1、1棱柱、棱錐的概念和性質棱柱、棱錐的概念和性質要點梳理要點梳理1.1.棱柱、棱錐的定義棱柱、棱錐的定義平行平行平行平行多邊形多邊形有一個公共頂有一個公共頂點點2兩個側面的公共邊兩個側面的公共邊互相平行的面互相平行的面側面與底面的公共側面與底面的公共頂點頂點 各側面的公共頂點各側面的公共頂點兩個底面所在平面兩個底面所在平面的公垂線段的公垂線段 頂點到底面所在平面的頂點到底面所在平面的垂線段垂線段多邊形多邊形32.2.棱柱、棱錐的性質棱柱、棱錐的性質平行四邊形平行四邊形三角形三角形與底面全等的與底面全等的多邊形多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的多邊形43.3.四棱柱的一些常用性質四棱柱的一些常用

2、性質 （1 1）平行六面體的四條對角線）平行六面體的四條對角線 且在且在 ； （2 2）直棱柱的）直棱柱的 與高相等，直棱柱的與高相等，直棱柱的 及及 過過 的截面都是矩形，直棱柱的側的截面都是矩形，直棱柱的側 面與面與 垂直；垂直； （3 3）正四棱柱與正方體的底面都是）正四棱柱與正方體的底面都是 ，正方，正方 體的側面和底面都是體的側面和底面都是 ； （4 4）長方體的）長方體的 等于同一個頂等于同一個頂 點上三條棱長的點上三條棱長的 . .交于一點交于一點該點該點互相平分互相平分側棱長側棱長側面側面不相鄰兩條側棱不相鄰兩條側棱底面底面正方形正方形正方形正方形一條對角線長的平方一條對角線長

3、的平方平方和平方和5若長方體的一條對角線與過同一個頂點的三條棱所若長方體的一條對角線與過同一個頂點的三條棱所成角分別為成角分別為、，則，則coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2= = ；若長方體的一條對角線與過同一個頂點的三個面所若長方體的一條對角線與過同一個頂點的三個面所成角分別為成角分別為、，則，則coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2= = . .1 12 264.4.正棱錐是棱錐的特殊情形，是棱錐的主要研究正棱錐是棱錐的特殊情形，是棱錐的主要研究 對象對象 (1)(1)定義：定義： 底面是底面是 ，并且頂點在底面上的射影是底，并且頂點在底

4、面上的射影是底 面的面的 ，這樣的棱錐叫做，這樣的棱錐叫做 . . (2) (2)性質：性質： 側面是側面是 ，與底面所成二面角，與底面所成二面角 均均 ； 側棱均側棱均 ，側棱與底面所成的角均，側棱與底面所成的角均 ； 平行于底面的截面也是平行于底面的截面也是 ；縱截面是；縱截面是 ； 正棱錐中的基本元素：側棱、斜高、高、底面正棱錐中的基本元素：側棱、斜高、高、底面 外接圓半徑、底面內切圓半徑外接圓半徑、底面內切圓半徑. .正多邊形正多邊形中心中心正棱錐正棱錐全等的等腰三角形全等的等腰三角形相等相等相等相等相等相等正多邊形正多邊形等等腰三角形腰三角形75.5.體積公式體積公式 （1 1）柱體

5、體積公式為）柱體體積公式為V V= = ，其中，其中 為底面面為底面面 積，積， 為高為高; ; （2 2）錐體體積公式為）錐體體積公式為V V= = ，其中，其中 為底面面為底面面 積，積， 為高為高. .6.6.側面積與全面積側面積與全面積 （1 1）棱柱的側面積是各側面）棱柱的側面積是各側面 ，直棱柱的，直棱柱的 側面積是底面周長與側面積是底面周長與 ；棱錐的側面積是各；棱錐的側面積是各 側面側面 ，正棱錐的側面積是底面周長與，正棱錐的側面積是底面周長與 . . （2 2）全面積等于）全面積等于 與與 之和，即之和，即S S全全= = + + . .ShShh hS SS Sh hSh3

6、1面積之和面積之和高之積高之積面積之和面積之和斜斜高積的一半高積的一半側面積側面積S S側側S S底底底面積底面積8基礎自測基礎自測1.1.以下命題中正確的是以下命題中正確的是 （ ） A.A.有兩個面是對應邊平行的全等多邊形，其他面有兩個面是對應邊平行的全等多邊形，其他面 都是平行四邊形的多面體是棱柱都是平行四邊形的多面體是棱柱 B.B.有一個面是多邊形，其他面都是三角形的多面有一個面是多邊形，其他面都是三角形的多面 體是棱錐體是棱錐 C.C.有三個側面是矩形的棱柱是直棱柱有三個側面是矩形的棱柱是直棱柱 D.D.長方體一定是正四棱柱長方體一定是正四棱柱C92.2.棱柱成為直棱柱的一個必要但不

7、充分條件是（棱柱成為直棱柱的一個必要但不充分條件是（ ） A.A.棱柱有一條側棱與底面垂直棱柱有一條側棱與底面垂直 B.B.棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直 C.C.棱柱有一個側面是矩形，且與底面垂直棱柱有一個側面是矩形，且與底面垂直 D.D.棱柱有兩個側面是矩形，且與底面垂直棱柱有兩個側面是矩形，且與底面垂直B3.3.已知長方體的全面積為已知長方體的全面積為1111，十二條棱長度之和為，十二條棱長度之和為 2424，則這個長方體的一條對角線長為，則這個長方體的一條對角線長為 （ ）6 .D5 .C14.B32 .AC104.4.（20092009陜西文，陜西文

8、，1111）若正方體的棱長為若正方體的棱長為2 2，則以，則以 該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積 為為 （ ） 解析解析 由題意可知，此幾何體是由同底面的兩個由題意可知，此幾何體是由同底面的兩個 正四棱錐組成的，底面正方形的邊長為正四棱錐組成的，底面正方形的邊長為1 1，每一個，每一個 正四棱錐的高為正四棱錐的高為 ，所以，所以32.D33.C32.B62.A22.32221312VB115.5.若一個正三棱柱的高為若一個正三棱柱的高為1 1，體積為，體積為2 2 ，則一條側，則一條側 棱到與它相對的面之間的距離為棱到與它相對的面之間的距離為

9、 （ ） 解析解析 由體積公式由體積公式V V= =ShSh可得底面積為可得底面積為 若設底面三角形的邊長為若設底面三角形的邊長為a a，則有，則有 所所 以以a a=2 =2 ，故側棱到相對面的距離為，故側棱到相對面的距離為36.D3.C2.B1 .A, 32hVS, 32432a2. 623aD12題型一題型一 棱柱、棱錐的概念和性質棱柱、棱錐的概念和性質【例例1 1】 如果四棱錐的四條側棱長都相等，就稱它如果四棱錐的四條側棱長都相等，就稱它 為為“等腰四棱錐等腰四棱錐”，四條側棱稱為它的腰，以下，四條側棱稱為它的腰，以下5 5 個命題中：個命題中： 等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等；等

10、腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等； 等腰四棱錐的側面與底面所成的二面角都相等等腰四棱錐的側面與底面所成的二面角都相等 或互補；或互補； 底面四邊形存在外接圓的四棱錐是等腰四棱錐；底面四邊形存在外接圓的四棱錐是等腰四棱錐； 底面是正方形的四棱錐是等腰四棱錐；底面是正方形的四棱錐是等腰四棱錐； 等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上. . 其中真命題為其中真命題為 （寫出所有真命題的序號）（寫出所有真命題的序號）. .13思維啟迪思維啟迪 結合結合“等腰四棱錐等腰四棱錐”的概念，逐一進行的概念，逐一進行判斷判斷. .解析解析 真真. .因為因為“等腰四棱錐等腰四棱錐”四條

11、側棱長都相四條側棱長都相等，故在底面上的射影長也相等，即頂點在底面上等，故在底面上的射影長也相等，即頂點在底面上的射影是底面四邊形外接圓的圓心，所以腰與底面的射影是底面四邊形外接圓的圓心，所以腰與底面所成的角都相等；所成的角都相等；假假. .如當底面是矩形（不是正方形）時，且頂點在如當底面是矩形（不是正方形）時，且頂點在底面上的射影是底面中心時，這個四棱錐是底面上的射影是底面中心時，這個四棱錐是“等腰等腰四棱錐四棱錐”，但它的側面與底面所成的二面角顯然不，但它的側面與底面所成的二面角顯然不都相等或互補都相等或互補. .故是假命題；故是假命題；假假. .如當底面是正方形時，底面四邊形存在外接如當

12、底面是正方形時，底面四邊形存在外接圓，但頂點在底面上的射影不是底面中心時，這個圓，但頂點在底面上的射影不是底面中心時，這個四棱錐顯然不是四棱錐顯然不是“等腰四棱錐等腰四棱錐”；14假假. .理由同理由同；真真. .因為由因為由知底面存在外接圓，故等腰四棱錐的知底面存在外接圓，故等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上，球心在該棱錐的高上各頂點必在同一球面上，球心在該棱錐的高上. .答案答案 本題要注意本題要注意“等腰四棱錐等腰四棱錐”的定義，并的定義，并會研究其簡單的性質與判定方法會研究其簡單的性質與判定方法. .掌握掌握“側棱都相側棱都相等，則側棱與底面所成的角都相等等，則側棱與底面所成的角都相等”

13、，“側棱都相側棱都相等，則底面多邊形有外接圓等，則底面多邊形有外接圓”，“棱錐各側面三角棱錐各側面三角形的高相等，且頂點在底面上的射影在底面多邊形形的高相等，且頂點在底面上的射影在底面多邊形內，則側面與底面所成的角都相等內，則側面與底面所成的角都相等”等一些常用結等一些常用結論論. . 探究提高探究提高15知能遷移知能遷移1 1 設有以下四個命題：設有以下四個命題： 底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； 底面是矩形的平行六面體是長方體；底面是矩形的平行六面體是長方體； 直四棱柱是直平行六面體；直四棱柱是直平行六面體； 棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，

14、則此棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此 棱錐可能是六棱錐棱錐可能是六棱錐. . 其中真命題的序號是其中真命題的序號是 . . 解析解析 命題命題符合平行六面體的定義符合平行六面體的定義, ,故命題故命題是是 正確的；底面是矩形的平行六面體的側棱可能與正確的；底面是矩形的平行六面體的側棱可能與 底面不垂直底面不垂直, ,故命題故命題是錯誤的；因直四棱柱的底是錯誤的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四邊形面不一定是平行四邊形, ,故命題故命題是錯誤的是錯誤的, ,若六若六 棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊 形形. .由幾何圖形知，若以正六邊形

15、為底面，側棱長由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長 必然要大于底面邊長，故命題必然要大于底面邊長，故命題是錯誤的是錯誤的. .16題型二題型二 棱柱、棱錐中的平行與垂直棱柱、棱錐中的平行與垂直【例例2 2】如圖所示，在直三棱柱】如圖所示，在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACBACB=90=90, ,ABAB=2,=2,BCBC=1,=1, AAAA1 1= .= . （1 1）證明：）證明：A A1 1C C平面平面ABAB1 1C C1 1； （2 2）若）若D D是棱是棱CCCC1 1的中點，在棱的中點，在棱ABAB上是否存在一點上是否存在一點 E

16、E，使，使DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1？證明你的結論？證明你的結論. . （1 1）充分挖掘已知條件，利用線面垂）充分挖掘已知條件，利用線面垂 直的判定定理；直的判定定理； （2 2）利用線面平行的判定定理或面面平行的性質）利用線面平行的判定定理或面面平行的性質 定理定理. .3思維啟迪思維啟迪17證明證明 （1 1）ACBACB=90=90，BCBCACAC. .三棱柱三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1為直三棱柱，為直三棱柱，BCBCCCCC1 1. .ACACCCCC1 1= =C C，BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1. .A A1 1C C

17、平面平面ACCACC1 1A A1 1，BCBCA A1 1C C. .BCBCB B1 1C C1 1，B B1 1C C1 1A A1 1C C. . 在在RtRtABCABC中，中，ABAB=2=2，BCBC=1=1，ACAC= .= .AAAA1 1= = ，四邊形四邊形ACCACC1 1A A1 1為正方形，為正方形，A A1 1C CACAC1 1. .B B1 1C C1 1ACAC1 1= =C C1 1，A A1 1C C平面平面ABAB1 1C C1 1. .（2 2）當）當E E為棱為棱ABAB的中點時，的中點時，DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1. .證明如下：

18、證明如下：3318如圖所示，取如圖所示，取BBBB1 1的中點的中點F F，連結，連結EFEF，FDFD，DEDE，D D，E E，F F分別為分別為CCCC1 1，ABAB，BBBB1 1的中點的中點, ,EFEFABAB1 1. .ABAB1 1平面平面ABAB1 1C C1 1，EFEF平面平面ABAB1 1C C1 1，EFEF平面平面ABAB1 1C C1 1. .同理可證同理可證FDFD平面平面ABAB1 1C C1 1. .EFEFFDFD= =F F，平面平面EFDEFD平面平面ABAB1 1C C1 1. .DEDE平面平面EFDEFD，DEDE平面平面ABAB1 1C C1

19、 1. .探究提高探究提高 在棱錐、棱柱中進行線線、線面、面面在棱錐、棱柱中進行線線、線面、面面的平行與垂直的證明，除了要正確使用判定定理與的平行與垂直的證明，除了要正確使用判定定理與性質定理外，對幾何體本身所具有的性質也要正確性質定理外，對幾何體本身所具有的性質也要正確把握把握. .如正棱錐、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊如正棱錐、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等梯形的使用等. .19知能遷移知能遷移2 2 如圖所示，四棱錐如圖所示，四棱錐P P ABCDABCD的底面是矩形，側面的底面是矩形，側面PADPAD是是 正三角形，且側面正三角形，且側面PADPAD底面底面ABCDABC

20、D， E E為側棱為側棱PDPD的中點的中點. . （1 1）求證：）求證：PBPB平面平面EACEAC； （2 2）求證：）求證：AEAE平面平面PCDPCD. . 解解 （1 1）連結）連結BDBD與與ACAC交于交于O O，連結，連結OEOE， O O, ,E E分別為分別為BDBD，PDPD的中點，的中點， OEOEPBPB，且，且OEOE平面平面EACEAC，PBPB平平 面面EACEAC，PBPB平面平面EACEAC. . （2 2）方法一方法一 ABCDABCD是矩形，是矩形， CDCDADAD. .又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD= =ADAD， 平面平面ABC

21、DABCD平面平面PADPAD，20CDCD平面平面PADPAD. .又又AEAE平面平面PADPAD，CDCDAEAE. .正三角形正三角形PADPAD中，中，E E為為PDPD的中點，的中點，AEAEPDPD. .又又PDPDCDCD= =D D,AEAE平面平面PCDPCD. .方法二方法二 ABCDABCD是矩形，是矩形，CDCDADAD. .又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD= =ADAD，平面平面ABCDABCD平面平面PADPAD，CDCD平面平面PADPAD. .又又CDCD平面平面PDCPDC,平面平面PDCPDC平面平面PADPAD. .正三角形正三角形PAD

22、PAD中，中，E E為為PDPD的中點，的中點，AEAEPDPD. .又平面又平面PDCPDC平面平面PADPAD= =PDPD. .AEAE平面平面PCDPCD. .21題型三題型三 棱柱、棱錐中的角和距離棱柱、棱錐中的角和距離【例例3 3】 如圖所示，四棱錐如圖所示，四棱錐P PABCDABCD的的 底面是邊長為底面是邊長為a a的正方形，側面的正方形，側面PABPAB和和 側面側面PADPAD都垂直于底面都垂直于底面ACAC，且側棱，且側棱PBPB、 PDPD都和底面成都和底面成4545角角. . （1 1）求）求PCPC與與BDBD所成的角；所成的角； （2 2）求）求PCPC與底面與

23、底面ABCDABCD所成角的正切值；所成角的正切值； （3 3）若）若MM、N N分別為分別為BCBC、CDCD的中點，求底面中心的中點，求底面中心 O O到平面到平面PMNPMN的距離的距離. . 在（在（3 3）中，關鍵是確定）中，關鍵是確定O O在平面在平面PMNPMN中中 的射影的位置，故最好能找到過的射影的位置，故最好能找到過O O且垂直于平面且垂直于平面 PMNPMN的平面，而平面的平面，而平面PACPAC正是我們需要的平面正是我們需要的平面. .思維啟迪思維啟迪22解解 （1 1）側面側面PABPAB和側面和側面PADPAD都垂直于底面都垂直于底面ACAC，且兩側面交于且兩側面交

24、于PAPA，PAPA底面底面ACAC. .又又BDBDACAC，BDBDPCPC，即即PCPC與與BDBD所成的角為所成的角為9090. .（2 2）PAPA底面底面ACAC，PCAPCA是是PCPC與底面與底面ACAC所成的角，所成的角，PBAPBA為為PBPB與底與底面面ACAC所成的角所成的角. .在在RtRtPABPAB中，中，PAPA= =ABAB= =a a，ACAC= = a a，（3 3）BDBDACAC, ,BDBDPAPA,BDBD平面平面PACPAC. .又又MNMNBDBD，MNMN平面平面PACPAC. .平面平面PACPAC平面平面PMNPMN. .2.22tanP

25、CA得23設設MNMNACAC= =Q Q，連結，連結PQPQ，則平面則平面PACPAC平面平面PMNPMN= =PQPQ. .作作OHOHPQPQ，垂足為，垂足為H H，則則OHOH平面平面PMNPMN，OHOH的長即為的長即為O O到平面到平面PMNPMN的距離，的距離，作作AGAGPQPQ于于G G. .在在RtRtPAQPAQ中，中，PAPA= =a a, ,42343aACAQ.171731.17173.434aAGOHaPQAQPAAGaPQ24探究提高探究提高 （1 1）解決空間角度問題，應特別注意垂）解決空間角度問題，應特別注意垂直關系直關系. .如果空間角為如果空間角為909

26、0，就不必轉化為平面角來，就不必轉化為平面角來求；（求；（2 2）注意借助輔助平面（如本題中的平面）注意借助輔助平面（如本題中的平面PACPAC），將空間距離轉化為平面距離來求；（），將空間距離轉化為平面距離來求；（3 3）棱）棱錐體積具有自等性，即把三棱錐的任何一個頂點看錐體積具有自等性，即把三棱錐的任何一個頂點看作頂點，相對的面作為底面，利用等積法可求點到作頂點，相對的面作為底面，利用等積法可求點到平面的距離等平面的距離等. .25知能遷移知能遷移3 3 如圖，四棱錐如圖，四棱錐P PABCDABCD中，中， PAPA平面平面ABCDABCD，底面，底面ABCDABCD為直角為直角 梯形，

27、且梯形，且ABABCDCD，BADBAD=90=90， PAPA= =ADAD= =DCDC=2=2，ABAB=4.=4. （1 1）求證：）求證：BCBCPCPC； （2 2）求）求PBPB與平面與平面PACPAC所成的角的正弦值；所成的角的正弦值； （3 3）求點）求點A A到平面到平面PBCPBC的距離的距離. . （1 1）證明證明 在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，因為中，因為ABABCDCD， BADBAD=90=90，ADAD= =DCDC=2=2， 所以所以ADCADC=90=90，且，且ACAC=2 .=2 . 取取ABAB的中點的中點E E，連結，連結CECE，由題意

28、，由題意 可知，四邊形可知，四邊形AECDAECD為正方形，所以為正方形，所以AEAE= =CECE=2.=2.226則則ABCABC為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，所以所以ACACBCBC. .又因為又因為PAPA平面平面ABCDABCD，且，且ACAC為為PCPC在平面在平面ABCDABCD內內的射影，的射影，BCBC平面平面ABCDABCD，由三垂線定理得，由三垂線定理得BCBCPCPC. .（2 2）解解 由（由（1 1）可知，）可知，BCBCPCPC，BCBCACAC，PCPCACAC= =C C，所以所以BCBC平面平面PACPAC. .又因為又因為PCPC是是PBPB在平面在

29、平面PACPAC內的射影，內的射影，所以所以CPBCPB是是PBPB與平面與平面PACPAC所成的角所成的角. .又又CBCB=2 =2 ，PBPB2 2= =PAPA2 2+ +ABAB2 2=20=20，.21, 221ABCEABBE所以又227PBPB=2 =2 ，sinsinCPBCPB= =即即PBPB與平面與平面PACPAC所成角的正弦值為所成角的正弦值為（3 3）解解 由（由（2 2）可知，）可知，BCBC平面平面PACPAC，BCBC平面平面PBCPBC, ,所以平面所以平面PBCPBC平面平面PACPAC. .過過A A點在平面點在平面PACPAC內作內作AFAFPCPC于

30、于F F，所以所以AFAF平面平面PBCPBC. .則則AFAF的長即為點的長即為點A A到平面到平面PBCPBC的距離的距離. .在直角三角形在直角三角形PACPAC中，中，PAPA=2=2，ACAC=2 =2 ，PCPC=2 =2 ，所以所以 ，即點，即點A A到平面到平面PBCPBC的距離為的距離為,510.51023362AF.362528題型四題型四 棱柱、棱錐的體積和面積棱柱、棱錐的體積和面積【例例4 4】（】（1212分）如圖所示，四棱錐分）如圖所示，四棱錐P P- -ABCDABCD 的底面的底面ABCDABCD是半徑為是半徑為R R的圓的內接四邊形，的圓的內接四邊形， 其中其

31、中BDBD是圓的直徑，是圓的直徑， ABDABD=60=60,BDCBDC=45=45, ,ADPADPBADBAD. . （1 1）求線段）求線段PDPD的長；的長； （2 2）若）若PCPC= = 求三棱錐求三棱錐P P- -ABCABC的體積的體積. . 思維啟迪思維啟迪 解答本題時求線段解答本題時求線段PDPD的長只需利用的長只需利用 ADPADP與與BADBAD相似即可求出，而求三棱錐相似即可求出，而求三棱錐P P ABCABC的體積需先證明的體積需先證明PDPD平面平面ABCABC，即，即PDPD為三棱為三棱 錐的高即可求解錐的高即可求解. .,11R29解題示范解題示范解解 (1

32、)(1)BDBD是圓的直徑是圓的直徑,BADBAD=90=90. .又又ADPADPBADBAD，(2)(2)在在RtRtBCDBCD中，中，CDCD= =BDBDcos 45cos 45= =PDPD2 2+ +CDCD2 2=9=9R R2 2+2+2R R2 2=11=11R R2 2= =PCPC2 2PDPDCDCD, ,又又PDAPDA=90=90=DABDABPDPD底面底面ABCDABCD 8 8分分.321243430sin)60sin(,222RRRBDBDBAADDPADDPBAAD故故4 4分分R230 幾何體的體積計算是一種常見的題型，幾何體的體積計算是一種常見的題型

33、，除了直接套用公式求體積的方法以外，還有一些常除了直接套用公式求體積的方法以外，還有一些常用的方法：用的方法：.41334133131413)22212223(221)4560sin(2322RRRPDSVABCPRRRBCABSABCABCPABC的體積為三棱錐1010分分1212分分探究提高探究提高31（1 1）體積轉換法：當所給幾何體的體積不能直接套）體積轉換法：當所給幾何體的體積不能直接套用公式或套用公式時某一量（面積或高）不易求出用公式或套用公式時某一量（面積或高）不易求出時，可以轉換一下幾何體中有關元素的相對位置進時，可以轉換一下幾何體中有關元素的相對位置進行計算求解，該方法特別適

34、合于求三棱錐的體積行計算求解，該方法特別適合于求三棱錐的體積. .（2 2）割補法：在求一些不規則的幾何體的體積以及）割補法：在求一些不規則的幾何體的體積以及求兩個幾何體的體積之比時，經常要用到割補法求兩個幾何體的體積之比時，經常要用到割補法. .割割補法是割法與補法的總稱補法是割法與補法的總稱. .補法是把不熟悉的（或復補法是把不熟悉的（或復雜的）幾何體延伸或補加成熟悉的（或簡單的）幾雜的）幾何體延伸或補加成熟悉的（或簡單的）幾何體，把不完整的圖形補成完整的圖形何體，把不完整的圖形補成完整的圖形. .割法是把復割法是把復雜的幾何體切割成簡單的幾何體雜的幾何體切割成簡單的幾何體. .割與補是對

35、立統一割與補是對立統一的，是一個問題的兩個方面的，是一個問題的兩個方面. .32知能遷移知能遷移4 4 （20092009海南、寧夏文，海南、寧夏文，1818）如圖，在如圖，在 三棱錐三棱錐P PABCABC中，中，PABPAB是等邊三是等邊三 角形，角形，PACPAC=PBCPBC=90=90. . (1) (1)證明：證明：ABABPCPC； (2)(2)若若PCPC=4=4，且平面，且平面PACPAC平面平面 PBCPBC，求三棱錐，求三棱錐P PABCABC的體積的體積. . (1) (1)證明證明 因為因為PABPAB是等邊三角形，所以是等邊三角形，所以PBPB= =PAPA. .

36、因為因為PACPAC=PBCPBC=90=90, ,PCPC= =PCPC， 所以所以RtRtPBCPBCRtRtPACPAC， 所以所以ACAC= =BCBC. . 如圖，取如圖，取ABAB中點中點D D，連結，連結PDPD、CDCD， 則則PDPDABAB, ,CDCDABAB, ,又又PDPDCDCD= =D D33所以所以ABAB平面平面PDCPDC, ,所以所以ABABPCPC. .(2)(2)解解 作作BEBEPCPC, ,垂足為垂足為E E，連結，連結AEAE. .因為因為RtRtPBCPBCRtRtPACPAC，所以，所以AEAEPCPC, ,AEAE= =BEBE. .由已知

37、，平面由已知，平面PACPAC平面平面PBCPBC，故，故AEBAEB=90=90. .因為因為AEBAEB=90=90，PEBPEB=90=90, ,AEAE= =BEBE, ,ABAB= =PBPB, ,所以所以RtRtAEBAEBRtRtBEPBEP, ,所以所以AEBAEB、PEBPEB、CEBCEB都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形. .由已知由已知PCPC=4=4，得，得AEAE= =BEBE=2=2，AEBAEB的面積的面積S S=2.=2.因為因為PCPC平面平面AEBAEB. .所以三棱錐所以三棱錐P PABCABC的體積的體積.3831PCSV34思想方法思想方法 感悟提

38、高感悟提高方法與技巧方法與技巧1.1.要準確地理解棱柱、棱錐的概念和性質，充分利要準確地理解棱柱、棱錐的概念和性質，充分利 用直線和平面的位置關系，對這些概念和性質加用直線和平面的位置關系，對這些概念和性質加 以研究以研究. .2.2.棱柱、棱錐問題中經常遇到側棱、側面與底面所棱柱、棱錐問題中經常遇到側棱、側面與底面所 成角的問題，解決這些問題時一般從頂點向底面成角的問題，解決這些問題時一般從頂點向底面 作垂線，利用前面學過的知識，準確判斷垂足的作垂線，利用前面學過的知識，準確判斷垂足的 位置，以此溝通各種關系位置，以此溝通各種關系. .3.3.求棱柱的側面積，如果有直截面存在，可利用公求棱柱

39、的側面積，如果有直截面存在，可利用公 式式S S側側= =C C直截面直截面側棱；如果無直截面存在，則需分側棱；如果無直截面存在，則需分 別求各側面的面積，然后相加別求各側面的面積，然后相加. . 35 失誤與防范失誤與防范1.1.在解正棱錐的問題時，要注意利在解正棱錐的問題時，要注意利 用四個直角三角形，如圖所示，用四個直角三角形，如圖所示，O O 為底面正多邊形的中心，為底面正多邊形的中心，E E為為ABAB的的 中點，四個直角三角形為中點，四個直角三角形為RtRtVOAVOA、 RtRtAEOAEO、RtRtVEAVEA和和RtRtVOEVOE，它們包含了棱錐，它們包含了棱錐 高、斜高、

40、側棱、底邊長的一半、底面正多邊形高、斜高、側棱、底邊長的一半、底面正多邊形 半徑半徑. .2.2.在求空間幾何體的體積時，也常用到轉化的思在求空間幾何體的體積時，也常用到轉化的思 想，將其轉化為其他幾何體的體積來求想，將其轉化為其他幾何體的體積來求. .36定時檢測定時檢測一、選擇題一、選擇題1.1.下列命題中，成立的是下列命題中，成立的是 （ ） A.A.各個面都是三角形的多面體一定是棱錐各個面都是三角形的多面體一定是棱錐 B.B.四面體一定是三棱錐四面體一定是三棱錐 C.C.棱錐的側面是全等的等腰三角形，該棱錐一定棱錐的側面是全等的等腰三角形，該棱錐一定 是正棱錐是正棱錐 D.D.底面多邊

41、形既有外接圓又有內切圓，且側棱相底面多邊形既有外接圓又有內切圓，且側棱相 等的棱錐一定是正棱錐等的棱錐一定是正棱錐37解析解析 A A是錯誤的，只要將底面全等的兩個棱錐的底是錯誤的，只要將底面全等的兩個棱錐的底面重合在一起，所得多面體的每個面都是三角形，面重合在一起，所得多面體的每個面都是三角形，但這個多面體不是棱錐；但這個多面體不是棱錐；B B是正確的，三個面共頂點，另有三是正確的，三個面共頂點，另有三邊圍成三角形是四面體也必定是個三邊圍成三角形是四面體也必定是個三棱錐；棱錐；C C是錯誤的，如圖所示，棱錐的是錯誤的，如圖所示，棱錐的側面是全等的等腰三角形，但該棱錐不是正三棱側面是全等的等腰

42、三角形，但該棱錐不是正三棱錐；錐；D D也是錯誤的，底面多邊形既有內切圓又有外接圓，也是錯誤的，底面多邊形既有內切圓又有外接圓，如果不同心，則不是正多邊形，因此不是正棱錐如果不同心，則不是正多邊形，因此不是正棱錐. .答案答案 B382.2.正棱錐的高縮小為原來的正棱錐的高縮小為原來的 ，底面外接圓半徑擴，底面外接圓半徑擴 大為原來的大為原來的3 3倍，則它的體積是原來體積的（倍，則它的體積是原來體積的（ ） 解析解析 設原棱錐高為設原棱錐高為h h，底面面積為，底面面積為S S，21倍倍倍倍49.D43.C29.B23.A.29,293121931.9,21,31VVShhSVShShV底面

43、面積為新棱錐的高為則B393.3.如圖，已知高為如圖，已知高為3 3的直三棱柱的直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1的底面是邊長為的底面是邊長為1 1的正三角形，的正三角形， 則三棱錐則三棱錐B B1 1ABCABC的體積為的體積為 （ ） 解析解析 因為因為ABCABC是邊長為是邊長為1 1的正三角形，故面積的正三角形，故面積 為為 故三棱錐的體積為故三棱錐的體積為41.D63.C21.B43.A,431432.43343311ABCBVA404.4.若長方體的三條棱長之比為若長方體的三條棱長之比為123123，全面積為，全面積為 8888，則它的對角線長為，則它的對角

44、線長為 （ ） A.12 B.24 C. D.A.12 B.24 C. D. 解析解析 設長方體的三條棱長分別為設長方體的三條棱長分別為k k，2 2k k，3 3k k，則，則 由題意可知由題意可知2 2（k k22k k+2+2k k33k k+3+3k kk k）=88=88，故，故k k2 2=4.=4. 于是，對角線長為于是，對角線長為142144.14294222kkklC415.5.（20082008四川文，四川文，1212）若三棱柱的一個側面是邊若三棱柱的一個側面是邊 長為長為2 2的正方形，另外兩個側面都是有一個內角為的正方形，另外兩個側面都是有一個內角為 6060的菱形的菱

45、形, ,則該棱柱的體積等于則該棱柱的體積等于 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 如圖所示如圖所示, ,由題意可得由題意可得 AAAA1 1C C1 1=AAAA1 1B B1 1=60=60, , AAAA1 1= =A A1 1B B1 1= =B B1 1C C1 1= =A A1 1C C1 1=2.=2. 所以過點所以過點A A作作AOAO平面平面A A1 1B B1 1C C1 1, , 則則O O在在B B1 1A A1 1C C1 1的平分線上的平分線上. . 過過O O作作OEOEA A1 1B B1 1, ,連結連結A A1 1O O, ,AEA

46、E, ,222232442易證易證coscosAAAA1 1E E=cos=cosAAAA1 1O OcoscosOAOA1 1E E，答案答案 B. 22362443,362,3330cos60coscos1ShVAOOAA棱柱即436.6.（20092009遼寧理，遼寧理，1111）正六棱錐正六棱錐P PABCDEFABCDEF中，中， G G為為PBPB的中點的中點, ,則三棱錐則三棱錐D DGACGAC與三棱錐與三棱錐P PGACGAC 體積之比為體積之比為 （ ） A.11 B.12 C.21 D.32A.11 B.12 C.21 D.32 解析解析 如圖，設棱錐的高為如圖，設棱錐的

47、高為h h， . 1:2:, 1:2:.23121,2131GACPGACDABCADCABCABCGABCPGACPADCDACGGACDVVSShSVVVhSVV故又C44二、填空題二、填空題7.7.已知正四棱錐的體積為已知正四棱錐的體積為12,12,底面對角線的長為底面對角線的長為2 ,2 , 則側面與底面所成的二面角等于則側面與底面所成的二面角等于 . . 解析解析 如圖所示如圖所示, ,設底面邊長為設底面邊長為a a, ,則則2 2a a2 2=(2 )=(2 )2 2， a a=2 =2 ，OMOM= .= . 6633.33, 333tan. 3,12)32(312角為側面與底面

48、所成的二面又VMOVMOhhV3458.8.設正三棱錐設正三棱錐V VABCABC底面邊長為底面邊長為2 ,2 ,高為高為2,2,則側則側 棱與底面所成角的大小為棱與底面所成角的大小為 . . 解析解析 如圖所示如圖所示, ,由已知在正由已知在正ABCABC 中中, ,ABAB=2 ,=2 ,O O為為ABCABC重心重心, , AOAO=2,=2,VOVO=2,=2,且且VOVOAOAO， VAOVAO=45=45. .334545469.9.（20082008江西理，江西理，1616）如圖（如圖（1 1）所示，一個正四）所示，一個正四 棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底棱柱形的密閉

49、容器水平放置，其底部鑲嵌了同底 的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有a a升水時，升水時， 水面恰好經過正四棱錐的頂點水面恰好經過正四棱錐的頂點P P. .如果將容器倒如果將容器倒 置，水面也恰好過點置，水面也恰好過點P P（如圖（如圖（2 2）所示）所示）. .有下列有下列 四個命題：四個命題：47A.A.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；B.B.將容器側面水平放置時，水面也恰好過點將容器側面水平放置時，水面也恰好過點P P；C.C.任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經 過點過點

50、P P；D.D.若往容器內再注入若往容器內再注入a a升水，則容器恰好能裝滿升水，則容器恰好能裝滿. . 其中真命題的代號是其中真命題的代號是 . .（寫出所有真命題的代（寫出所有真命題的代 號）號）解析解析 設正四棱柱底面邊長為設正四棱柱底面邊長為b b，高為，高為h h1 1, ,正四棱錐高正四棱錐高為為h h2 2, ,則原題圖（則原題圖（1 1）中水的體積為：）中水的體積為：圖（圖（2 2）中水的體積為：）中水的體積為：b b2 2h h1 1- -b b2 2h h2 2= =b b2 2（h h1 1- -h h2 2），），.3231222222hbhbhb.D,A,35),(3

51、22121222正確錯誤故所以所以hhhhbhb48對于對于B B，當容器側面水平放置時，當容器側面水平放置時，P P點在長方體中截點在長方體中截面上，又水占容器內空間的一半，所以水面也恰好面上，又水占容器內空間的一半，所以水面也恰好經過經過P P點，故點，故B B正確正確. .對于對于C C，假設，假設C C正確，當水面與正四棱錐的一個側面正確，當水面與正四棱錐的一個側面重合時，經計算得水的體積為重合時，經計算得水的體積為矛盾，故矛盾，故C C不正確不正確. .答案答案 B.D,3236252222hbhb49三、解答題三、解答題10.10.（20092009福建文，福建文，2020）如圖，

52、如圖， 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD中，中，DABDAB =60=60, ,ABAB=2,=2,ADAD=4.=4.將將CBDCBD 沿沿BDBD折起到折起到EBDEBD的位置，的位置， 使平面使平面EBDEBD平面平面ABDABD. . (1) (1)求證：求證：ABABDEDE. . (2) (2)求三棱錐求三棱錐E EABDABD的側面積的側面積. . (1) (1)證明證明 在在ABDABD中，中，ABAB=2,=2,ADAD=4,=4, DABDAB=60=60, ,. 32cos222DABADABADABBD50ABAB2 2+ +BDBD2 2= =ADAD2 2,ABABBDBD. .又又平面平面EBDEBD平面平面ABDABD，平面平面EBDEBD平面平面ABDABD= =BDBD，ABAB平面平面ABDABD，ABAB平面平面EBDEBD. .DEDE平面平面EBDEBD，