1、周期數(shù)列一、周期數(shù)列的定義：類比周期函數(shù)的概念,我們可定義：對(duì)于數(shù)列an,如果存在一個(gè)常數(shù)T(TN),使得對(duì)任意的正整數(shù)nn0恒有烝tan成立,那么稱數(shù)列an是從第n0項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列.假設(shè)n01,那么稱數(shù)列an為純周期數(shù)列,假設(shè)n02,那么稱數(shù)列an為混周期數(shù)列,T的最小值稱為最小正周期,簡(jiǎn)稱周期.設(shè)An是整數(shù),m是某個(gè)取定的大于1的正整數(shù),假設(shè)Bn是An除以m后的余數(shù),即Bn=An(modm),且Bn在0,1,2,.,m-1,那么稱數(shù)列Bn是An關(guān)于m的模數(shù)列,記作An(modm).假設(shè)模數(shù)列An(modm)是周期的,那么稱An是關(guān)于模m的周期數(shù)列.二、周期數(shù)列的性質(zhì)1、周期數(shù)列是

2、無窮數(shù)列,其值域是有限集；推逃1假設(shè)周期數(shù)列I.的周期T221那么lia.不存在u推法2假設(shè)丘|不是常數(shù)列,且】iE片存在,刖人|不是周期效列口2、如果T是數(shù)列an的周期,那么對(duì)于任意的kN,kT也是數(shù)列an的周期.3、假設(shè)數(shù)列an滿足anan1an2(nN,且n2),那么6是數(shù)列的一個(gè)周期.4、數(shù)列an滿足antan(n,tN,且t為常數(shù)),Sn分另11為an的前n項(xiàng)的和,假設(shè)nqtr(0rt,rN),那么anar,SnqStSro特別地：數(shù)列an的周期為6,(即：an6an)那么S2021335S6S25、假設(shè)數(shù)列an滿足ananks(nk,nN),那么數(shù)列an是周期數(shù)列；假設(shè)數(shù)列an滿足

3、anan1anks(nk,nN),那么數(shù)列an是周期數(shù)列.假設(shè)數(shù)列an滿足anan1anks(nk,nN,s0),那么數(shù)列an是周期數(shù)列.特別地：數(shù)列an滿足anan1s(nk,nN),那么數(shù)列an周期T=2；數(shù)列an滿足anan1an2s(nk,nN),那么數(shù)歹Uan周期T=3N),那么數(shù)列an周期T=3數(shù)列an滿足anan1s(nk,nN),那么數(shù)列an周期T=2；數(shù)列an滿足ananan2s(nk,n6、假設(shè)數(shù)列an滿足anaan1bcan,a+d=0,那么數(shù)列a是周期T=2；例：數(shù)列an滿足3an17,那么數(shù)列an是周期T=2；三、周期數(shù)列性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列1

4、,2,1,2,1,2,的通項(xiàng)公式解析：原數(shù)列可構(gòu)造成:1313131它的通項(xiàng)公式可以寫成:或者寫成：an又或者寫成:an總結(jié)：一般的(2)1,0,1,an-sin(22數(shù)列解析：該數(shù)列周期為3,生聯(lián)系.事實(shí)上,當(dāng)這樣所以,22(1)n(nCN),(nCN),1-cosn2a,b,12(aa,b)(nCN),b,a,12(bb,a)cosn0,1,的通項(xiàng)公式我們把它與周期為x分別為兀的函數(shù)2它的通項(xiàng)公式可以寫成:tanxN)進(jìn)行改造,使它們能發(fā)時(shí),tanx的值分別為1,0,1,1,0,1,原數(shù)列的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式可以寫成:1,tan(n2)1bn2tan(n32)(nCN)數(shù)列弟：1,2,3

5、,4,1,2,3,4,的通項(xiàng)公式解析：將原數(shù)列擴(kuò)大2倍：2,4,6,8,2,4,6,8,再減去平均數(shù)5得到：3,1,1,3,3,1,1,3,分解成兩個(gè)數(shù)列：(1)1,1,1,1,1,1,1,1,(2)2,2,2,2,2,2,2,2,的通項(xiàng)公式為(1)n易得,(2)的通項(xiàng)只要求出1,1,1,1,1,1,1,1,的通項(xiàng)便可以了,它與(2)相差一個(gè)系數(shù)2.以上數(shù)列的符號(hào)與正弦函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)完全一致,它通項(xiàng)：1 1c1n<2sin(-n-)(nN),2 42, 2,2,2,2,2,2,2,的通項(xiàng)為：11.c2n2&sin(n一)(nCN),243, 1,1,3,3,1,1,3,的通

6、項(xiàng)為：1 1c3n(1)n2拒sln(1n1)(nCN),那么原數(shù)列cn的通項(xiàng)為：1n11cn-5(1)n2v2sln(-n)(nCN).2244) )cn：1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,的通項(xiàng)公式乘以(一4)得：5) 4,4,4,8,8,8,8,12,12,12,12,加上(n+4)得：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,它的通項(xiàng)公式為：Cn'1251)n2V2sin(-n2)又Cn'4Cn(n4)化簡(jiǎn)整理得:Cn812nn11)n2、,2sin(n22、求數(shù)列中的項(xiàng)例3由第十四屆希望杯改編、數(shù)列整數(shù),總有anan1an2,那么a

7、2021等于an中,a132).5且對(duì)于大于2的正A.-5解析：由性質(zhì)2知,數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列,而再由性質(zhì)3可得a2021a5a4a3a3a2a35,202163345,應(yīng)選A.例4上海中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2000年的第1期、實(shí)數(shù)列an滿足aia(a為實(shí)解：an3an13an13an1,3aN),求a20001(n1tan(x-)tanx可變形為antan6-十分相似,1tanxtan6的原型.通過運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)此題中可取an=tan6周期是6.而200033362,再由性質(zhì)33、求周期數(shù)列的前n項(xiàng)和例5、設(shè)數(shù)列an中,a1a21,anan1an2an3(ananan2解：由條件,對(duì)任何自然數(shù)

8、N式中的n換成n、313L3.我們發(fā)現(xiàn)an3an133an1V1_313an1因此可把此三角式認(rèn)為是原遞推關(guān)系antann1,顯然止匕數(shù)歹U的a200063a1a23aa32,且對(duì)n1成立,試求該數(shù)列前,有anan1an2an3=an1,得an1an2an3an4=an1an2an3anan1an2an3=100項(xiàng)和400.an1an2an3,把a(bǔ)n4.兩式相減得,anian2an3(an(3),得S10025S425(1124)200.an4)anan4,由于an1an2an31,所以an4annN.所以%是以4為周期的周期數(shù)列,而100425,再由性質(zhì)例6(上海08質(zhì)檢題)、假設(shè)數(shù)列an滿

9、足an2an1an(nN),Sn為an的前n項(xiàng)和,且S22021,S32021,求S2021.解析：由an2an1an及性質(zhì)2,可知所以數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)歹U.由S22021,S32021,知aa22021,aa2a32021,再結(jié)合a3a2a1,可求得為1003,a21005,a32;由遞推關(guān)系式可進(jìn)一步求得a41003,a51005,a62.由于202163344,由性質(zhì)3,得S2oO8334S6S4334010071007.4、求周期數(shù)列的極限例7、06北京在數(shù)列an中,a1,a2是正整數(shù),且anan1an2,n3,4,5,那么稱an為“絕對(duì)差數(shù)列.假設(shè)“絕對(duì)差數(shù)列an中,a203,a210,數(shù)列bn滿足bnanan1an2,n1,2,3,分別判斷當(dāng)n時(shí),數(shù)列an和bn的極限是否存