1、第三單元 因數及倍數一、因數及倍數如果整數a(a0)和整數b(b0)相乘得到的整數c，那么a,b是c的因數（因數又叫約數）；c是a,b的倍數。例1:2×9=18可以說：2是18的因數，18是2的倍數；9是18的因數，18是9的倍數。注：1、因數及倍數是兩個數之間的相互關系，是相互依存的，不能單獨說某個數是因數或倍數。所以不能單獨說2是因數，18是倍數。 2、研究因數及倍數時，所說的數一般指不是0的自然數。練習：（1）說出下面哪個數是因數，哪個數是倍數。 3×7=21 4×8=32 13×9=117（2）7×8=56，（ ）和（ ）是（ ）的因數

2、； （ ）是（ ）和（ ）的倍數。 判斷：7和8是因數，56是倍數。（ ）（3）判斷：a×b=c,整數a、b、c0，那么a,b是因數；c是倍數。（ ）二、找一個數的因數方法：列乘法算式使積就是這個數，兩個乘數就是這個數的因數，為了做到不重復、不遺漏，可以從1開始列起。成對記錄比較簡便。例題：30的因數有：1,30,2,15,3,10,5,6.注：一個數最小的因數是1；最大的因數是它本身；一個數因數的個數是有限的。練習：（1）找出下列各數的因數：72 42 25 63（2）32的因數有：（ ），最小的因數是（ ），最大的因數是（ ）。三、找一個數的倍數方法：用這個數分別去乘1,2,3所

3、得的積就是這個數的倍數。例題：4的倍數有：4,8,12,16,20,24（若無限制條件，一定要加省略號）注：一個數最小的倍數是它本身；沒有最大的倍數；一個數倍數的個數是無限的。一個數的本身既是它的最大的因數，又是它的最小的倍數。練習：（1）找出下列個數的倍數：7 11 5 6（2）2的倍數中，最小的一位數是（ ）；最小的兩位數是（ ）。 寫出既是8的倍數，又是72的因數： （3）一個數倍數的個數是（ ），最小的倍數是（ ）。（4）一個數最小的因數是（ ），最大的因數是（ ）。（5）一個數的因數和倍數都是9，這個數是（ ）。（6）一個數最大的因數和最小的倍數和是16，這個數是多少？寫出這個數的倍

4、數。（7）媽媽買回30個蘋果，他把蘋果放入藍子中讓小明拿，約定既不許一次那完，也不許一個一個地拿，且每次拿的個數相同，拿到最后正好一個不剩。小明共有幾種拿法？每種拿法每次各拿幾個？小明將40顆棋子裝入盒中，然后從中拿棋子，不許一次那完，且每次拿的個數相同，拿到最后正好一個不剩。有幾種拿法？每次各拿幾個？（8）判斷：一個數的因數一定比它的倍數小。（ ） A×B=C(A,B,C均為自然數），則A是C的因數，C是B的倍數。（ ） 任何數最小的因數都是1.（ ） 一個數的因數和倍數都有無限個。（ ）培優：爸爸今年40歲，小明和爺爺的年齡分別是爸爸年齡的因數和倍數，并且爺爺的年齡是小明年齡的1

5、0倍，小明和爺爺今年各多少歲？四、5和2的倍數的特征1、5的倍數的特征：個位上是5或0。2、2的倍數的特征：個位上是2、4、6、8或0.既是2的倍數又是5的倍數的特征：個位上是0.3、自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數。也可以說個位是2/4/6/8/0的數是偶數，個位是1/3/5/7/9的數是奇數。4、偶數及奇數的個數都是無限的，沒有最大的偶數或奇數。 最小的偶數是0，最小的奇數是1。練習：（1）23中，里填（ ）既是2的倍數，又是5的倍數。 （2）1/3/25/39/48/50/329/1320中奇數有（ ），偶數有（ ），2的倍數有（ ），5的倍數有（ ），既是2的

6、倍數又是5的倍數有（ ）。 （3）30以內5的倍數有（ ）。 （4）五個連續奇數的和是75，這5個數分別是（ ）； 三個連續偶數的和是72，這三個偶數分別是（ ）。五、3的倍數的特征1、3的倍數，它各位上數的和一定是3的倍數。如果一個數不是3的倍數，那么，它各位上數的和也不是3的倍數。練習：（1）1，4,9,18,36,45,89,100中，偶數是（ ）；奇數是（ ）；2的倍數是（ ）；5的倍數是（ ）；3的倍數是（ ）；既是2的倍數又是5的倍數是（ ）；既是2的倍數又是3的倍數是（ ）；既是3的倍數又是5的倍數是（ ）。（2）3的倍數中，最大的一位數是（ ），最小的兩位數是（ ）；1000以

7、內最大的3的倍數是（ ）；35加上（ ）或減去（ ）是3的倍數。（3）一個三位數同時是2,3,和5的倍數，這個三位數最小是（ ），最大是（ ）；能被2、3、5除都余1的最小自然數是（ ）；在1100中，同時是2,3,5的倍數有（ ）。（4）按要求在里填上合適的數字。既是2的倍數又是5的倍數：5，13，24既是2的倍數又是3的倍數：35，74，70，7既是3的倍數又是5的倍數：18，15,20，4既是2和5的倍數又是3的倍數：4，20，4（5）用0,4,3,2四個數，按要求組成一個兩位數。組成的數是2的倍數：組成的數既是2的倍數，又是5的倍數：組成的數既是2的倍數，又是3的倍數：（6）桌子上放著

8、7個茶杯，全部底朝上。每次翻轉2個，經過多少次杯口全部朝上？（7）有36個蘋果，把它放在13個盤子里，每個盤子里只能放奇數個，這件事你能辦到嗎？（8）判斷：自然數中，不是奇數就是偶數。（ ）個位上是0/3/6/9的數一定是3的倍數。（ ）所有的自然數都是整數。（ ）解析：錯。整數包含正整數、負整數和0；而自然數只有0和正整數。用2,1,3組成的三位數一定是3的倍數。（ ）偶數是2的倍數，奇數是3的倍數。（ ）培優：1、在重填上合適的數，使它是9的倍數。（1）67 （2）43 （3）582、一盒羽毛球，5個5個的取，最后剩下1個；3個3個的取，最后剩下1個；2個2個地取，最后還是剩下1個。這盒羽

9、毛球最少有多少個？六、質數及合數1、一個數只有1和它本身兩個因數，像這樣的數叫作質數（或素數）。（只有2個因數）2、一個數除了1和它本身還有別的因數，像這樣的數叫作合數。（有2個以上的因數）3、1既不是質數也不是合數。（1的因數只有一個）注意：質數及合數的個數都是無限的，沒有最大的質數或合數。 最小的質數是2，最小的合數是4。 2是唯一一個既是偶數又是質數的數。 自然數（0除外）可以分成質數、合數和1.練習：（1）判斷：2既不是素數，又不是合數。（ ） 9是奇數也是素數。（ ） 一個自然數（0除外），如果不是素數就是合數。（ ）（2）最小的自然數是（ ），最小的素數是（ ），最小的合數是（ ）

10、，最小的奇數是（ ）。10以內的素數有（ ），合數有（ ）。20以內既是合數又是奇數的數有（ ）。50以內最大的質數及最小的合數乘積是（ ）。有兩個數都是質數，這兩個數的和是8，兩個數的積是15，這兩個數是（ ）和（ ）。既不是質數，又不是偶數的最小自然數是（ ）；既是質數，又是偶數的最小自然數是（ ）；既是奇數，又是質數的最小自然數是（ ）；既是偶數，又是合數的最小自然數是（ ）。既是奇數又是合數的最小自然數是（ ）。一個四位數，千位上既不是質數也不是合數，百位上是最小的合數，十位上是最小的質數，個位上既是奇數又是合數，這個數是（ ）。一個合數至少有（ ）個因數。一個三位數既有因數2，又是5

11、的倍數，百位上是最小的質數，十位上是最大的一位奇數，這個數是（ ）。（3）在括號里填上合適的素數（質數）。8=（ ）+（ ） 9=（ ）+（ ） 12=（ ）+（ ）15=（ ）+（ ） 18=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ）七、質因數及分解質因數1、如果一個數的因數是質數，這個因數就是它的質因數。· 1沒有質因子。· 5只有1個質因子，5本身。（5是質數。）· 6的質因子是2和3。(6 = 2 × 3)· 2、4、8、16等只有1個質因子：2（2是質數，4 = 2，8 = 2，如此類推。）· 10有2個質因子：2和5。(10 =

12、 2 × 5)2、把一個合數用質數相乘的形式表示出來，叫作分解質因數。方法：短除法或塔形分解法。練習：（1）先找出下面的合數，再把它們分解質因數。11 20 36 49 53 72（2）下面的式子，（ ）是分解質因數。A、54=2×3×9 B、42=2×3×7 C、15=3×5×1 D、20=4×5（3）兩個質數的和是22，積是85，這兩個質數是（ ）和（ ）。（4）一個三位數，它的個位上是最小的質數，十位上是最小的合數，百位上是最小的奇數，這個三位數是（ ），它同時是質數（ ）和（ ）的倍數。八、公因數及最大公因

13、數幾個數公有的因數叫作這幾個數的公因數。方法：找出小數的因數，在小數的因數中篩選大數的因數。例1：找出下面每組數的最大公因數。6和15 8和16 1和20 30和6 8和9 9和25. 注意：1、公因數的個數是有限的。2、幾個數的公因數中最大的一個，叫作這幾個數的最大公因數。最大公因數只有1個。3、不同的兩個數至少有1個公因數1。4、用短除法可以找出最大公因數，共有的質因數的積就是最大公因數。練習：（1）25和40的因數，公因數分別填在下面的圈里。 25的因數 40的因數 （2）在每個分數后面的括號中寫上 分子、分母的最大公因數。 25和40的公因數 （ ） （ ）例2、找出每組數的最大公因數

14、。A：5和15 8和16 10和20 3和9發現：倍數關系，最大公因數是小數。反之，最大公因數是小數，這兩個數就是倍數關系。B、9和7 1和7 11和12 3和11發現：互質關系，最大公因數是1.反之，最大公因數是1，這兩個數就互質。當兩個數的公因數或最大公因數是1時，我們就說這兩個數互質。練習：（1）寫出下面每組數的最大公因數。12和24（ ）；18和19（ ）；5和17（ ）；14和42（ ）；8和9（ ）；11和4（ ）；12和6（ ）；6和8（ ）；13和39（ ）；35和7（ ）。（2）一個數既是12的因數又是18的因數，這個數最大是（ ）。 4A=B(A、B0)，A和B的最大公因數

15、是（ ）。 如果a=2×3×5，b=2×3×7，那么a和b的最大公因數是（ ）。（3）判斷：兩個合數的最大公因數不可能是1.（ ） 兩個數的公因數一定比這兩個數小。（ ） 3和4沒有公因數。（ ） A是B的倍數，那么A、B的最大公因數是A。（ ） 兩個數的公因數一定是這兩個數的因數。（ ）例3、(1)王先生準備將家里的貯藏室鋪上地板。貯藏室長16分米，寬12分米，如果都使用整塊的地磚，可以選擇邊長是幾分米的地磚？邊長最大是幾分米？ 在一張長40厘米，寬32厘米的長方形鐵皮上剪同樣大小且面積最大的正方形，不能有剩余，剪出的正方形邊長是多少厘米？ 在一間長6

16、米、寬4米的教室里鋪同樣大小的正方形地板，已知市場上有邊長6分米和5分米的正方形地磚，選哪種型號比較合適？為什么？（2）兩根彩帶，一根長15厘米，另一根長20厘米，把它們剪成同樣長的小段，沒有剩余，每小段最長多少厘米？ 兩根鐵絲，一根16厘米，一根28厘米，把它們剪成同樣長的小段，沒有剩余，每小段最長多少厘米？（3）趙阿姨買回一條50分米長的紅彩帶和一條43分米長的綠彩帶，分別把它們裁成同樣長的小段，結果紅彩帶剩余2分米，綠彩帶剩余3分米。所裁成的小段最長是多少分米？分別能裁成多少段這樣長度相等的小段？（4）五（2）班男生30人，女生25人，把它們分成若干小組，如果每組中男生人數相同，女生人數

17、也相同，最多可以分成幾個小組？每組中的男生和女生各多少人？（5）有36支鉛筆和40本練習本平均獎給幾個三好學生，結果鉛筆多1支，練習本多2本，得獎的三好學生至少有多少人？（6）按要求寫出兩個數，使最大公因數是1兩個數都是合數：（ ）和（ ）兩個數都是奇數：（ ）和（ ）一個偶數和一個奇數：（ ）和（ ）九、公倍數及最小公倍數幾個數公有的倍數叫作這幾個數的公倍數。方法：先寫出較大的數的倍數，再從中找出哪些也是較小數的倍數。例1、3和4的公倍數有哪些？其中最小的是幾？注意：1、公倍數的個數是無限的，所以在沒有限制的條件下在后面要加省略號。2、幾個數的公倍數中最小的一個叫做這個數的最小公倍數。最小公

18、倍數只有1個。3、找最小公倍數可以用短除法，所有質因數的積就是這兩個數的最小公倍數。練習：找出下面每組數的最小公倍數和最大公因數。10和4 6和8 5和10 4和9 12和10 16和44、兩個數的最大公因數和最小公倍數的積等于這兩個數的積。例2、找出下列每組數的最小公倍數，你發現了什么？（1）5和6 11和8 3和4 7和4發現：互質關系，最小公倍數是這兩個數的積。反之，最小公倍數是積，這兩個數互質。（2）3和6 7和21 4和8 1和10發現：倍數關系，最小公倍數是大數。反之最小公倍數是大數，這兩個數是倍數關系。練習：（1）找出下列每組數的最小公倍數（注意利用互質和倍數關系快速計算，或用短除法）3和7 13和39 5和22 4和12 2和16 12和48 9和47和14 14和56 77和44 24和36 （2）判斷：兩個不同合數的最小公倍數一定不是這兩個數的乘積。（ ） 兩個不同素數的最小公倍數一定是這兩個數的乘積。（ ） 兩個數的最小公倍數一定比這兩個數都大。（ ） 兩個數的公倍數的個數是無限的，公因數的個數是有限的。（ ） 如果A÷B=7，那么A，B的最小