1、 專門收集歷年試卷1 專門收集歷年試卷、單項選擇題（本大題共一個是符合題目要求的,第一部分 選擇題（共28分）14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有 請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。a11a12=m,a13a11=n，則行列式a11a 12+a13a 21a22a23a21a21a 22+a 23等于（1設行列式1B. - (m+n) D. m- nA. m+nC. n- m2設矩陣A=A.00，則A-1等于（3B.C.1303設矩陣A. -6C. 2D.,A *是A的伴隨矩陣，貝U A中位于（1, 2）的元素是（B. 6 D. -24. 設A是方陣，如有矩

2、陣關系式AB=AC ,則必有（A. A = 0C. A =0 時 B=C5. 已知3X 4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（A. 1C. 36. 設兩個向量組A. 有不全為B. 有不全為C. 有不全為D. 有不全為a 2,，a s禾口 3入1 ,入2，入s使入入1,入2，入s使入1 （ a 1+ 3 1） +入2 （ 入1 ,入2，入s使入1 （a 1- 3 1） +入2 （ 入1,入2,，入s和不全為0的數入s a s=0禾口卩1 3 1+卩2 3 2+7. 設矩陣A的秩為r，則A中（A.所有r- 1階子式都不為0C.至少有一個r階子式不等于08. 設Ax=b是一非齊次線性方程組，A. n 1

3、 + n 2是Ax=0的一個解a 1 ,0的數0的數0的數0的數)B. B =C 時 A=0 D. | A| = 0 時 B=CAT)等于()B. 2D. 41, 3 2,，3 s均線性相關，則()1 a 1+ 入 2a 2+ + 入s a s=0 禾口 入 1 3 1+ 入 23 2+入 s3 s=0 a 2+ 3 2 )+ + 入 s (as+3s)=0a 2- 3 2 )+ + 入 s (as-3s)=0卩s使入1 a 1+入2 a 2+卩1 ,卩2,- + s 3 s=0)B.所有r- 1階子式全為D.所有r階子式都不為2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（11C.n 1-n 2是Ax

4、=0的一個解9.設n階方陣A不可逆，則必有（B. n什 n 2是Ax=b的一個解22D.2 n 1-n 2是 Ax=b 的一個解）2 專門收集歷年試卷A. 秩（A）< nB.秩（A ）=n- 1C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10. 設A是一個n（> 3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A. 如存在數入和向量a使A a =入a,則a是A的屬于特征值 入的特征向量B. 如存在數入和非零向量a，使（入E- A） a =0,則入是A的特征值C. A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值，a 1 , a 2, a 3依次是A的屬于入1,入

5、2,入3的特征向量，貝U a 1, a 2 , a 3有可能線性相關11. 設入o是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入°的線性無關的特征向量的個數為k,則必有（ ）A. k < 3B. k<33 專門收集歷年試卷勺 4B.¥ 6丿1 1 1 "D. 120Q 0 2非選擇題（共72分）2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每C. k=312. 設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（2A.|A|必為1C.A- 1= AT13. 設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，A. A與B相似B. A與B不等價C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14. 下

6、列矩陣中是正定矩陣的為（）'23 A.吃4丿'1 0 0 'C. 02電 -35第二部分二、填空題（本大題共 10小題，每小題 小題的空格內。錯填或不填均無分。D. k>3）B.|A必為1D. A的行（列）向量組是正交單位向量組B= C AC .則（）# 專門收集歷年試卷# 專門收集歷年試卷15.925彳一 1 ',Z123",B=Q 11丿U亠416 =36.則A+2 B=16.設 A=17. 設 A=(aij)3 x 3 , |A |=2 , Aj表示|A |中元素 aj的代數余子式(i,j=1,2,3 ),則2 2 2(a11 A21 +a

7、12A22 +a13 A23) +(a 21A21 +a22A22 + a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.18. 設向量(2, -3, 5)與向量(-4, 6, a)線性相關，貝Ua=.19. 設A是3x 4矩陣，其秩為3，若n 1, n 2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為.20. 設A是m x n矩陣，A的秩為r（<n），則齊次線性方程組 Ax=0的一個基礎解系中含有解的個數為.21. 設向量a、3的長度依次為2和3,則向量a + B與a - 3的內積（a +3 , a - 3 ） =設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值

8、-1和4,則另一特征值為 .4 專門收集歷年試卷5 專門收集歷年試卷f 0106、1_3_3,已知a =_11108<2>23.設矩陣A=是它的一個特征向量，則a所對應的特征值為.24.設實二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數為 3,則其規范形為三、計算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)120、'23_1'340,B=占40丿<-12b25.設 A=31213.求（1） ABT; （2） |4A|.26.試計算行列式_1A27.設矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程 AB =A+2B.廣1、'3、<0、1-30-10

9、,a 2=2,a 3=2,a 4=4宀I4L103丿a 2 ,028.給定向量組a 1=a 3的線性組合；若是，則求出組合系數。2 試判斷a 4是否為a*1-21,-129.設矩陣A=-2求：(1)秩(A);(2) A的列向量組的一個最大線性無關組。*030.設矩陣A= /-2的全部特征值為1 ,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31. 試用配方法化下列二次型為標準形f(X 1 ,X2 ,X3)= x f 2x2 _3x 3 ' 4x1 x2 4 x 1 x 3 4x2x3 , 并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題(本大題共 2小題，每小題5分，共10分)332.

10、設方陣A滿足A =0 ,試證明E- A可逆，且(E- A)33. 設n 0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解，E 試證明(1) n 1 = n o+E 1, n 2= n o+E 2均是 Ax=b 的解；(2) n 0, n 1, n 2線性無關。答案：一、單項選擇題(本大題共1.D2.B6.D7.C14小題，每小題2 分,3.B4.D8.A9.A-1 2=E+A+A .E 2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.28分）5.C10.B6 專門收集歷年試卷11.A12.B13.D14.C二、填空題(本大題共 10空，每空2分，共20分)15. 633 716.口二7丿16. 417. -101

11、8. n 什c( n 2- n 1)(或 n 2+c(n 2- n 1), c 為任意常數19. n- r20. -521. t26分，共42分）22. 124. zf -.-z2 -.-z： z：三、計算題（本大題共 7小題，每小題<120、*225.解(1) ABT=34034L12b'<-1o86 "=18 10 .<3103(2) |4A|=4 |A|=64|A而120|A |= 340=-2.-121所以 |4A|=64 (- 2) =- 12826.解31251-1 1-513-41113-0 0 10-5-5302011-537 專門收集歷年試

12、卷# 專門收集歷年試卷511-111-1511-620-5-50-5-50-62=30 +10 =40.-5-527.解 AB =A+2B 即(A- 2E) B=A，而,Z223、廠1-4(A -2E) -1=1一01-5L121丿64丿1-4J423所以B=( A- 2E)-1A =1-511064丿V123.丿8 專門收集歷年試卷護 1299 專門收集歷年試卷1035 '0112008800_14_14'1002"01010011電00029.解-2x 1 +x 2 +3x 3=0x 3x2=_1即 *2X2+2x3=43x 1 L '+4x2_x3=9.

13、方程組有唯一解(2,1,對矩陣A施行初等行變換1-2一 02000 6-2A032 8-2963/丿1)T，組合系數為2， 1, 1)Z_2130 ''0_53_2)1401_30_102240 11234二 9 £ 13_1 12 丿28.解一勺035"i0 112001100 0；所以a 4=2 a 1 + a 2 + a 3,組合系數為(2 , 1, 1)解二 考慮 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3a 3 ,(1-2-102 "11-2-102、10328-30328-3=B0006-20003-100-217 J0000 J(1 )

14、秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)30.解 A的屬于特征值 入=1的2個線性無關的特征向量為 E 1= ( 2, - 1, 0) T,E 2= (2, 0, 1) T.f 廠、2時5 /525/15經正交標準化，得n 1 =/5,n 2=4 亦/15< 0丿用/3丿入=-8的一個特征向量為<1、f 1/ 3、E 3=2，經單位化得n 3=2/ 3'

15、;2 v'5 / 52J75/15所求正交矩陣為T = t'5/5 4 75/15075/31 /32 /3_2 / 31 0 0對角矩陣 D = 0 1010 專門收集歷年試卷# 專門收集歷年試卷# 專門收集歷年試卷31.解1 / 32 /3.)/3 ;r.-y 1 =x 1+2x2 2x3設 y2=X2-X3 ，y3 二x3彳-2因其系數矩陣C= 010 0X1 =y1 2y2即M2 =y2 +y3、& =y301可逆，故此線性變換滿秩。1丿'2 V5 / 52用/15(也可取T =0-J5/3&5/5.<5/152 2 2f(x 1，X2， X3)= ( x 1+2X2- 2X3)- 2X2 +4X2X3- 7X3 =(X1+2X2- 2X3) 2- 2 ( X2-X3) 2- 5X32.經此變換即得f（x 1，X2，X3）的標準形2c2廠2y1 - 2y2 - 5y3 .四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10 分）32. 證 由于（E- A）（ E+ A+A2）= E- A3= E,所以E- A可逆，且（E- A） -1= E+A+A2 .33. 證 由假設 An 0= b, AE 1=0, AE 2=