1、函數奇偶性與單調性的綜合應用 專題【寄語：親愛的孩子，將來的你一定會感謝現在拼命努力的自己！】教學目標：1.掌握函數的單調性與奇偶性的概念以及基本性質；. 2.能綜合運用函數的單調性與奇偶性來分析函數的圖像或性質； 3.能夠根據函數的一些特點來判斷其單調性或奇偶性.教學重難點：函數單調性的證明；根據單調性或奇偶性分析函數的性質.【復習舊識】1. 函數單調性的概念是什么？如何證明一個函數的單調性？2. 函數奇偶性的概念是什么？如何證明一個函數的奇偶性？3. 奇函數在關于原點對稱的區間上，其單調性有何特點？偶函數呢？【新課講解】一、常考題型1. 根據奇偶性與單調性，比較兩個或多個函數值的大小；2.

2、 當題目中出現“0（或0）”或“0（或0）”時，往往還是考察單調性；3. 證明或判斷某一函數的單調性；4. 證明或判斷某一函數的奇偶性；5. 根據奇偶性與單調性，解某一函數不等式（有時是“0（或0）”時的取值范圍）；6. 確定函數解析式或定義域中某一未知數（參數）的取值范圍.二、常用解題方法1. 畫簡圖（草圖），利用數形結合；2. 運用奇偶性進行自變量正負之間的轉化；3. 證明或判斷函數的單調性時，有時需要分類討論.三、誤區1. 函數的奇偶性是函數的整體性質，與區間無關；2. 判斷函數奇偶性，應首先判斷其定義域是否關于原點對稱；3. 奇函數若在“”處有定義，必有“”；4. 函數單調性可以是整體

3、性質也可以是局部性質，因題而異；5. 運用單調性解不等式時，應注意自變量取值范圍受函數自身定義域的限制.四、函數單調性證明的步驟：（1） 根據題意在區間上設 ；（2） 比較大小 ；（3） 下結論 . 函數奇偶性證明的步驟：（1）考察函數的定義域 ；（2）計算 的解析式，并考察其與 的解析式的關系；（3）下結論 .【典型例題】例1 設是定義在(，)上的偶函數，且它在0，)上單調遞增，若，則，的大小關系是()ABCD【考點】函數單調性；函數奇偶性，對數函數的性質.【解析】因為log<log22， 0<log<log1，所以log<log<2.因為f(x)在0，)上單調

4、遞增，所以f(log)<f(log)<f(2)，因為f(x)是偶函數，所以f(log)f(log)，f(log)f(log)，f(2)所以.【答案】C例2 （2014成都一模）已知f（x）是定義在1，1上的奇函數，且f （1）=1，若m，n1，1，m+n0時有0（1）判斷f （x）在1，1上的單調性，并證明你的結論；（2）解不等式：f（x+）f（）；（3）若f（x）t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，求實數t的取值范圍【考點】 函數的奇偶性；函數單調性的判斷與證明；函數的最值與恒成立問題【解析】解：（1）任取1x1x21，則f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=1

5、x1x21，x1+（x2）0，由已知0，又x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x）在1，1上為增函數；（2）f（x）在1，1上為增函數，故有（3）由（1）可知：f（x）在1，1上是增函數，且f（1）=1，故對xl，1，恒有f（x）1所以要使f（x）t22at+1，對所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0成立即g（a）=t22at對a1，1，g（a）0恒成立，只需g（a）在1，1上的最小值大于等于零故g（1）0，且g（1）0，解得：t2或t=0或t2【點評】本題主要考查單調性和奇偶性的綜合應用及函數最值、恒成立問題的轉化化歸思想 【課堂練習】一、選擇題1.函

6、數y2|x|的單調遞增區間是()A(，) B(，0C0，) D(0，)2已知f(x)是定義在R上的偶函數，它在0，)上是減函數，如果f(lgx )>f(1)，那么x的取值范圍是()A(，1) B(0，)(1，)C(，10) D(0,1)(10，)3.下列函數中既是奇函數，又在定義域上是增函數的是()Ay3x1 Bf(x)Cy1 Df(x)x34.如圖是偶函數yf(x)的局部圖像，根據圖像所給信息，下列結論正確的是()Af(1)f(2)>0 Bf(1)f(2)0Cf(1)f(2)<0 Df(1)f(2)<05.定義在R上的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間0，)

7、上的圖像與f(x)的圖像重合，設a>b>0，給出下列不等式：f(b)f(a)>g(a)g(b)；f(b)f(a)<g(a)g(b)；f(a)f(b)>g(b)g(a)；f(a)f(b)<g(b)g(a)其中成立的是_6.設f(x)為定義在(，)上的偶函數，且f(x)在0，)上為增函數，則f(2)，f()，f(3)的大小順序是()Af()>f(3)>f(2) Bf()>f(2)>f(3)Cf()<f(3)<f(2) Df()<f(2)<f(3)7.已知f(x)是奇函數且對任意正實數x1，x2(x1x2)，恒有&g

8、t;0，則一定正確的是()Af(3)>f(5) Bf(5)>f(3)Cf(5)>f(3) Df(3)>f(5)8定義在R上的偶函數f(x)在0，)上是增函數，若f(a)<f(b)，則一定可得()Aa<b Ba>bC|a|<|b| D0a<b或a>b09.若偶函數f(x)在(，0)內單調遞減，則不等式f(1)<f(lgx)的解集是()A(0,10) B.C. D.(10，)二、選擇題10.若奇函數f(x)在區間3,7上是增函數，在區間3,6上的最大值為8，最小值為1，則2f(6)f(3)的值為_.11若函數f(x)是R上的偶函數，

9、且在0，)上是減函數，則滿足f()<f(a)的實數a的取值范圍是_三、解答題12.已知函數f(x)x22|x|1，3x3.(1)證明：f(x)是偶函數；(2)指出函數f(x)的單調區間；(3)求函數的值域13.定義在2,2上的偶函數f(x)在區間0,2上是減函數，若f(1m)<f(m)求實數m的取值范圍14.已知函數f(x)ax2bx3ab為偶函數，其定義域是a1,2a，求f(x)的值域15.(1)已知yf(x)是定義在R上的奇函數，且在R上為增函數，求不等式f(4x5)>0的解集；(2)已知偶函數f(x)(xR)，當x0時，f(x)x(5x)1，求f(x)在R上的解析式16

10、.(本小題滿分12分)設函數yf(x)的定義域為R，并且滿足f(xy)f(x)f(y)，f1，當x>0時，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判斷函數的奇偶性；(3)如果f(x)f(2x)<2，求x的取值范圍參考答案BCDCADCD5.答案解析f(a)f(a)，g(6.b)g(b)，a>b>0，f(a)>f(b)，g(a)>g(b)f(b)f(a)f(b)f(a)g(b)g(a)>g(a)g(b)g(a)g(b)，成立又g(b)g(a)g(b)g(a)，成立10.答案1511.答案(，)解析若a0，f(x)在0，)上是減函數，且f()<

11、;f(a)，得a<.若a<0，f()f(), 則由f(x)在0，)上是減函數，得知f(x)在(，0上是增函數由于f()<f(a)，得到a>，即<a<0.由上述兩種情況知a(，)12.解析(1)略(2)f(x)的單調區間為3，1，1,0，0,1，1,3(3)f(x)的值域為2,213.解析f(x)為偶函數，f(1m)<f(m)可化為f(|1m|)<f(|m|)，又f(x)在0,2上是減函數，|1m|>|m|，兩邊平方，得m<，又f(x)定義域為2,2，解之得1m2，綜上得m1，)14.解f(x)ax2bx3ab是定義在區間a1,2a上的偶函數，f(x)x21.f(x)x21在上的值域為.15.解(1)yf(x)在R上為奇函數，f(0)0.又f(4x5)>0，即f(4x5)>f(0)，又f(x)為增函數，4x5>0，x>.即不等式f(4x5)>0的解集為.(2)當x<0時，x>0，f(x)x(5x)1，又f(x)f(x)，f(x)x(5x)1.f(x)16.解(1)令xy0，則f(0)f(0)，f(0)0.(2)令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故函數f(x)是R上的奇函數