合。坐標轉化關系的有序數組成的集合。 張量是矢量和矩陣概念的推廣。標量是張量是矢量和矩陣概念的推廣。標量是0 0階張量，階張量， 矢量是一階張量，矩陣是二階張量，而三階張量矢量是一階張量，矩陣是二階張量，而三階張量 好比立體矩陣，更高階張量則無法用圖形表示好比立體矩陣，更高階張量則無法用圖形表示 張量出現的背景：我們的目的是要用數學量來表示張量出現的背景：我們的目的

4、是要用數學量來表示 物理量，可是標量加上向量都不能完整地表達所有物理量，可是標量加上向量都不能完整地表達所有 的物理量，所以物理學家使用的數學量的概念就的物理量，所以物理學家使用的數學量的概念就 必須擴大，于是張量就出現了。必須擴大，于是張量就出現了。 在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表 示和區別該張量的所有分量。示和區別該張量的所有分量。 不重復出現的下標符號稱為自由標號。自由標不重復出現的下標符號稱為自由標號。自由標 號在其方程內只羅列不求和。以自由標號的數號在其方程內只羅列不求和。以自由標號的數 量確定張量的階次。量確定張量的階次。 重復出現

5、，且只能重復出現一次的下標符號稱重復出現，且只能重復出現一次的下標符號稱 為啞標號或假標號。啞標號在其方程內先羅列，為啞標號或假標號。啞標號在其方程內先羅列， 再求和。再求和。2.2.下標記號法下標記號法3.3.求和約定求和約定 關于啞標號應理解為取其變程關于啞標號應理解為取其變程n內所有數值，然后再求和，內所有數值，然后再求和，這就叫做求和約定。這就叫做求和約定。 例如：例如： 31332211iiiiibababababa 31332211jiiijijjijbababababa2332222113122aaaaaiiiii 23322112312)( iiiii 3131ijijijij

6、ij 131312121111 232322222121 333332323131 關于求和標號，即啞標有：關于求和標號，即啞標有： 求和標號可任意變換字母求和標號可任意變換字母表示。表示。 求和約定只適用于字母標號，不適用于數字標號。求和約定只適用于字母標號，不適用于數字標號。 在運算中，括號內的求和標號應在進行其它運算前在運算中，括號內的求和標號應在進行其它運算前 優先求和。例：優先求和。例： 2332222112aaaaii 23322112)()(aaaaii 關于自由標號：關于自由標號： 在同一方程式中，各張量的自由標號相同，在同一方程式中，各張量的自由標號相同，即同階且標號字母相同

7、。即同階且標號字母相同。 自由標號的數量確定了張量的階次。自由標號的數量確定了張量的階次。 關于關于Kronecker deltaKronecker delta（ ）符號：）符號： ij 是張量分析中的一個基本符號稱為是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號柯氏符號（或（或柯羅尼克爾符號柯羅尼克爾符號），亦稱），亦稱單位張量單位張量。其定義為：。其定義為： ij 100010001 , 0 , 1 ijijjiji 或或：時時；當當時時；當當 的作用與計算示例如下：的作用與計算示例如下：ij jijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiillllla

8、aaaaaaaaaaaa)( ) 6 ( ),( ) 5 ( ) 4 ( ) 3(3)()()( ) 2(3 ) 1 (321332211333322221111332211233222211332211 或或或或即即4.4.張量的基本運算張量的基本運算 A A、張量的加減：張量的加減： 張量可以用矩陣表示，稱為張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣張量矩陣，如：，如： 凡是同階的兩個或幾個張量可以相加凡是同階的兩個或幾個張量可以相加( (或相減或相減) )，并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標號并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標號相同的諸分量之代數和。相同的諸分量之代數和。 即：即：

9、其中各分量（元素）為：其中各分量（元素）為：ijijijcba 333231232221131211aaaaaaaaaaij ijijijcba B B、張量的乘積張量的乘積 對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。 兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的 每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量， 它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一 個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積 張量的階數等于因子張量

10、階數之和。例如：張量的階數等于因子張量階數之和。例如：ijkjkicba 321aaaai321bbbbj若若則：則： 張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配 律和結合律。例如：律和結合律。例如： 332313322212312111babababababababababaji)()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcacba 或或；C C、張量函數的求導：張量函數的求導： 一個張量是坐標函數，則該張量的每個分量都一個張量是坐標函數，則該張量的每個分量都 是坐標參數是坐標參數x xi i的函數。的函數。 張量導數就是把張量的每個分量都對坐標參數張量導數就是把張量的每個分量都對坐標參數 求導數。求導數。 對張量的坐標參數求導數時，采用在張量下標對張量的坐標參數求導數時，采用在張量下標 符號前上方加符號前上方加“ ”的方式來表示。例如的方式來表示。例如 ， 就表示對一階張量就表示對一階張量 的每一個分量對坐標參數的每一個分量對坐標參數 x xj j求導。求導。 jiA iA 如果在微商中下標符號如果在微商中下標符號i i是一個自由下標，則是一個自由下標，則