1、淮北師范大學2013屆學士學位論文微分中值定理和不等式的證明學院、專業數學科學學院數學與應用數學研究方向函數論學生姓名謝晨西學號學091101169指導教師姓名卓澤朋指導教師職稱副教授2013年4月20日微分中值定理及不等式的證明謝晨西（淮北師范大學數學科學學院，淮北，235000）摘要微分中值定理在數學分析中具有重要作用，不等式在初等數學中是最基本的內容之一,微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，羅爾中值定理,以及柯西中值定理.本文采用舉例的方式歸納了微分中值定理在不等式證明中的幾種常見方法和技巧，并對中值定理進行了適當的推廣，同時結合幾個常見的實例論述了羅爾中值定理，拉格朗日中值定理在證

2、明不等式面的應用，從而加深對兩個定理的理解，總結了微分中值定理在不等式證明中的基本思想和方法.關鍵詞：微分中值定理，柯西中值定理，費馬定理，不等式DifferentialMeanValueTheoremandProofofInequalityXieChenxi(SchoolofMathematicalscience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,2350000AbstractDifferentialmeanvaluetheoremplaysanimportantroleinmathematicalanalysis.Inequalityisoneofthemos

3、timportantelementsinelementarymathematics.Differentialmeanvaluetheoreminclude:lagrangemeanvaluetheorem,rolletheorem,cauchymeanvaluetheorem.Thisarticlesummarizesseveralcommonmethodsandtechniquesofdifferentialmeanvaluetheoremtoproveinequality.Appropriatepromotiondifferentialmeanvaluetheorem.Combinedwi

4、thafewcommonexamplesdiscussedrolletheoremoflagrangemeanvaluetheoreminprovinginequalitiessurface.Soastodeepentheunderstandingofthetwotheorems,summarizethebasicmethodofdifferentialmeanvaluetheoremtoproveinequalityKeywords:Differentialmeanvaluetheorem,CauchyMeanValueTheorem,generalizedFermat'stheor

5、em,;inequalities引言11預備知識12微分中值定理及其證明12.1 費馬引理12.2 羅爾中值定理及其推廣22.3 拉格朗日中值定理及其推廣32.4 柯西中值定理及其推廣32.5 泰勒中值定理43利用微分中值定理證明不等式4羅爾中值定理證明不等式4利用拉格朗日中值定理證明不等式5利用柯西中值定理證明不等式6利用泰勒中值定理證明不等式8綜合利用微分中值定理證明不等式10結論11參考文獻11引言在高等數學課程中羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等統稱為微分中值定理,他們是微分中值學中最基本、最重要的定理為加深學生對微分中值定理的理解.它的出現是一個過程，聚集了眾多數學家的研究成

6、果.從費馬到柯西不斷發展，理論知識也不斷完善，成為了人們引進微分學以后，數學研究中的重要工具之一，而且應用也越來越廣泛.微分中值定理在函數在某一點的局部性質；函數圖象的走向；曲線凹凸性的判斷；積分中值定理；級數理論；等式及不等式證明等問題的研究中也發揮著十分重要的作用.因此，微分中值定理已經成為整個微分學基礎而又舉足輕重的內容.1預備知識微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數的有力工具，其中最重要的內容是拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。也就是說微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在內的定理的總稱.以下是證明微分中值定

7、理時用到的幾個概念.定義1川(單調性)函數f(x)在定義域內，當x1x2時，有f(Xi)f(X2)(f(Xi)f(X2)則稱f(x)單調遞增.當Xix2時，有f(xi)f(x2)(f(xi)f(x2),則稱f(x)單調遞減.定義2川(保號性)若limf(x)limg(x),則存在0,任意x(%,xxoxxoxo)，使得f(x)g(x).定義31(最值)設f(x)在I上有定義，若存在xoI使任意xI,f(xo)f(x)(f(xo)f(x),則f(xo)稱為f(x)的最小值(最大值).%為最小值點(最大值點).定義41(極值)設f(x)在任意xI上有定義，若存在xoI,o,任意x(xo,xo)，都

8、有f(x)f(xo)(f(x)f(xo),則f(xo)稱為f(x)的一個極小值(極大值)，xo稱為極小值點(極大值點).2微分中值定理及其證明費馬引理定理12設函數f(x)在點x的某鄰域內有定義,且在點Xo可導，若Xo為f的極值點，則必有f'(Xo)0費馬定理的幾何意義：如果將函數f(x)的曲線置于直角坐標系XOY,則費馬定理具有幾何意義表示若在曲線yf(x)上有一點(x0,f(x0)存在切線，且在%在f(x)取得極值.則這一點處的切線必平行于x軸.羅爾中值定理及其推廣定理23如果函數f(x)滿足：(1)在閉區間上連續；(2)在開區間內可導；(3)在區間端點處的函數值相等，即f(a)f

9、(b),那么在內至少有一點使得f()0羅爾定理的幾何意義：若f(x)滿足羅爾定理的條件，則在曲線yf(x)上至少存在一點P(,f(),使得點P處的切線平行于x軸(如圖)，其中A(a,f(a),B(b,f(b)證明因為ab,且f(b)f(a).(1)若f(x)f(b)f(a)為常數，則必有f(x)0,所以，存在(a,b),使得f()0;(2)若f(x)不是常數，則f(x)非單調，又有f(x)在a,b上連續在a,b內可導，根據引理1,存在(a,b),使得f()0.limf(x)A,其中a證畢.定理33設f(x)在a,b內可導，且limf(x)xa則存在(a,b)使得f()0.拉格朗日中值定理及其推

10、廣定理44如果函數f(x)滿足(1)在閉區間a,b上連續；(2)在開區間a,b內可導；則至少存在一點(a,b)使等式f()f(b)f(a)ba證法利用羅爾中值定理f(b)f(a)/、F(x)f(x)f(a)(xa).ba定理55(推廣一)設f(x),g(x),h(x)在a,b上連續，在a,b內可導，則存在(a,b)使得f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)0.f()g()h()定理6(推廣二)若f(x)在有限開區間a,b內可導，且f(a0)與f(b0)存在，則至少存在一點(a,b)使得f(b0)f(a0)ba柯西中值定理及其推廣定理77設函數f(x)、g(x)滿足:(1)在閉區間a,

11、b上連續;(2)在開區問a,b內可導，且g(x)0,則至少存在一點(a,b)使得f()f(b)f(a).g()g(b)g(a)定理8(洛必達法則一)若函數f(x)與(x)滿足下列條件：0(1)在a的某去心領域U(a)可導，且'(x)0;limf(x)0與lim(x)0；(2)xaxa_，lim9l.(3)(x)'貝limlim'Xl.xa(x)xa(x)證法證明洛必達法則要找到兩個函數之比與這兩個函數的倒數之比之間的聯系.柯西中值定理正是實現這種聯系的紐帶.為了使函數f(x)與(x)在a滿足柯西中值定理的條件，將函數f(x)與(x)在a作連續開拓.這不影響定理的證明，因

12、為討論函數幽在a的極限與函數f(x)與(x)在a的函數值無關.(x)2.5泰勒中值定理定理9網若函數fx在x的某鄰域Ux0內存在n階導數，則在該鄰域成fXo2xXo2!nxXoRxfxPnxRnxfxfx0fx0xx0nfx0n!fn1n其中Rnxxx0nGxG.n!GPnx稱為fx在Xo的n次泰勒多項式，Rnx稱為n次泰勒多項式的余項3利用微分中值定理證明不等式3.1羅爾中值定理證明不等式羅爾中值定理的幾何意義：在滿足定理條件下，在曲線yf(x)上必有一點，使得過該點P(,f()的切線平行于x軸.在一般t#況下，利用羅爾中值定理很容易證明關于方程的根的問題，但是僅用羅爾中值定理卻很難證明不等

13、式，所以在利用羅爾中值定理證明時要綜合利用其他的微分中值定理.x例1(1)如果x0,試證ln(1x)x;x(2)求證:arctgarctg證(1)令f(x)ln(1x),f(x)在區間0,x(x0)上連續，在0,x(x0)內可導，應用拉格朗日中值定理，則有ln(1x)ln(1),(0,x).1由于在閉區間0,x上，有上x,所以-ln(1x)x(x0).1x11x(2)當時，顯然等號成立.當時,不妨設.設f(x)arctgx,x,由拉格朗日中值定理得,a9tga9tg1,(,).121則有arctgarctg2()11,所以arctgarctg2()123.2利用拉格朗日中值定理證明不等式拉格朗

14、日中值定理的幾何意義：在滿足定理條件下，在曲線yf(x)上必有一點P(,f(),使得過該點的切線平行于曲線兩端點的連線(a,f(a),(b,f(b)兩點的弦.我們在證明中引入的輔助函數F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa),ba正是曲線yf(x)與弦線之差.拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，當f(a)f(b)時，本定理即為羅爾中值定理的結論，這表明羅爾中值定理是朗格朗日定理的一個特殊情形yf(x).拉格朗日中值定理的其它表示形式：f(b)f(a)f()(ba),ab;f(b)f(a)f(a(ba)(ba)(01);f(ah)f(a)f(ah),01.值得注意的是：拉格朗日中值定理

15、無論對于ab,還是ab都成立.而則是介于a與b之間的某一定數，而(2),(3)兩式的特點，在于把中值點表示成了a(ba),使得不論a,b為何值,總可為小于1的某一整數.例2當x0時，函數f(x)在其定義域上可導，且f(x)為不增函數，nnf(x)0,x0,i1,2,.,n,求證f(x)f(x).i1i1證用數學歸納法當n1時，顯然不等式成立.當n2時，若為？2均為0,或者一個為0時，當一個為0時，顯然有f(Xix2)f(Xi)f(x2).設x1,x2均大于0,不妨設x1X2,在0,K應用拉格朗日中值定理可得：f(x1)f(x)f(0)X1X10f(1),10,1在X2,X1x2上再次利用拉格朗

16、日中值定理可得f(XiX2)f(X2)f(XiX2)f(X2)-f(2),2X2,XiX2X1X1X2X2顯然12,由題設知，f(1)f(2).所以f(XiX2)f(X2)f(Xi)X1Xi假設當f(Xink時不等式成立，即X2)f(XiX2)f(X2).kkf(X)f(Xi).iiiiki取f(Xi)iikf(XXki),顯然Xki0的情況不證而明,所以只考慮Xkiiik情況.取uX，由前面已證的結論有iif(uXki)f(u)f(Xki),kiki再用歸納假設可得f(Xi)f(Xi),iiii即當以上例子是利用拉格朗日中值定理來證明不等式，有些不等式利用此定nf(X).iin理時，方法要靈

17、活些nkI時結論成立.所以f(Xi)ii利用柯西中值定理證明不等式柯西中值定理是研究兩個函數f(X),g(X)的變量關系的中值定理，當一個函數(不妨設此函數為g(x)取作自變量自身時它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來證明，反之則不然.下面舉例來說明：對例I用柯西中值定理證明，這里僅用第一個小題來說明，其證法如下：證()令£他)ln(ix),g(X)x.f(x),g(X)在區間0,x(x0)上連續，在0,x(x0)內可導，且g(X)在0,x(x0)內每一點都不為零，那么由柯西中值定理可得：ln(ix)ln(i)i心“(ix)ii(0,x)

18、.則有ln(ix)ln(i)下面與例i中解法同，這里就不再贅述了.例3(。設*0,對0I的情況，求證：xxI(2)設x0,求證：sinxexi.證明(I)設f(t)x,g(t)x.當x1時結論顯然成立.當x1時，取x,1或1,x,f(x),g(x)在閉區間x,1或1,x上連續,在開區問x,1或1,x可導，且g(x)在內x,1或1,x每一點均不為零,由柯西中值定理可得：f(x)f(1)f(),(x,1)或(1,x)g(x)g(1)g()即-111.x所以xx1得證.(2)設f(t)sint,g(t)e,t0,x,f(x),g(x)在閉區間0,x上連續，在開區間0,x內可導，且g(x)在0,x內每

19、一點均不為零，那么由柯西中值定理可得:因為ex1即注例定理證明.例4f(x)；(2)f(a)使得f(x)f(0)g(x)g(0)sinx0,e10,所以e1sinxeTlsinxf()g()cos,ecos1.0,x.0,x.3中的兩個不等式能用柯西中值定理來證明，但不能用拉格朗日中值如果函數f(x)滿足兩個條件：(1)在閉區間a,b上有二階導數f(b)0.試證明：在開區間a,b內至少存在一點c,4f(c)|-|f(b)f(a).(ba)證令k(ba)2f(b)f(a).在此我們利用用反證法來證明本題，我們不妨假設f(x)k,axb.對于構造的輔助函數F(x)f(x)f(%)(其中x0是a,b

20、中任意固定的一點f(x0)(x%)及G(x)(x%)2)，兩次利用柯西中值定理，可得:f(x)f(x0)f(x°)(xx°)其中介于x0與x之間(即x012二(xx。)f()2x0),x為a,b上任意點，特別地,f(a)0,則有:在上式中取x0a,xTf(c1)滿足aq于是，八、2f(Hf1.同理再取入b,X三，并利用已知條件f(b)0,則得：2ab(ba)abf()f(b)f(C2),其中C2輛足C2b.282，/12于是：f(b)f(U)SLk.28因此，f(b)f1f(b)f(%)，/1、2f號)f(a)kf(b)f(a)這是不可能的.所以在區間a,b內至少存在一點c

21、,使得f(c)|-2|f(b)f(a)(ba)利用泰勒中值定理證明不等式泰勒公式的余項大體分兩種：佩亞諾型余項，拉格朗日型余項.與帶拉格朗日型余項的泰勒公式相比，帶佩亞諾型余項的泰勒公式對函數f(x)的假設條件較少，只需函數f(X)在X0處n階可導，不需要n1階可導，也不需要在X0的鄰域內存在n階連續導數，因此應用范圍較廣.但是在證明不等式時，精確度卻不如帶拉格朗日型余項白泰勒公式好.利用此原理可以證明一般的不等式，積分不等式，估值不等式等多種不等式這種方法的用法非常廣泛.證明方法：(1)根據已知條件，圍繞證明目標，尋取適當的點將函數在該點展成泰勒展式.(2)根據已知條件，向著有利于證明不等式

22、的方向對上面的展式作適當的處理，直到可以結合已知條件證出不等式為止.下面舉例來說明：例5當0x時，求證:22n1(1)kx2kk0(2k1)!分析由于朗格朗日中值定理很容易證明-2nk2ksinx(1)xxk0(2ksinx,1,1)!而利用泰勒中值定理時，當n1時，不等式為：1x2xsinx3!x3!5!顯然第二個比前一個的不等式的精確度高得多,隨著n的增大，不等式的精確度會大幅度地提高，所以我們在彳曲題過程中，按題目的要求來選擇適當的方法來證明不同的不等式.證令f(X)sinX,那么函數f(X)在0點展開前2n項的泰勒公式，余項取拉格朗形式，那么有：sinx2nk2k1(1)xk0(2k1

23、)!R4n3(X)R4n3(X)二4n3sinxX(4n3)!4n3X./3、sin(y)(4n3)!cos4n3X(4n3)!因為0所以有即X一，所以cos20,從而R2nl(X)0,sinxsinx2n(1)kx2k1k0(2k1)!2n(1)kx2kk0(2k1)!sin(R同理，因為R2n(X)2-X4n1(4n1)!0,所以左端的不等號也成立另外，在遇到高階導數的不等式般都首先考慮泰勒中值定理.像之前的例4.我們也可以用泰勒中值定理來證明，下面具體來說明例4的另一種證法：由題設條件，應用泰勒展開式有：1f2f(a-)f(b)f(b)'f(2)(V)2,2222其中1介于a與亙

24、上之間，2介于二與b之間.22上述兩式相減，且有f(a)f(b)0,得：1ab2f(b)f(a)(-)f(2)f(1),22f(b)f(a)(a粵-|f(2)|f(1).令maxf(2),f(1)8f(),(a,b),則有f(a)f(b)(ab)f(),(a,b).44f()-1|f(b)f(a).(ba)例6設函數f(x)在a,b上二階可導，且f(x)0,f(x)0.,2b求證：對任息的Xa,b,有f(x)f(t).baa證對任意的xa,b，將f(x)在t點展開(ta,b).f()2MMfD型(XD(其中介于X與").注意到f(x)0,所以有f(x)f(t)f(xt).對上述不等式

25、的兩邊對t積分，得：bbf(x)dtf(t)dtaab(ba)f(x)f(t)dtab2f(t)dtabf(xaf(x)(xt)f(b)(xb)因為f(x)0f(b)(xb)f(a)(xa)0.所以f(x)t)dtbaf(t)dtaf(a)(xa)baf(t).a3.5綜合利用微分中值定理證明不等式利用拉格朗日中值定理能夠很方便的判斷出函數的單調性，其方法是：如果函數f(x)在a,b上連續，在a,b內可導，則有：(1)如果在在a,b內函數f(x)的導數f(x)0,則函數f(x)在a,b上單調增加；(2)如果在在a,b內函數f(x)的導數f(x)0,則函數f(x)在a,b上單調減少.另外，函數f

26、(x)在a,b內除有個別點外，仍有f(x)0(或f(x)0),則函數f(x)在a,b上單調增加(或減少)的，即連續函數在個別點處無導數并不影響函數的單調性.再利用函數的單調性及函數圖象上峰值點與各極值點的性質，便可以方便地求出函數的極值，從而證明出不等式.其方法為：確定函數f(x)的定義域，然后求出定義域內的所有駐點，并找出f(x)連續但f(x)不存在的所有點，討論所有駐點和不可導點左右兩側附近f(x)的符號變化情況，確定函數f(x)的極值點，并求出相應的極大值點與極小值點，從而進一步證明不等式2例7求證(1)當x0時，證明ln(1x)x上成立.2(2)當x(0,一)時,證明皿上成立.2xsinx2證(1)令£J)ln(1x)x圣，因為函數f(x)在0,)上連續，在2(0,)內可導，且1x2f(x)r1x12當x0時，f(x)1x0,所以當0時，函數f(x)是單調遞增的.故當x0時，有:從而f(x)ln(1f(0)0,即f(x)0,2x-x)x一成乂.2(2)因為x(0,),所以sinx0,tanx0.令函數f(x)sinxtanxx2,則2有：21、f(x)sinxsecxsinx2xt