1、第 九 章第 九 章直線、平面、簡單幾何體直線、平面、簡單幾何體 1. 在四棱錐在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩是矩形，形，AB=2，BC=a，又側棱，又側棱PA底面底面ABCD. (1)當當a為何值時，為何值時，BD平面平面PAC?試證明試證明你的結論；你的結論； (2)當當a=4時，求證：時，求證：BC邊上存在一點邊上存在一點M，使得使得PMDM；題型題型4 垂直中的探索題垂直中的探索題第二課時第二課時 (3)若在若在BC邊上至少存在一點邊上至少存在一點M，使使PMDM，求，求a的取值范圍的取值范圍.解解：(1)當當a=2時，時，四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形，則則

2、BDAC.又因為又因為PA底面底面ABCD，BD平面平面ABCD，所以，所以BDPA,所以所以BD平面平面PAC.故當故當a=2時，時，BD平面平面PAC. (2)證明：證明：當當a=4時，取時，取BC邊的中點邊的中點M，AD邊的中點邊的中點N，連結，連結AM、DM、MN, 因為四邊形因為四邊形ABMN和四邊形和四邊形DCMN都都是正方形，所以是正方形，所以AMD =AMN+ DMN =45+45=90，即，即DMAM. 又又PA底面底面ABCD，由三垂線定理得，由三垂線定理得PMDM. 故當故當a=4時，時，BC邊的中點邊的中點M使使PMDM. (3)設設M是是BC邊上符合題設的點邊上符合題

3、設的點M， 因為因為PA底面底面ABCD，所以，所以DMAM, 因此，因此，M點應是以點應是以AD為直徑的圓和為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則邊的一個公共點，則AD2AB，即，即a4為所為所求求. 點評：點評：本題的解決中充分運用了平面本題的解決中充分運用了平面幾何的相關知識幾何的相關知識.因此，立體幾何解題中，因此，立體幾何解題中，要注意有關的平面幾何知識的運用要注意有關的平面幾何知識的運用.事實上，事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的得以解決的.探究空間的垂直探究空間的垂直(或平行或平行)的條的條件是近幾年高考立體幾何中一類常見探索件

4、是近幾年高考立體幾何中一類常見探索性題性題.此類題是垂直此類題是垂直(或平行或平行)問題中的逆向問題中的逆向問題，可利用垂直問題，可利用垂直(或平行或平行)的性質逆推得出的性質逆推得出結論成立的一個條件結論成立的一個條件. 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，中，PA 底面底面ABCD，ABAD，ACCD，AB C =60，PA=AB=BC，E是線段是線段PC上的一點上的一點.(1)證明：證明：CDAE；(2)當當E在在PC什么位置時什么位置時PD平面平面ABE？ 解：解：(1)證明：在四棱錐證明：在四棱錐P-ABCD中，中，因為因為PA底面底面ABCD，CD平面平面ABCD，故故PA

5、CD.因為因為ACCD，PAAC=A，所，所以以CD平面平面PAC.而而AE平面平面PAC，所以，所以CDAE. (2)當當為為PC的中點時，有的中點時，有PD平面平面ABE.證明如下：由證明如下：由PA=AB=BC，ABC=60，可得，可得AC=PA.因為因為E是是PC的的中點，所以中點，所以AEPC. 由由(1)知，知，AECD，且，且PCCD =C，所以所以AE平面平面PCD.而而PD平面平面PCD，所以所以AEPD.因為因為PA底面底面ABCD，PD在底面在底面ABCD內的射影是內的射影是AD，ABAD，所以所以ABPD.又又ABAE=A，所以，所以PD平面平面ABE. 2. 在正三棱

6、柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中，中，E為為棱棱BB1上一點上一點.已知平面已知平面A1EC平面平面A A1 C1C，求證：求證：BE=B1E.證明：證明：在平面在平面A1EC內內過點過點E作作EGA1C，垂足為，垂足為G.因為平面因為平面A1EC平面平面AA1C1C，所以，所以EG平面平面AA1C1C. 題型題型5 線面垂直性質的應用線面垂直性質的應用 取取AC的中點的中點F，連結，連結BF.因為因為AB=BC， 所以所以BFAC. 因為平面因為平面ABC平面平面AA1C1C， 所以所以BF平面平面AA1C1C.于是于是BFEG.連結連結FG. 因為因為BE平面平面AA1C1C，所以，所以

7、BEFG.又又BEAA1，所以，所以FGAA1.因為因為F為為AC的中點，所以的中點，所以G為為A1C的中點，的中點，所以所以 ，所以，所以又又BB1=AA1，所以，所以 ，即，即BE=B1E. 點評：點評：線面垂直的判定與性質反映線面垂直的判定與性質反映了了“線線垂直線線垂直”“”“線面垂直線面垂直”“”“面面垂直面面垂直”三者之間的相互轉化，也是證空間有關垂三者之間的相互轉化，也是證空間有關垂直的轉化方向直的轉化方向.如由如由“面面垂直面面垂直”可得出可得出“線面垂直線面垂直”，而證，而證“面面垂直面面垂直”可轉化可轉化為證為證“線面垂直線面垂直”.121AA/FG121AA/BE121B

8、B/BE 在三棱錐在三棱錐P-ABC中，中，PA= PB= P C，APC=90，APB=BPC=60，D為為AC的中點的中點.過過PA、PC 的中點的中點A、C作平作平 面面ABC，使，使PD 平面平面ABC，交，交 PB于于B點點. 求證：平面求證：平面ABC平面平面ABC. 證明：證明：因為因為PA=PC，D為為AC的中點，的中點，所以所以PDAC. 設設PA=a.由題設由題設PAB和和BPC都是正三角形，都是正三角形，APC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 所以所以AB=BC=a，AC= a.連結連結BD，易，易得得PD=BD= AC= a，22122從而從而PD2+BD2=a2=

9、PB2，所以所以PDBD.結合知，結合知，PD平面平面ABC.由已知，由已知，PD平面平面ABC，所以平面所以平面ABC平面平面ABC. 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AB =AC， D為為BC的中點，的中點，E 為為AD上任意一點，上任意一點， F為棱為棱BB1上一點上一點.若若C1FEF， 求求 的值的值.,231BCBB題型題型 線面垂直背景下的求值問題線面垂直背景下的求值問題1BBBF 解：解：因為因為AB=AC，D為為BC的中點，的中點，所以所以ADBC. 又又B1B平面平面ABC， AD平面平面ABC， 所以所以ADBB1， 于是于是AD平面平面BB1C1C. 所

10、以所以DF是是EF在平面在平面BB1C1C內的射影內的射影. 所以所以C1FEF C1FDF， 即即DF2+C1F2=C1D2. 設設BC=2a，BF=x.因為因為BB1BC= ， 所以所以BB1=3a，B1F=3a-x.在在RtC1B1F中，中，C1F2= B1C2+B1F2=4a2+(3a-x)2. 在在RtDBF中，中，DF2=BD2+BF2=a2+x2. 在在RtC1CD中，中，C1D2=CC21+CD2=10a2. 由由a2+x2+4a2+(3a-x)2=10a2， 得得x2-3ax+2a2=0，解得，解得x=a或或x=2a. 故故BFBB1= = 或或 .233132ax3 1.

11、“由已知想性質，由求證想判定由已知想性質，由求證想判定”是是處理直線與平面平行、垂直關系的一般思想處理直線與平面平行、垂直關系的一般思想方法方法.即看到已知條件去想有關的性質定理，即看到已知條件去想有關的性質定理，看到求證的結論去想有關的判定定理，這實看到求證的結論去想有關的判定定理，這實質上就是把綜合與分析的思路結合起來使用，質上就是把綜合與分析的思路結合起來使用，使問題得以解決使問題得以解決. 2. 三垂線定理及其逆定理是判定或證明三垂線定理及其逆定理是判定或證明兩條直線互相垂直的重要理論依據，應用時兩條直線互相垂直的重要理論依據，應用時要先找要先找“平面平面”，再認定，再認定“斜線斜線”和和“射射影影”. 3. 利用線線垂直、線面垂直的有關性質，利用線線垂直、線面垂直的有關性質，將垂直條件或結論轉化為線面位置關系或數將垂直條件或結論轉化為線面位置關系或數量關系，先要確定轉化方向，通過分析綜合量關系，先要確定轉化方向，通過分析綜合法尋求問題的解決途徑法尋求問題的解決途徑. 4. 在證明兩平面垂直時，一般先從現有在證明兩平面垂直時，一般先從現有直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，