1、簡單幾何體的表面積與體積I要點(diǎn)梳理I1.柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)=2<hV=Sh=<2h圓錐S側(cè)=<1V=；Sh=；42h=1他712r2333圓臺S側(cè)=兀（+r2）1V=1（S上+S下+、/s上S下）h3Mr2+r2+r1r2）h3直棱柱S側(cè)=ChV=_Sh正棱錐1S側(cè)=2Ch1V=oSh3正棱臺1S側(cè)=2（C+C，獷V=（S±+rS下+、/s上s下）h3球S球面=4jR24Yv=-五332.幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和.（2）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形：它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積

2、之和.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 .幾何體的側(cè)面積和全面積幾何體的側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和.對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行.要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來求解相關(guān)問題.如直棱柱（圓柱）側(cè)面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解.再如圓錐側(cè)面展開圖為扇形，此扇形的特點(diǎn)是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長利用這一點(diǎn)可以求出展開圖扇形的圓心角的大小.2 .等積法等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角

3、形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形（或三棱錐）的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值.I基礎(chǔ)自測I1 .圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是.2 .設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）.則該幾何體的體積為m3.T-KIb-3T主視圖左視圖h-33 .表面積為3兀的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為 .4 . 一個(gè)球與一個(gè)正方體的各個(gè)面均相切，正方體的邊長為a,則球的表面積為 5 .如圖所示，在棱長為 4的正方體 ABCDAiBiCiDi中，P是AiBi上一點(diǎn),1 ，一一，且PBi=4AiBi,則多面體P-BBiCiC的體

4、積為 .題型分類深度剖析音 SiJwvAv. zx stkw. co m 免釜聆聽名片教蜉柄題題型一簡單幾何體的表面積歐i 一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.48B.32+8后C.48+8后D.80思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后再求表面積.探究提高(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積

5、與底面圓的面積之和.費(fèi)式訓(xùn)城1一個(gè)幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是cm2H2-*1 惆箱用題型二簡單幾何體的體積隋2】如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCDAiBiCiDi的棱AiA、CCi的中點(diǎn)，求四棱錐CiBiEDF的體積.思維啟迪：思路一：先求出四棱錐CiBiEDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積；思路二：先將四棱錐Ci-BiEDF化為兩個(gè)三棱錐BiCiEF與D-CiEF,再求四棱錐Ci-BiEDF的體積.解方法一連接AiCi,BiDi交于點(diǎn)Oi,連接BiD,EF,過Oi作OiH，BiD于HEF/AiCi,且AiCi.8平面BiEDF,

6、AiCi/平面BiEDF.二Ci到平面BiEDF的距離就是AiCi到平面BiEDF的距離.平面BiDiDL平面BiEDF,平面BiDiDA平面BiEDF=BiD,OiH,平面BiEDF,即OiH為棱錐的高.BiOiHsBiDDi,OiH =BiOi DDiBiD6"6"aVCi BiEDF1 一一=3s四邊形BiEDF OiH1 - 2 1-2 1-3 1-3a a6-61- 6萬法二連接EF,BiD.設(shè)Bi到平面CiEF的距離為hi,D到平面CiEF的距離為h2,則hi+h2=BiDi="2a.由題意得，VCiBiEDF=VBiCiEF+VDCiEF113=SA

7、CiEF(hi+h2)=-a3.探究提高在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，常常需要用到分割法.在求一個(gè)幾何體被分成兩部分的體積之比時(shí)，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個(gè)幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積變或訓(xùn)練2求出其體積.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，ABC是邊長為i的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（）題型三幾何體的展開與折疊問題A.62B.63C.322D. 2于O,剪去 AOB,將剩余頂點(diǎn)的四面體的體積為3(1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、

8、C、D、O為(2)有一根長為3兀cm底面直徑為2cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為cm.思維啟迪：(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關(guān)系；(2)可利用圓柱的側(cè)面展開圖.(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題.究式訓(xùn)練3如圖，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個(gè)邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是思想方法感悟提高方法與技巧1 .對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決.2

9、 .要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.3 .求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.4 .一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決.練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿分：57分）1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為-、選擇題（每小題5分，共20分）1.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為A.6B.92.已知高為3的直棱柱ABCA'B'C'C.的底面是邊長為1的正三角形（如右圖所示），則三棱錐B'-ABC的體積為（B.2._3D.41A.46,底面邊長為3.正六棱柱的高為A.4

10、8（3+電）C.24（如十柩4,則它的全面積為B. 48(3+2V3)D.1444.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是h*-4-*i左視困A.28+6乘C. 56+12季B.30+65D. 60+12，5二、填空題（每小題5分，共15分）5. 如圖，正方體ABCDAiBiCiDi的棱長為1,E,F分別為線段AAi,BiC上的點(diǎn)，則三棱錐DiEDF的體積為6. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m3.帕視陽7. 已知三棱錐ABCD的所有棱長都為J2,則該三棱錐的外接球的表面積為三、解答題（共22分）8. （i0分）如圖所示，在邊長為5+啦的正方形ABCD中，以A

11、為圓心畫一個(gè)扇形，以。為圓心畫一個(gè)圓，M,N,K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，求圓錐的全面積與體積.H F9. （i2分）有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度.d.2兀十43那么三棱錐 M EBC的體積為 212A.-VB-VC-V5333.已知球的直徑 SC= 4, A、B是該球球面上的兩點(diǎn),()3D.不AB= 也，/ASC=/BSC= 30°,貝U棱錐 S ABC的體積為B. 2V3()C. 3D. 1二、填空題（每小題5分，共15分）4.如圖，已

12、知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長為 2 cm,高為5 cm,則 一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為 cm.5.已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如圖所示，若圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25分鐘，滿分：43分）、選擇題（每小題5分，共15分）1 .某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為A.271rB.兀+V3C.3兀+V32 .在四棱錐EABCD中，底面ABCD為梯形，AB/CD,2AB=3CD,M為AE的中點(diǎn)，設(shè)EABCD的體積為V,.5,則該幾何體的體積是6 .如圖，AD與BC是四面體ABCD中互