1、北京市西城區(qū)2022 2022學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)理科第I卷選擇題共40分、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1 設(shè)集合A x|0 x2 , B x|x| <1，那么集合 APlBA(0,1)B(0,1 C(1,2)D1,2)2 .復(fù)數(shù)z滿足z=-,那么z的虛部為1iA1Bi3.在 ABC中，角 A, B,C所對(duì)的邊分別為a那么c A4B、154 執(zhí)行如以下圖的程序框圖，輸出的S值為AD1C1Dib, c假設(shè) a 3 , b12 , cos(A B)3C3D17_結(jié)束5.圓C :(x I 1)2 I (y 1)2 -1與x

2、軸切于A點(diǎn)，與y軸切于B點(diǎn)，設(shè)劣弧AB的中點(diǎn)為M,那么過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程是Ay 一 x I 22Cy x 2 2Dy X I 126假設(shè)曲線ax2 by2 1為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù) a, b滿足Aa2 b2D0 b a7 .定義域?yàn)镽的函數(shù)f (x)滿足f(x 1)2f (x)，且當(dāng) x (0,1時(shí)，f (x)x2 x，那么當(dāng) x 2, 1C0 a b時(shí)，f (x)的最小值為A116D08.如圖，正方體ABCDABC1D1的棱長(zhǎng)為2 3，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線BB上，過(guò)點(diǎn)P作垂直于BB的平面，記這樣得到的截面多邊形含三角形的周長(zhǎng)為 y,設(shè)BP x.那么當(dāng)x 1,5時(shí)，函數(shù)yf (x)的值域

3、為A2 ,6,6、一6B2.6,18C36,18D3、6,6 .6第 n卷非選擇題共110分、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30 分.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,3) , B( 2,k)，假設(shè)向量 OA AB，那么實(shí)數(shù)k10 假設(shè)等差數(shù)列an滿足a11,a4a625 ,那么公差da2 a4 a6a?。側(cè)(左)視圖實(shí)習(xí)單位中恰有1個(gè)相同的選法種數(shù)是用數(shù)字作答13.如圖，B,C為圓0上的兩個(gè)點(diǎn),P為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PA為圓0的切線，A為切點(diǎn)假設(shè)PA 2 , BC 3，那么PBACABP11 一個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，其側(cè)左視圖如以下圖,那么此三棱柱正主視圖的面積為 12.甲

4、、乙兩名大學(xué)生從4個(gè)公司中各選2個(gè)作為實(shí)習(xí)單位，那么兩人所選的y>0,y<0,所表示的平面區(qū)域?yàn)镈 .在映射2y < 2x14 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，記不等式組x2xT : U % y,的作用下，區(qū)域 D內(nèi)的點(diǎn)(x, y)對(duì)應(yīng)的象為點(diǎn)(u,v).v x y1在映射T的作用下，點(diǎn)(2,0)的原象是 ;2由點(diǎn)(u,v)所形成的平面區(qū)域的面積為 .三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解容許寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步 驟.15.本小題總分值13分函數(shù)f (x) J3cos x , g(x) sin( x n)(0)，且g(x)的最小正周期為 n3I假設(shè)f( ),

5、 n, n，求的值；2n求函數(shù)y f(x) g(x)的單調(diào)增區(qū)間.16.本小題總分值13分以下莖葉圖記錄了甲、 乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以I假設(shè)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求n求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率；a表示.a的值；川當(dāng)a 2時(shí)，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為 X，求隨機(jī)變量 X的分布列和數(shù)學(xué)期望.甲組82 2乙組890117.本小題總分值14分如圖，在多面體 ABCDE沖，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形， BAD 60 ,四邊形BDEF是矩形，平面

6、BDEF丄平面 ABCD, BF=3, H是CF的中點(diǎn).I求證：AC丄平面BDEF;n求直線 DH與平面BDEF所成角的正弦值;川求二面角 H BD C的大小.18.本小題總分值13分函數(shù)f(x) (x a)ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a R .I求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；n當(dāng)a 1時(shí)，試確定函數(shù)g(x) f (x a) x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由19.本小題總分值14分代B是拋物線 W:y x2上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為1,1，直線AB的斜率為k,O為坐標(biāo)原點(diǎn).I假設(shè)拋物線 W的焦點(diǎn)在直線 AB的下方，求k的取值范圍；設(shè)C為W上一點(diǎn)，且AB AC，過(guò)B,C兩點(diǎn)分別作 W的切線，記兩切線的

7、交點(diǎn)為D，求0D的最小值20.本小題總分值13分設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列an的公比為q,且an 0n N*,表示不超過(guò)實(shí)數(shù)a.的最大整數(shù)如2.5 2丨，記bn an，數(shù)列佝的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為人1I假設(shè) C1 = 4, q，求 Tn ；22 n假設(shè)對(duì)于任意不超過(guò) 2022的正整數(shù)n,都有一2 n 1,證明：一2022 q 1.3川證明：Sn=Tn n =1,2,3，丨的充分必要條件為 印廠N, qN'.北京市西城區(qū)2022 2022學(xué)年度第一學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)理科參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題:本大題共8小題,每題5 分. 共40分.1.B2.C3. D4. B5.A6.C7. A8

8、. D、填空題:本大題共6小題,每題5 分. 共30分.9.410.155211.2 312.2413.1214.(1,1)n注：第10、13、14題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分.三、解答題：本大題共 6小題，共80分.其他正確解答過(guò)程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分15.本小題總分值13分I解：因?yàn)間xsin(n30的最小正周期為冗，解得f()，得 3 cos 2cos2所以因?yàn)閚,n ,所以7 n n n 7 n T, s,8,T.解：函數(shù)y f(x) g(x) .3 cos2x sin(2x n).3cos2x sin 2xcos- cos2xsin 31 3sin 2x cos2x210sin(2x16

9、.I2k n解得kn所以函數(shù)本小題總分值玉x< kn12解：依題意,f (x)13分小n2k n27C12g(x)的單調(diào)增區(qū)間為kn5 n ,k127tZ).111213(88 9292)-90391(90 a),解得a 1.解：設(shè)“乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)?yōu)槭录李}意a 0,1,2,9，共有10種可能.由I可知，當(dāng)a 1時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同,所以乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率P(A) 10川解:當(dāng)a 2時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有3 39種，它們是：(88,90),(88,91) , (88,92) , (92,90) , (

10、92,91) , (92,92),(92,90),(92,91),那么這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值X的所有取值為0,1,2,3,4 .102因此 P(X 0), P(X 1)92 19 'P(x 2) 3 'P(x3)19 P(x4)11所以隨機(jī)變量 X的分布列為:X01234P221119939912(92,92),17.本小題總分值14分I證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,132211所以X的數(shù)學(xué)期望E(X) 0 - 1 2 2 13丄49939所以 AC BD .因?yàn)槠矫鍮DEF平面ABCD，且四邊形BDEF是矩形,所以ED 平面ABCD ,又因?yàn)锳C 平面ABCD ,所以

11、ED AC . 3分因?yàn)?EDBD D ,所以 AC 平面BDEF . 4分解：設(shè)AC門BD O，取EF的中點(diǎn)N，連接ON ,因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形，O, N分別為BD,EF的中點(diǎn)，所以 ON/ED，又因?yàn)?ED 平面ABCD，所以 ON 平面ABCD，由AC BD，得OB,OC,ON兩兩垂直.所以以O(shè)為原點(diǎn)，OB,OC,ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.5分因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,所以A(0,.3,0)，B(1,0,0)，D(F(1,0,3)，c(0, 3。)，H(2,|)因?yàn)锳C 平面 BDEF，所以平面BDEF的法向量AC (0,2. 3,0).設(shè)直

12、線DH與平面BDEF所成角為 ，由DH/33 3、(,)，2 2 21,0,0)，E( 1,0,3)，6分7分BAD 60 BF得sin|cos DH , AC |DH ilACDH AC I所以直線DH與平面BDEF所成角的正弦值為3330 2 3 2 2 221 2七277設(shè)平面BDH的法向量為n ，乙),所以nBH 0,nDB 0,分即.3y 3z0,2x10,令Z11得 n (0,3,1)11由ED 平面ABCD，得平面BCD的法向量為ED (0,0,3),貝y cos n ,EDn ED 0 0 (、3) 0 nlED1 ( 3)13由圖可知二面角BD C為銳角,所以二面角HBDC的

13、大小為60 .14分18. 本小題總分值13分I解：因?yàn)?f(x) (x a)ex, x R ,所以 f (x) (x a 1)ex. 2分令 f (x)0,得 x a 1 . 3分當(dāng)x變化時(shí)，f (x)和f (x)的變化情況如下:x(,a 1)a 1(a 1,)f (x)0f(x)/ 5分故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,a 1)；單調(diào)增區(qū)間為(a 1,) 6n解：結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).分理由如下：由 g(x) f (x a) x2 0，得方程 xex a x2，顯然x 0為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解.所以x 0是函數(shù)g (x)的一個(gè)零點(diǎn).分當(dāng)x 0時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為ex a x .設(shè)函數(shù) F

14、(x) ex a x，那么 F (x) ex a 1，令 F (x)0 ,得 x a當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn) (x)和F (x)的變化情況如下:x(,a)a(a,)F (x)0F(x)/即F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,)；單調(diào)減區(qū)間為(，a) 所以F(x)的最小值F(x)min F(a) 1 a.分因?yàn)閍 1,所以 F(x)minF(a) 1 a 0,所以對(duì)于任意x R , F(x) 0,因此方程ex a x無(wú)實(shí)數(shù)解.所以當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn)綜上，函數(shù)g (x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)分19. 本小題總分值14分2 1I解：拋物線y x的焦點(diǎn)為(0,-).4分由題意，得直線 AB的方程為y 1 k(

15、x 1),分令x 0，得y 1 k,即直線AB與y軸相交于點(diǎn)(0,1 k).分因?yàn)閽佄锞€W的焦點(diǎn)在直線AB的下方，1所以1k1,42 解得k -.4分n解：由題意，設(shè) B(x1,x), C(x2,x|), D(x3,y3),、 y 1 k(x 1),2聯(lián)立方程2消去y，得x kx k 1 0 ,y x ,由韋達(dá)定理，得1為 k,所以x1 k 1.分、 1 1 同理，得AC的方程為y 1 (x 1) , x21 .kk分對(duì)函數(shù)y x2求導(dǎo)，得y 2x ,所以拋物線y x2在點(diǎn)B處的切線斜率為2x ,所以切線BD的方程為y X： 2xj(x x1),即y 2XjX x1.同理，拋物線 y x2在點(diǎn)

16、C處的切線CD的方程為y 2x2x xf 12),1 ,y3X1X2k,kk112),k).kk11聯(lián)立兩條切線的方程丿y解得X37 l(k2 21所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-(k2分c22x<|X x1 ,22x2x x2,因此點(diǎn)D在定直線2xy 20 上.因?yàn)辄c(diǎn)0到直線2x y 20的距離d所以0D，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)5D(125，得k1 265|2 0 0 2|汴自時(shí)等號(hào)成立.驗(yàn)證知符合題意13所以當(dāng)k50D有最小值142.5520. 本小題總分值13分1I解：由等比數(shù)列aJ的a1 4 , q=-,得 a 4, a22,爲(wèi) 1,且當(dāng) n3 時(shí)，0"二&二1.所以 b| 4, p

17、2, R 1，且當(dāng) n.：；3時(shí)，虬aj0. 2分4,n 1,即 Tn6,n 2, 37, n > 3.分n證明：因?yàn)?Tn2n 1(n<2022),所以b|T13,STn Tn 12(2< nw 2022).4分因?yàn)閎n _ an，所以弓3,4),an 2,3)(2 <nw 2022).5分由q生，得q1.6a1分因?yàn)?022c ca2022a2q2,3)，所以2022 、 2q >2a23所以2 2022 -q12 ，即(2)2022q 1.833分川證明:充分性因?yàn)橛∝蜰 ,qN ,所以n 1 廠 n fanaqN ,所以d 一耳a對(duì)一切正整數(shù)n都成立.因?yàn)镾n=ai比an,Tn=b3i+ t2d,必要性因?yàn)閷?duì)于任意的 n e N , S =Tn,當(dāng) n 1 時(shí)，由 ai = S , b =，得 ai = bi ；當(dāng) n>2 時(shí)，由 an Sn Sni，bn