1、第第9 9章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 9.1-9.1-9.39.3拉普拉斯變換；拉普拉斯變換； 拉普拉斯變換收斂域；拉普拉斯變換收斂域； 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換2022-3-15信號與系統第17講2n采樣概念采樣概念n連續信號到離散序列的轉換連續信號到離散序列的轉換n采樣定理采樣定理n采樣的頻率大于信號的最高頻率兩倍采樣的頻率大于信號的最高頻率兩倍n連續信號的恢復連續信號的恢復n零階插值、一階插值、帶限內插零階插值、一階插值、帶限內插n欠采樣欠采樣n混疊現象，相位倒置，取樣示波器混疊現象，相位倒置，取樣示波器n連續時間信號的離散處理連續時間信號的離散處理n離散序列消除了采樣間隔的量綱

2、，是對以連續方式表達的采樣信號離散序列消除了采樣間隔的量綱，是對以連續方式表達的采樣信號的歸一化處理的歸一化處理n離散時間序列的采樣離散時間序列的采樣n整數倍的采樣，序列的抽取整數倍的采樣，序列的抽取-減采樣，序列的擴充減采樣，序列的擴充-增采樣增采樣2022-3-15信號與系統第17講3n傅里葉變換對連續時間信號的分析傅里葉變換對連續時間信號的分析n將信號表示為復指數信號的線性組合將信號表示為復指數信號的線性組合n如果如果s不是純虛數，是普通復數，傅里葉變換可行嗎？不是純虛數，是普通復數，傅里葉變換可行嗎？n在傅里葉變換中，對信號有個絕對可積的要求在傅里葉變換中，對信號有個絕對可積的要求n不

3、滿足絕對可積條件的信號要想利用傅里葉變換怎么辦？不滿足絕對可積條件的信號要想利用傅里葉變換怎么辦？n傅里葉變換對系統的頻率響應有很便捷的分析傅里葉變換對系統的頻率響應有很便捷的分析n但是都是限于穩定系統的分析，非穩定系統的頻率響應怎么辦？但是都是限于穩定系統的分析，非穩定系統的頻率響應怎么辦？n如果能分析非穩定系統，那么能不能分析系統的穩定性如果能分析非穩定系統，那么能不能分析系統的穩定性n拉普拉斯變換將面對上述問題進行討論拉普拉斯變換將面對上述問題進行討論n對不滿足絕對可積信號的變換對不滿足絕對可積信號的變換n對非穩定系統的頻域分析對非穩定系統的頻域分析n對系統穩定性的分析對系統穩定性的分析

4、n更簡便的運算更簡便的運算,ste sj2022-3-15信號與系統第17講4n拉普拉斯變換的引入拉普拉斯變換的引入( )LTI( )( ), ( )( )stststh tey tH s eH sh t edt一個單位沖激響應為的系統，對的響應其中：,()( )( ), ( )( )( )j tstsjH jh t edth tsjH sh t edth t為純虛數的時候，為的傅里葉變換為一般復數時，稱為的拉普拉斯變換( ) ( )( )stx tX sx t edt定義信號的拉普拉斯變換為:( )( ) ( )( )x tX sx tX s拉普拉斯變換的標注： =或者 LL( )( )sj

5、X sx t傅里葉變換與拉普拉斯變換： = F()()( )()( )( )j tjttj tX jx t edtjjXjx t edtx t eedt對傅里葉變換：，用替換拉普拉斯變換可拉普拉斯變換可看成信號與指數看成信號與指數函數相乘后再進函數相乘后再進行的傅里葉變換行的傅里葉變換拉普拉斯變換表達式拉普拉斯變換表達式2022-3-15信號與系統第17講5n拉普拉斯變換舉例拉普拉斯變換舉例01( )( ),0()atatj tx teu taX jeedtaj有信號 其傅里葉變換在時收斂：=()00atsta s teedtedt信號的拉普拉斯變換：()0()()atj tatXjeedte

6、如果用傅里葉變換表示：可以看成為信號的傅里葉變換1() 0()Xjaaj，1( ) 1( ) atX ssasaeu tsasa 用拉普拉斯變換表示：，標注為：，R eLR e0,( )1( ) 0au tu tss得單位階躍函數的拉普拉斯變換為：，LR e 0,( )00 sasaaX sasa 拉普拉斯變換并非對任何函數都收斂收斂，不收斂若在等同傅里葉變換傅里葉變換不存在，但只要，拉普拉斯變換存在R eR eR e2022-3-15信號與系統第17講6n拉普拉斯變換收斂域拉普拉斯變換收斂域( )()atx teut 考慮信號 ，求其拉普拉斯變換00()1( ), 0 atsta s tX

7、seedtedtassaas 或 R eR e1() ateutsasa 標注為：-，LR e1( )-(- )( ) ( ) atatatateu teu tsaeu tsaeu tsa 不同的時域函數和，有相同的拉普拉斯變換但收斂域不同，對應而對應R eR esROC確定拉普拉斯變換應包含兩方面：代數表達式和收斂域收斂域（）：拉普拉斯變換積分收斂的 取值范圍R eImS平面aR eImS平面a( )ateu t收斂域()ateut收斂域2022-3-15信號與系統第17講7n拉普拉斯變換收斂域舉例拉普拉斯變換收斂域舉例（實指數函數之和的拉普拉斯變換）（實指數函數之和的拉普拉斯變換）2( )

8、3( )2( )ttx teu te u t考慮信號 ，求其拉普拉斯變換20200( )32323221ttsttsttstX seeedteedte edtss21( ) 221( ) 11tteu tsse u tss 對于，收斂域對于，收斂域R eR eLLR eImS平面1 1s 能保證兩項都收斂的應該是它們的公共收斂域：R e2213( )2( ) 122ttseu te u tsss 綜合得到：，R eL2022-3-15信號與系統第17講8n拉普拉斯變換收斂域舉例拉普拉斯變換收斂域舉例（實指數和復指數之和的拉普拉斯變換）（實指數和復指數之和的拉普拉斯變換）2( )( )(cos3

9、 ) ( )ttx teu tet u t考慮信號 ，求其拉普拉斯變換2(1 3 )(1 3 )00011( )322tstj tstj tstX seedteedteedt(1 3 )(1 3 )1( ) 11 31( ) 11 3j tj teu tsjseu tsjs ，R eR eLLR eImS平面111111( ) 1221 321 3X sssjsjs 綜合得到：，R e2(1 3 )(1 3 )( )(1/2)(1/2)( )tj tj tx teeeu t由歐拉公式得到：21( ) 22teu tss ，R eL2222512( )(cos3 ) ( ) 1(2)(210)t

10、tsseu tet u tssss ，R eL2022-3-15信號與系統第17講9n拉普拉斯變換的零極點圖拉普拉斯變換的零極點圖n一個有理的拉普拉斯變換式，可表示為復變量一個有理的拉普拉斯變換式，可表示為復變量s的兩個多項式之比的兩個多項式之比n數學上保證，只要數學上保證，只要x(t)是實函數或復指數函數線性組合，是實函數或復指數函數線性組合，X(s)為有理的為有理的n一個多項式一個多項式N(s)或或D(s)，如果由其根來表示，只相差一個常數，如果由其根來表示，只相差一個常數nN(s)的根使得的根使得X(s)等于等于0，稱為，稱為X(s)的零點，作圖用的零點，作圖用O表示表示nD(s)的根使

11、得的根使得X(s)無窮大，稱為無窮大，稱為X(s)的極點，作圖用的極點，作圖用X表示表示n用用X(s)的極點和零點來表示的極點和零點來表示X(s)，只相差一個常數，只相差一個常數nx(t)的拉普拉斯變換用的拉普拉斯變換用X(s)的極點和零點以及的極點和零點以及ROC表示，只差一個常數表示，只差一個常數222( )(cos3 ) ( )2512 1(2)(210)tteu tet u tssssss ，R eL( )( )( )N sX sD s2232( )1 122tteeu tssss ，R eLR eI mS平 面121R eI mS平 面1212022-3-15信號與系統第17講10n

12、無限遠點的零極點無限遠點的零極點( )( )( )( )( )( )( )N sX sD sN sD ssX sX s對于：如果的階數高于，當，。在無窮遠點有極點( )( )( )0( )D sN ssX sX s 如果的階數高于，當，。在無窮遠點有零點( )( )( )( )( )( )D sN s kX skN sD s kX sk若的階數高于階，在無窮遠點有 階零點若的階數高于階，在無窮遠點有 階極點222( )(cos3 ) ( )2512 1(2)(210)tteu tet u tssssss ，R eL( )X s 在無窮遠點有1階零點2232( )1 122tteeu tssss

13、 ，R eL( )X s 在無窮遠點有1階零點2022-3-15信號與系統第17講11n拉普拉斯變換零極點分析舉例拉普拉斯變換零極點分析舉例241( )( )( )( )33ttx tte u te u t考慮信號 ，求其拉普拉斯變換20041( )( )33sttsttstX st edte edte edt21( ) 111( ) 22tte u tsse u tss ，R eR eLL4111( )1 2313 2X ssss 綜合得到：，R e( )1 ts ，R eL2241(1)( )( )( ) 233(2)(1)ttste u te u tsss，R eLR eI mS平 面1

14、21,0( )sjsjX s拉普拉斯變換為傅里葉變換，即，不收斂傅里葉變換不存在2022-3-15信號與系統第17講121( )X sROCsj性質：的在 平面內由平行于軸的帶狀區域所組成( )X sROC說明：在極點處為 不收斂，顯然極點不在中ROC性質2：對有理拉普拉斯變換來說，內不包括任何極點( )( )( ),ttX sx t ex t eROCjROCj說明：源于對做傅里葉變換，絕對可積，則傅里葉變換存在，而絕對可積的 區域為拉普拉斯變換。s=所以為平行軸的帶狀區( )x tROC性質3：如果為有限持續期，并且絕對可積，那么就是整個平面21211,2( ) ( )( )( )TTtT

15、tTx tx t dtT Tex t edtx tROCs 說明：絕對積分則：而在區間，無論 取什么值，都是有界的所以積分 ， 而的也就是整個 平面( ),0,( )0),atx tetTtx t 為其他值求其拉普拉斯變換()01( )1Tatstsa TX seedtesa()()()1/s a Tsas a TsaXadedsd sadsTeTsa 是否為極點？2022-3-15信號與系統第17講1300( ) ROC ROCx tsss性質4：如果是右邊信號，而如果這條線在內，那么，的所有 值都在內。R eR e01010111101,010( )Re ,( )( )Re tTttttT

16、TTROCx t edtTseex t edtx t edtssROC 說明： 右邊信號從 到無窮大，如果在內，則積分 ， 在區間，對所有的 ，有： 所以 。 的 在內00( ) ROC ROCx tsss性質5：如果是左邊信號，而如果這條線在內，那么，的所有 值都在內。R eR e20012201202010( ),Re ,( )( )Re TtttTTttTROCx t edtTseex t edtx t edtssROC 說明： 左邊信號從負無窮大到 ，如果在內，則積分 ， 在區間(，對所有的，有： 所以 。 的 在內T1如果小于0，怎樣解釋？2022-3-15信號與系統第17講14(

17、),00btx tebhb和如圖所示，求拉普拉斯變換006( ) x tsROCROCss性質 ：如果是雙邊信號，而如果這條線在內，那么，就一定是由 平面的一條帶狀區域組成，直線位于帶中R eR eR eImS平面rR eImS平面lR eImS平面rl( )( )()1( ) 1() btbtbtbtx teu te uteu tsbbse utsbbs ，LLR eR e0ROC 0ROCbbsbb若，左右邊信號存在公共區間，若，左右邊信號沒有公共區間，信號不收斂 R e22112( )() btbtbeu te utbsbbsbssb+=，LR eR eImS平面bb0T說明： 雙邊信號

18、可以看成從 處分開的左邊信號和右邊信號之和。ROCr右邊信號在右半平面，收斂邊界為,ROCl左邊信號在左半平面，收斂邊界為,ROC,ROClrrl雙邊信號是左邊信號和右邊信號的公共ROC若則信號收斂，為,2022-3-15信號與系統第17講157( )( )( )x tX sROCROCX s性質 ：如果的拉普拉斯變換是有理的，那么它的是被極點所界定或延伸到無限遠。另外，在內，不包含的任何極點。8( )( )x tX s性質 ：如果的拉普拉斯變換是有理的，若x(t)是右邊信號，則ROC在s平面上位于最右邊極點的右邊；若x(t)是左邊信號，則ROC在s平面上位于最左邊極點的左邊。1( )(1)(

19、2)X sss有拉普拉斯變換表達式，通過定義收斂域，該表達式代表幾種信號？哪些信號存在傅里葉變換？R eImS平面2 1 R eImS平面2 1 R eImS平面2 1 包含虛軸，包含虛軸，存在傅里葉變換存在傅里葉變換2022-3-15信號與系統第17講16n反變換定義反變換定義n根據傅里葉變換和拉普拉斯變換之間的關系根據傅里葉變換和拉普拉斯變換之間的關系()( )()( )( )1( )()2jttj ttj tX sXjx t edtx t eedtx t eXjed()11( )()()221 ( )( )2tj tjtjstjx tXje edXjedsjx tX s e dsj 變量

20、替換：有： 這是一個復變函數的積分問題，通過引入輔助線轉化為圍線積分，可以用留數計算的方法來簡化計算。對于X(s)為有理代數式情況，可以用部分分式法求解2022-3-15信號與系統第17講171( )miiiAX ssan部分分式求解部分分式求解n對于對于X(s)為有理式，假設分母多項式的階數高于分子多項式的階數為有理式，假設分母多項式的階數高于分子多項式的階數， X(s)總可以展開為：總可以展開為：n反變換根據反變換根據ROC不同可以有兩種可能的結果不同可以有兩種可能的結果-( )-()iia tiia tiiROCsaAeu tROCsaAeut若位于極點的右邊，反變換的結果為：是右邊信號

21、若位于極點的左邊，反變換的結果為：是左邊信號1( )( )(1)(2) 1; 2 2; 3 1; X sx tsssss 拉普拉斯變換表達式，根據不同的收斂域，求其反變換。1.-2R eR eR eR eI mS平 面2 1 R eI mS 平 面2 1 R eI mS平 面2 1 2022-3-15信號與系統第17講181( ) ( )(1)(2)12ABX sX sssss對 進行部分分式展開12(1)( )1 (1)( )1ssAsX sAsX s 11( )12X sss221( ) 111( ) 221( ) 1(1)(2)tttte u tsseu tsseeu tsss 第一種情

22、況，LLLR eR eR e221() 111() 221() 2(1)(2)tttte utsseutsseeutsss 第二種情況，LLLR eR eR e2211() 1 ( ) 2121()( ) 1(1)(2)tttte utseu tssse uteu tsss 第三種情況，-2LLLR eR eR e2022-3-15信號與系統第17講19本講小結本講小結n拉普拉斯變換拉普拉斯變換n拉普拉斯變換與傅里葉變換拉普拉斯變換與傅里葉變換n將將j替換為替換為+ jn增加增加的意義的意義n傅里葉變換應用的拓展傅里葉變換應用的拓展n拉普拉斯變換收斂域拉普拉斯變換收斂域n取值決定變換存在取值決

23、定變換存在n變換存在的變換存在的取值為收斂域取值為收斂域n同一拉普拉斯變換結果對應不同信號（左邊、右邊、雙邊）同一拉普拉斯變換結果對應不同信號（左邊、右邊、雙邊）n拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換n反變換的定義反變換的定義n反變換的計算反變換的計算n極點與收斂區位置的判斷，決定信號的類型（左邊、右邊、雙邊）極點與收斂區位置的判斷，決定信號的類型（左邊、右邊、雙邊）n部分分式計算方法部分分式計算方法9.21(a)(d)(g)(j)9.21(a)(d)(g)(j)2022-3-15信號與系統第17講212022-3-15信號與線性系統第10講21n1、反變換求取的數學手段、反變換求取的數學手段n依據反

24、變換公式，這是復變函數廣義積分問題依據反變換公式，這是復變函數廣義積分問題n使用復變函數中圍線積分和留數定理來解決使用復變函數中圍線積分和留數定理來解決n如函數是有理函數，也可通過部分分式展開的方如函數是有理函數，也可通過部分分式展開的方式來求解。式來求解。2022-3-15信號與系統第17講222022-3-15信號與線性系統第10講22n設設F(s)為有理函數，它可由兩個為有理函數，它可由兩個s的多項式之比來表示。的多項式之比來表示。n式中式中ak，bk為實數，為實數，m 及及 n 為正整數。為正整數。n一般一般 m n ，取，取a n=1。n如如m n 時，應化為真分式，再分解為部分分式

25、，時，應化為真分式，再分解為部分分式，n例如例如n用長除法，可得用長除法，可得n前面兩項反變換前面兩項反變換 L -15= 5 (t) , L -13s=3 (t)01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmmF(s) =3s3-2s2-7s+1s2+s-1s2+s-13s3-2s2-7s+13s3s3+3s2-3s-5s2-4s+1-5-5s2-5s+5s-4F(s) = 3 s 5 +s- 4s2+s-12022-3-15信號與系統第17講232022-3-15信號與線性系統第10講23n（1）m 0 )2jtjttjjFssjsjjejeettLL2

26、22222211( )25(1)2(1)2(1)2sssF ssssss1( )(2 cos 2sin 2 ) (t0)2tftett2022-3-15信號與系統第17講302022-3-15信號與線性系統第10講30n（2）m 0L -1232112132132143121312132132)()(32222022-3-15信號與系統第17講352022-3-15信號與線性系統第10講35n解：解：nD(s)=0有有4個根個根,一二重根一二重根 s1= 0, 一對共軛根一對共軛根 s2= +j2, s3=-j2。將將F(s)展開展開 ，并令，并令s2 = w ，得，得)4(31)(22sss

27、F411)4(144141)4(1)()(431)4(31)4(31)()(4420012122wwwwsskwwwwAwwwwsDsNssAwAwAwwsssDsNk)2(2211121)4(4224131)4(414131)4(414131431)()(222222221sssssswwwAwAsDsN122111sin 23(4 )1 22ttssLt02022-3-15信號與系統第17講362022-3-15信號與線性系統第10講36n拉普拉斯反變換積分拉普拉斯反變換積分n可以采用留數定理計算的積分可以采用留數定理計算的積分n圍線積分的幾何說明圍線積分的幾何說明n復平面任意閉合曲線積分等于圍線內被積函數復平面任意閉合曲線積分等于圍線內被積函數所有極點的留數之和乘以所有極點的留數之和乘以2jn補充積分路徑的說明補充積分路徑的說明n補充曲線與反變換積分路徑一起形成閉合曲線，補充曲線與反變換積分路徑一起形成閉合曲線，從而可以