1、關于二重積分的計算現在學習的是第1頁，共22頁xbad 設bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分現在學習的是第2頁，共22頁ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),

2、()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第3頁，共22頁oxy說明說明: (1) 若積分區域既是X型區域又是Y 型區域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第4頁，共22頁xy211xy o2

3、21d y例例1. 計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區域. x解法解法1. 將D看作X型區域, 則:DI21dxyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y型區域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第5頁，共22頁例例2. 計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21

4、yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第6頁，共22頁例例3. 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區域.oxyDxxy 解解: 由被積函數可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第7頁，共22頁例例4. 交換下列積分順序2280222

5、2020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第8頁，共22頁xyoD性質：性質：設函數),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當區域關于 y 軸對稱, 函數關于變量 x 有奇偶性時, 仍1D在 D

6、 上d),(21Dyxf在閉區域上連續,域D 關于x 軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxDD 為圓域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第9頁，共22頁例例5. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224機動 目錄 上頁

7、 下頁 返回 結束 現在學習的是第10頁，共22頁xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos對應有二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下, 用同心圓 =常數則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkkkkr221內取點kkkrr221)(及射線 =常數, 分劃區域D 為krkrkkkr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第11頁，共22頁kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(dd即Df)sin,cos(dddd機動 目錄 上

8、頁 下頁 返回 結束 kkkkkr現在學習的是第12頁，共22頁Do)(1)(2)(1o)(2)()(21d)sin,cos(f設,)()(:21D則Dfdd)sin,cos(d特別特別, 對20)(0:DDfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(f20d)(oD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第13頁，共22頁思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答答: ;0) 1 ()(Doyx)(Doyx問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第14頁，共22頁例例6. 計算,dd22Dyxyxe其

9、中.:222ayxD解解: 在極坐標系下,200:aD原式Dd02aeae02212 )1(2ae2xe的原函數不是初等函數 ,故本題無法用直角2redd20d由于故坐標計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第15頁，共22頁例例7. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內的)立體的體積. 解解: 設由對稱性可知20,cos20:aDdd4422DaV20d4cos2022d4aad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第16頁，共22頁內容小結內容小結(1) 二重積分

10、化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區域為12D(x,y) y (x)yy (x),axb則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區域為12D(x,y) x ( y)xx ( y),cyd則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第17頁，共22頁12D(r, )()r(), DDfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(df極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區域為ddDo)

11、(1)(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第18頁，共22頁(3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便：積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性及其他性質機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第19頁，共22頁思考與練習思考與練習1. 設, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示:交換積分順序后, x , y互換oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010dxI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010dx10dxyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 現在學習的是第20頁，共22頁axy2解：解：原式ay0daay2d2