1、立體幾何小題難題訓練1已知正方體ABCD A1B1C1D1，則過點A與 AB、 BC、 CC1 所成角均相等的直線有（ ）A 1 條 B 2 條 C 4 條 D無數條2如圖，平面PAB平面， AB? ，且PAB為正三角形，點D是平面 內的動點，ABCD是菱形，點O 為 AB中點，AC與 OD交于點Q， I? ，且l AB，則PQ與 I 所成角的正切值的最小值為（CD 3第 13 頁（共 34 頁）3如圖，點E為正方形ABCD邊 CD上異于點C， D的動點，將ADE沿 AE翻折成SAE，使得平面SAE平面ABCE，則下列說法中正確的有（存在點E使得直線SA平面SBC；平面SBC內存在直線與SA平

2、行平面ABCE內存在直線與平面SAE平行；存在點E使得SE BAA 1 個 B 2 個C 3 個D 4 個C4設三棱柱ABC A1B1C1 的側棱與底面垂直，BCA=9°0， BC=CA=2，若該棱柱的所有頂點都在體積為的球面上，則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值D5已知異面直線a與 b 所成的角為50°， P為空間一點，則過點P與 a、 b 所成的角都是30°的直線有且僅有（）A 1 條 B 2 條 C 3 條 D 4 條6已知矩形ABCD， AB=1， BC= 將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中（）A存在某個位置，使得直線AC與直線

3、BD垂直B存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C存在某個位置，使得直線AD 與直線BC垂直D對任意位置，三對直線“A與CBD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直7在正方體ABCD A1B1C1D1中，E， F分別為棱AA1， CC1 的中點，則在空間中與三條直線A1D1， EF， CD都相交的直線（）A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無數條8正方體ABCDA1B1C1D1 中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P 在對角線BD1 上，給出以下命題：當 P 在 BD1 上運動時，恒有MN面APC；若A， P， M 三點共線，則= ；若= ，則C1Q面APC；若過

4、點P 且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有m 條；過點P 且與直線AB1 和 A1C1 所成的角都為60°的直線有n 條，則m+n=7其中正確命題的個數為（）A 1B 2C 3D 49如圖，四面體OABC的三條棱OA， OB， OC兩兩垂直，OA=OB=2， OC=3， D為四面體OABC外一點給出下列命題不存在點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形不存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐存在點D，使 CD與 AB 垂直并且相等存在無數個點D，使點O 在四面體ABCD的外接球面上其中真命題的序號是（）ABCD10如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=a， BC=1，BAD=60

5、°， E為線段CD（端點 C、 D 除外）上一動點，將ADE沿直線AE翻折，在翻折過程中，若存在某個位置使得直線AD與 BC垂直，則a的取值范圍是（）11如圖，在矩形ABCD中，AB=2， AD=4，點E 在線段 AD 上且AE=3，現分別沿 BE， CE將ABE，DCE翻折，使得點D 落在線段AE上，則此時二面角DEC B 的 余 弦 值 為 （）12如圖，已知平面平面 ，A、 B是平面 與平面 的交線上的兩個定點，DA? ，CB? ，且 DA， CB， AD=4， BC=8，AB=6，在平面 內有一個動點 P，使得APD= BPC，則PAB的面積的最大值是（）A 12 B 24

6、C 32 D 4813在四面體S ABC中，AB BC， AB=BC= ， SA=SC=，二面角2S AC B 的余弦值是，則該四面體外接球的表面積是（）ABC 6 D14過空間中一定點，作一直線，使其與某正方體六個面所成的角都相等，這樣A 1 B 2 C 4 D無數條15如圖，邊長為3 正方形ABCD，動點M， N 在 AD， BC上，且MN CD，沿MN 將正方形折成直二面角，設AM=x，則點M 到平面 ABC的距離的最大值為16正三棱錐P ABC內接于半球O，底面ABC在大圓面上，則它相鄰的兩個側面所成二面角的余弦值為（ABCD17在長方形ABCD中，AD=2， AB=4，點E是邊CD上

7、的一動點，將ADE沿直線 AE翻折到AD1E，使得二面角D1 AE B為直二面角，則cos D1AB的最大值為（）18如圖，已知正方體ABCD A1B1C1D1 棱長為8，點H 在棱AA1上，且HA1=2，在側面BCC1B1內作邊長為2的正方形EFGC1， P是側面BCC1B1 內一動點且點P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長，則當點P運動時，| HP| 2的最小值是（）A 87 B 88 C 89 D 9019 在如圖所示的空間直角坐標系O xyz中， 一個四面體的頂點坐標分別為（ 0，0，2）， （2，2，0）， （ 1，2，1） ， （2，2，2），給出的編號為，的四個圖，則該四面體

8、的正視圖和俯視圖分別為（）A和B和C和D和20 三棱錐P ABC中， 頂點 P 在平面ABC上的射影為O， 且滿足，A 點在側面PBC上的射影H 是 PBC的垂心，PA=6，則此三棱錐體積最大值是A 12 B 36 C 48 D 2421已知四面體ABCD中，AB=2，CD=1， AB與 CD間的距離與夾角分別為3 與30°，則四面體ABCD的體積為（AB 1C 2 D二填空題（共9 小題）22如圖，已知平面四邊形ABCD， AB=BC=3， CD=1， AD= ，ADC=90°，沿直線 AC將ACD翻折成ACD ， 直線AC與 BD所成角的余弦的最大值是23三棱柱ABC

9、A1B1C1 中，底面邊長和側棱長都相等，BAA1= CAA1=60°，則異面直線AB1 與 BC1 所成角的余弦值為24如圖，正方體ABCD A1B1C1D1，則下列四個命題： P 在直線BC1 上運動時，三棱錐A D1PC的體積不變； P在直線BC1 上運動時，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變； P 在直線BC1 上運動時，二面角P AD1 C的大小不變； M 是平面A1B1C1D1 上到點D 和 C1 距離相等的點，則M 點的軌跡是過D1 點的直線，其中真命題的編號是 （寫出所有真命題的編號）25如圖， 正方形ABCD的邊長為3，點E，F分別在邊AB，BC上，且 =2，將

10、此正方形沿DE， DF折起，使點A， C重合于點P，若O為線段 EF任一點， DO與平面PEF所成的角為，則 tan 的最大值是26如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD BC， AB BC，側面 PAD同時垂直側面PAB與側面PDC 若 PA=AB=AD= PB， 則 =，直線PC與底面ABCD所成角的正切值為27如圖，棱長為3 的正方體的頂點A在平面 上，三條棱AB， AC， AD都在平面 的同側，若頂點B， C 到平面 的距離分別為1 ， ，則頂點D 到平面 28如圖，平面ABC平面， D 為線段 AB 的中點，CDB=45°，點 P為面內的動點，且 P到直

11、線CD的距離為， 則APB的最大值為 29如圖， 在二面角ACDB 中，BCCD，BC=CD=，2 點A在直線AD上運動，滿足AD CD， AB=3現將平面ADC沿著CD進行翻折，在翻折的過程中，線段立體幾何難題參考答案與試題解析一選擇題（共21 小題）1已知正方體ABCD A1B1C1D1，則過點A與 AB、 BC、 CC1 所成角均相等的直線有（）A 1 條 B 2 條 C 4 條 D無數條【解答】解：若直線和AB， BC所成角相等，得直線在對角面BDD1B1，內或者和對角面平行，同時和CC1 所成角相等，此時在對角面內只有體對角線BD1 滿足條件此時過A的直線和BD1，平行即可，同理體對

12、角線A1C， AC1， DB1，也滿足條件，則過點A與 AB、 BC、 CC1 所成角均相等的直線只要和四條體對角線平行即可，共有 4 條故選：C2如圖，平面PAB平面， AB? ，且PAB為正三角形，點D是平面 內的動點，ABCD是菱形，點O 為AB中點，AC與OD交于點Q，I? ，且lAB，則PQ與 I 所成角的正切值的最小值為（CD 3解：如圖，不妨以CD在 AB前側為例以 O為原點，分別以OB、 OP所在直線為y、 z軸建立空間直角坐標系，設AB=2，OAD=（0<< ） ，則P（0，0，） ，D（ 2sin ，1+2cos， 0） ， Q（， 0） ，設 與 AB 垂直的

13、向量，則 PQ與 l 所成角為則 | cos | =| =| =令 t=cos ( 1< t< 1) ，則 s= ， s=，令 s =，得 0t=8，當 t=8 時， s有最大值為16 6 則cos 有最大值為，此時 sin 最小值最小為正切值的最小值為=故選：B3如圖，點E為正方形ABCD邊 CD上異于點C， D的動點，將ADE沿 AE翻折成SAE，使得平面SAE平面ABCE，則下列說法中正確的有（）存在點E使得直線SA平面SBC；平面SBC內存在直線與SA平行平面ABCE內存在直線與平面SAE平行；存在點E使得SE BAA 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個【解答】 解

14、：若直線SA平面SBC，則直線SA與平面SBC均垂直，則SA BC，又由AD BC，則SA AD，這與SAD為銳角矛盾，故錯誤；平面SBC直線SA=S，故平面SBC內的直線與SA相交或異面，故錯誤；取 AB 的中點F，則CF AE，由線面平行的判定定理，可得CF SAE平行，故正確；若SE BA，由EC AB，可得SE EC，這與SEC為鈍角矛盾，故錯誤；故選：A4設三棱柱ABC A1B1C1 的側棱與底面垂直，BCA=9°0， BC=CA=2，若該棱柱的所有頂點都在體積為的球面上，則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為（）ABCD【解答】解：BCA=9°0， BC=CA

15、=，2 AB=2 ，且為截面圓的直徑；又三棱柱外接球的體積為，解得外接球的半徑為R=2；第 15 頁（共 34 頁）第 27 頁（共 34頁） ABC1 中，AB BC1， AB=2 ， AC1=2R=4， BC1=2 ；又 = +，=+ =，?= ?（）? =0 0 0 = 8，| =| =；異面直線B1C與 AC1 所成的角 的余弦值為：cos = | =| = 故選：Bb 所成5已知異面直線a與 b 所成的角為50°， P為空間一點，則過點P與 a、的角都是30°的直線有且僅有（）A 1 條 B 2 條 C 3 條 D 4 條【解答】 解：把異面直線a， b 平移到相

16、交，使交點為P，此時APB=50° ，過 P點作直線c平分APB，這時c與 a， b 所成角為25°，過 P 點作直線d 垂直 a 和 b，這時 d 與 a， b 所成角為90°，直線從 c向兩邊轉到d 時與a， b 所成角單調遞增，必有經過30°，因為兩邊，所以有2 條故選：B6已知矩形ABCD， AB=1， BC= 將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中（）A存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C存在某個位置，使得直線AD 與直線BC垂直D對任意位置，三對直線“A與CBD”，“AB與C

17、D”，“AD與BC”均不垂直【解答】解：如圖，AE BD， CF BD，依題意，AB=1， BC= ， AE=CF= ，BE=EF=FD= ，A，若存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直，則BD AE，BD平面AEC，從而BD EC，這與已知矛盾，排除A；B，若存在某個位置，使得直線AB 與直線CD垂直，則CD平面ABC，平面ABC平面 BCD取BC中點M， 連接ME，則MEBD， AEM就是二面角ABDC的平面角，此角顯然存在，即當A在底面上的射影位于BC的中點時，直線AB與直線CD垂直，故 B 正確；C，若存在某個位置，使得直線AD 與直線BC垂直，則BC平面ACD，從而平面ACD平面B

18、CD，即A在底面BCD上的射影應位于線段CD上，這是不可能的，排除 CD，由上所述，可排除D故選：B7在正方體ABCD A1B1C1 D1中，E， F分別為棱AA1， CC1 的中點，則在空間中與三條直線A1D1， EF， CD都相交的直線（）A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無數條【解答】 解：在EF上任意取一點M，直線A1D1 與 M 確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1 個交點N，當 M 取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN 與這3 條異面直線都有交點如圖：故選：D8正方體ABCD A1B1C1D1 中，M， N， Q分別是棱D1C1， A1D1，

19、BC的中點，點P 在對角線BD1 上，給出以下命題：當 P 在 BD1 上運動時，恒有MN面APC；若A， P， M 三點共線，則= ；若= ，則C1Q面APC；1若過點P 且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有m 條；過點P 且與直線AB1 和 A1C1 所成的角都為60°的直線有n 條，則m+n=7其中正確命題的個數為（）A 1B 2C 3D 4【解答】 解： MN 中點R， AC的中點S，設BD1 與 RS的交點是Q，若P與 Q重合時，此時MN 在平面PAC內，故1 錯誤若A， P， M 三點共線，若A， P， M 三點共線，由D1M AB，= ，正確；若= ，由可得：A，

20、 P， M 三點共線，設對角線BD AC=O，連接OM，OQ，則四邊形OQC1M 是平行四邊形， C1Q OM，而 M 點在平面APC內， C1Q平面APC，因此正確；若過點P 且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有A1C， D1B， AC1， DB1，4 條連接B1C， A1C1 AC，由正方體的性質可得AB1C 是等邊三角形，則點P 取點D1，則直線AD1， CD1、 D1B1滿足條件，過點P且與直線AB1和 A1C1所成的角都為 60°的直線有且只有3 條，則 m+n=7 條，因此正確其中正確命題為，其個數為3故選：C9如圖，四面體OABC的三條棱OA， OB， OC兩兩垂

21、直，OA=OB=2， OC=3， D為四面體OABC外一點給出下列命題不存在點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形不存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐存在點D，使CD與 AB 垂直并且相等存在無數個點D，使點O 在四面體ABCD的外接球面上其中真命題的序號是（）ABCD解： 四面體OABC的三條棱OA， OB， OC兩兩垂直，OA=OB=2， OC=3，AC=BC= ， AB=當四棱錐CABD與四面體OABC一樣時，即取CD=3， AD=BD=2此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形，故不正確使 AB=AD=BD，此時存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐，故不正確；取 CD=AB

22、， AD=BD，此時CD垂直面ABD，即存在點D，使CD與 AB垂直并且相等，故正確；先找到四面體OABC的內接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可存在無數個點D，使點O 在四面體ABCD的外接球面上，故正確故選：D10如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=a， BC=1，BAD=60°， E為線段CD（端點 C、 D 除外）上一動點，將ADE沿直線AE翻折，在翻折過程中，若存在某個位置使得直線AD與 BC垂直，則a的取值范圍是（）A （， +）B （， +） C （+1， +） D （+1， +）【解答】 解：設翻折前的D 記為D ，AD BC， BC AD ，則在翻折過程中，存

23、在某個位置使得直線AD 與 BC垂直，只需保證DAD =900， DAE = DAE，由極限位置知，只需保證D AE 45°即可在D AE中，AD=，1DAE=45， °ADE=120，則 °DEA=15，°由正弦定理知，則D E= 因為E 為線段CD（端點C，D 除外）上的一動點，則 a>，故選：D11如圖，在矩形ABCD中，AB=2， AD=4，點E 在線段AD 上且AE=3，現分別沿 BE， CE將ABE，DCE翻折，使得點D 落在線段AE上，則此時二面角D值為BC=4， CD=2， CD=2， DE=1，BCD CDE，DBC= ECD，D

24、BC= ECD，ECD+ ODC=9° 0，即BD CE， 折起后， BO CE， DO CE，BOD是二面角D EC B的平面角，在BOD中，OD= ， OB=BD OD=2 =BD=2 ，由余弦定理得cos BOD= ，故選：D12如圖，已知平面平面 ，A、 B是平面 與平面 的交線上的兩個定點，DA? ，CB? ，且 DA， CB， AD=4， BC=8，AB=6，在平面 內有一個動點 P，使得APD= BPC，則PAB的面積的最大值是（）A 12 B 24 C 32 D 48【解答】 解：由題意平面平面，A、B 是平面 與平面 的交線上的兩個定點，DA? ，CB?，且DA，

25、CB，PAD與PBC是直角三角形，又APD= BPC，PADPBC，又AD=4，BC=8， PB=2PA作 PM AB，垂足為M，令AM=t R，在兩個Rt PAM與 Rt PBM中，PM 是公共邊及PB=2PA PA2 t2=4PA2（6 t） 2解得PA2=12 4t PM= S= × AB× PM= × 6×=3=3 12即三角形面積的最大值為12故選：A13在四面體S ABC中，AB BC， AB=BC= ， SA=SC=，二面角2S AC B 的余弦值是，則該四面體外接球的表面積是（）ABC 6 D【解答】 解：取AC中點D，連接SD， BD，

26、因為，所以BD AC，因為SA=SC=，所以2SD AC， AC平面SDB所以SDB為二面角S AC B在，所以AC=2取等邊SAC的中心E，作EO平面SAC，過D 作 DO平面 ABC，O 為外接球球心，所以ED=， 二面角 SACB 的余弦值是， 所以， OD= ，所以 BO= =OA=OS=OC所以 O 點為四面體的外接球球心，其半徑為，表面積為6 故選：C14過空間中一定點，作一直線，使其與某正方體六個面所成的角都相等，這樣的直線有幾條（）A 1 B 2 C 4 D無數條【解答】 解：正方體六個面中，相對的面互相平行如圖，在正方體ABCD A B C中， D研究體對角線BD 與下底面、

27、前面，右面所成的角的關系由正方體的結構特征，可知DD 面ABCD，BD是 BD在面ABCD上的射影D BD是 BD 與面ABCD所成的角同理D BA是 BD與面A B B所成的角 A D B是C BD 與面B C 所成的角CB由直角三角形全等的HL判定定理，可知D BD D BA D BC， D BD= D BA= D BC所以對角線BD 與下底面、前面，右面所成的角相等，從而對角線BD 與正方體六個面所成的角都相等同樣證明得出其余三條體對角線也與正方體六個面所成的角都相等所以過空間一點且與體對角線平行的直線與正方體六個面成等角共有4 條故選：C第 43 頁（共 34 頁）15如圖，邊長為3

28、正方形ABCD，動點M， N 在 AD， BC上，且MN CD，沿MN 將正方形折成直二面角，設AM=x，則點M 到平面 ABC的距離的最大值為ABCD解：由題意，過M 作 ME AC，垂足為E，則ME平面ABC，在AMC中，x=3 x，即時， ME 的最大值為故選： B16正三棱錐P ABC內接于半球O，底面ABC在大圓面上，則它相鄰的兩個側面所成二面角的余弦值為（）ABCD【解答】 解：由題意，設半球的半徑為單位1，則正三角形ABC的邊長為；三棱錐的高為1，所以側邊PA=PB=PC= ； 在側面上以任一個底角為頂點做高，它的長度等于根據余弦定理，三角形的兩邊長為，底邊為 從而余弦值就是故選

29、：D17在長方形ABCD中，AD=2， AB=4，點E是邊CD上的一動點，將ADE沿直線 AE翻折到AD1E，使得二面角D1 AE B為直二面角，則cos D1AB的最大【解答】解：在長方形ABCD中，過D 作 DO AE于 O，設DAE= ，則0< < ，則折疊后使得二面角D1 AE B為直二面角，則 D1A面AEB，則D1OB是直角三角形， DO=2sin， AO=2cos ， OB2=4cos2 +16 2× 2cos× 4× cos（ ） =4cos2 +16 2× 2cos× 4× sin 2=4cos 8sin

30、2 +16，則 BD12=OD12+OB2=4sin2 +16+4cos2 8sin2 =208sin2 ， BD12=4+16 2× 4× 2cos D1AB=20 16cos D1AB，要使2cos D1AB最大，則只需要BD12最小即可， 0< < ，0< 2 < ，即當 sin2 =時，1BD12最小，此時BD12=20 8=12，由 20 16cos D1AB=12得 cos D1AB= ，18如圖，已知正方體ABCD A1B1C1D1 棱長為8，點H 在棱AA1上，且HA1=2，在側面BCC1B1內作邊長為2的正方形EFGC1， P是側面

31、BCC1B1 內一動點且點P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長，則當點P運動時，| HP| 2的最小值是（）A 87 B 88 C 89 D 90【解答】 解：建立空間直角坐標系，如圖所示，過點 H 作 HM BB，垂足為M，連接MP，則 HM PM， HP2=HM2+MP2；當 MP 最小時，HP2最小，過 P 作 PN CC，垂足為N，設 P（ x， 8， z） ，則F（ 2， 8，6）， M （8， 8， 6） ， N（ 0， 8， z） ，且 0x8，0z8， PN=PF， =x，化簡得 4x4=（z6）2， MP2=（ x 8） 2+（ z 6） 2=（ x 8） 2+4x 4=

32、x2 12x+60=（ x 6） 2+24 24，當 x=6時，MP2取得最小值，此時HP2=HM2+MP2=82+24=88為最小值故選：B19 在如圖所示的空間直角坐標系O xyz中， 一個四面體的頂點坐標分別為（ 0，0，2）， （2，2，0）， （ 1，2，1） ， （2，2，2），給出的編號為，的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）A和B和C和D和【解答】 解：在坐標系中，標出已知的四個點，根據三視圖的畫圖規則，可得三棱錐的正視圖和俯視圖分別為，故選：D20 三棱錐P ABC中， 頂點 P 在平面ABC上的射影為O， 且滿足，A 點在側面PBC上的射影H 是PBC的垂心，PA

33、=6，則此三棱錐體積最大值是（）A 12 B 36 C 48 D 24【解答】 解：如圖，O 是 P 在平面ABC內的射影，且滿足， O 為三角形ABC的重心，連接AO并延長交BC于 D，連接BO并延長交AC于F，則D、 F 分別為BC和 AC的中點，AH平面PBC，BC? 平面PBC，AHBC， H 為三角形PBC的垂心，PH BC，又PH AH=H，BC平面PAH，BCPA，PO平面ABC，BC? 平面ABC，POBC，又PA PO=P，BC平面PAO，BC AO， BC ADD 為 BC的中點，AD BC，AB=ACCHPB，AHPB，AH CH=H，PB面AHC，PBAC，又PO AC

34、， PO PB=P，AC平面PBO， AC BO， AC BF，又F為 AC的中點，AB=BC，三角形 ABC為等邊三角形設三角形ABC的邊長為x，則 AD=， AO=，又 PA=6， PO=，即 x= 時 “ =成立 ”故選： B21已知四面體ABCD中，AB=2， CD=1， AB與 CD間的距離與夾角分別為3 與30°，則四面體ABCD的體積為（）AB 1 C 2 D【解答】 解：過 CD與公垂線的平面三角形面積是，AB與 CD間的夾角為30°，所以棱錐的高是2sin30 =°1，所以棱錐的體積是：，故選：A二填空題（共9 小題）22如圖，已知平面四邊形AB

35、CD， AB=BC=3， CD=1， AD= ，ADC=90°，沿直線 AC將ACD翻折成ACD ， 直線 AC與 BD所成角的余弦的最大值是【解答】 解：如圖所示，取AC的中點O，AB=BC=3，BO AC，在 Rt ACD 中，= 作 DE AC，垂足為E， D E= =CO= ， CE= =， EO=CO CE= 過點 B作BFAC，作FEBO交BF于點F，則EFAC連接DFFBD為直線AC與 BD所成的角則四邊形BOEF為矩形，BF=EO= EF=BO=則FED為二面角D CA B的平面角，設為則 DF 2=+ 2×cos = 5cos ， cos =1時取等號 D

36、B 的最小值 =2直線AC與 BD 所成角的余弦的最大值= 也可以考慮利用向量法求解故答案為：23三棱柱ABC A1B1C1 中，底面邊長和側棱長都相等，BAA1= CAA1=60°，則異面直線AB1 與 BC1 所成角的余弦值為【解答】 解：如圖，設= ， ，棱長均為1，則 =，=（） ?（） =+=+= 1+ +1=1|=|=cos<，>=>=AB1 與 BC1 所成角的余弦值為24如圖，正方體ABCD A1B1C1D1，則下列四個命題： P 在直線BC1 上運動時，三棱錐A D1PC的體積不變； P在直線BC1 上運動時，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變

37、； P 在直線BC1 上運動時，二面角P AD1 C的大小不變； M 是平面A1B1C1D1 上到點D 和 C1 距離相等的點，則M 點的軌跡是過D1 點的直線，其中真命題的編號是 （寫出所有真命題的編號）【解答】 解： BC1平面ACD1， BC1上任意一點到平面AD1C的距離相等，所以體積不變，正確 P 在直線BC1 上運動時，直線AB 與平面ACD1 所成角和直線AC1 與平面ACD1所成角不相等，所以不正確當P 在直線BC1 上運動時，AP的軌跡是平面PAD1，即二面角P AD1 C的大小不受影響，所以正確空間中到點D 和 C1 距離相等的點的軌跡是線段DC1 的中垂面，又點M 在面A

38、1B1C1D1內， 則點 M 的軌跡是面A1B1C1D1 與 線段DC1 的中垂面的交線，即 AD1，所以正確故答案為：=2，25如圖， 正方形ABCD的邊長為3，點E，F分別在邊AB，BC上，且將此正方形沿DE， DF折起，使點A， C重合于點P，若O為線段EF任一點，DO與平面PEF所成的角為，則 tan 的最大值是解：正方形ABCD的邊長為3，= =2， AE=CF=，2 BE=BF=，1則 EF= ，折疊后對應的圖形如圖，則此時EP=FP=AE=， 2 CD CF， DA AE，折疊后，PD PF， DP PE，即 PD平面EFP，則DOP是 OD與底面EFP所成的角，且DP=3，則

39、tan =tan DOP= =，則要使 tan 最大，則只要OP最小即可，此時OP EF，即 O 是 EF的中點，則 OE= EF= ， OP=，則 tan 的最小值為tan = =，故答案為：26如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD BC， AB BC，側面PAD同時垂直側面PAB與側面PDC若PA=AB=AD= PB，則=直線PC與底面ABCD所成角的正切值為解：延長BA， CD交于H，連接PH，可得平面PAB平面PCD=PH，由側面PAD同時垂直側面PAB與側面PDC，運用面面垂直的性質定理，可得PH平面PAD，即有HP PA，設 PB= ，由 PA=AB=AD= PB，可得PA=AB=AD=，1在PAB中，由余弦定理可得，cos PAB=，即有PAB=120°，在直角三角形HPA中，HAP=6°0，可得 AH=2，在三角形HBC中，由三角形的相似知識可得，=；在HPA中，HP=APtan60° = ，在直角三角形AHD中，HD= ，在直角三角形HPD中，PD= ，PA2+AD2=PD2，可得AD PA，又 AD AB， AB PA=A，即有AD平面PAB，BC AD，可得BC平面PAB，設 P 到平面ABCD的距離為d，VP A