1、第38講 導數、定積分一【課標要求】1導數及其應用（1）導數概念及其幾何意義 通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；通過函數圖像直觀地理解導數的幾何意義（2）導數的運算 能根據導數定義求函數y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導數； 能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如f（ax+b）的導數； 會使用導數公式表（3）導數在研究函數中的應用 結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數

2、的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間； 結合函數的圖像，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值，以及閉區間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性。（4）生活中的優化問題舉例例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用（5）定積分與微積分基本定理 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念； 通過實例（如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關系），直觀了解微積分基

3、本定理的含義（6）數學文化收集有關微積分創立的時代背景和有關人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值。具體要求見本標準中"數學文化"的要求。二【命題走向】導數是高中數學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數學工具，運用導數的有關知識，研究函數的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數的應用，也經常以解答題形式和其它數學知識結合起來，綜合考察利用導數研究函數的單調性、極值、最值，估計2010年高考繼續以上面的幾種形式考察不會有大的變化：（1）考查形式為：選擇題、填

4、空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數及解析幾何結合，屬于高考的中低檔題；（2）明年高考可能涉及導數綜合題，以導數為數學工具考察：導數的物理意義及幾何意義，復合函數、數列、不等式等知識。定積分是新課標教材新增的內容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應用，由于定積分在實際問題中非常廣泛，因而07年的高考預測會在這方面考察，預測2010年高考呈現以下幾個特點：（1）新課標第1年考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質、基本公式的考察及簡單的應用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡

5、單運算，屬于中低檔題；（2）定積分的應用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好的轉化為數學模型三【要點精講】1導數的概念函數y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數y相應地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。 如果當時，有極限，我們就說函數y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數，記作f（x）或y|。即f（x）=。說明：（1）函數f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數在點x處不可導，或說無導數（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數值的改變量，可以是零。

6、由導數的定義可知，求函數y=f（x）在點x處的導數的步驟（可由學生來歸納）：（1）求函數的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導數f(x)=。2導數的幾何意義 函數y=f（x）在點x處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3常見函數的導出公式（）（C為常數）（）（）（）4兩個函數的和、差、積的求導法則法則1：兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差)，即： (法則2：兩個函數的積的導數,等于第一個函數的

7、導數乘以第二個函數,加上第一個函數乘以第二個函數的導數，即：若C為常數,則.即常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的導數： 法則3兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數稱為復合函數。復合函數求導步驟：分解求導回代。法則：y|= y| ·u|5導數的應用（1）一般地，設函數在某個區間可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數；如果在某區間內恒有，則為常數；（2）曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；（3）一般地

8、，在區間a，b上連續的函數f在a，b上必有最大值與最小值。求函數在(a，b)內的極值； 求函數在區間端點的值(a)、(b)； 將函數 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值6定積分（1）概念設函數f(x)在區間a，b上連續，用分點ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區間a，b等分成n個小區間，在每個小區間xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數f(x)在區間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間a，b叫做積分區間

9、，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式基本的積分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數）（2）定積分的性質（k為常數）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。四【典例解析】題型1：導數的概念例1已知s=，（1）計算t從3秒到3.1秒 、3.001秒

10、、 3.0001秒.各段內平均速度；（2）求t=3秒是瞬時速度解析：（1）指時間改變量；指時間改變量。其余各段時間內的平均速度，事先刻在光盤上，待學生回答完第一時間內的平均速度后，即用多媒體出示，讓學生思考在各段時間內的平均速度的變化情況。（2）從（1）可見某段時間內的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是時，的極限，V=（6+=3g=29.4(米/秒)。例2求函數y=的導數。解析：，=-。點評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學習導數的定義奠定基礎。題型2：導數的基本運算例3（1）求的導數；（2）求的導數；（3）求的導數；（4）求y=的導

11、數；（5）求y的導數解析：（1）,（2）先化簡,（3）先使用三角公式進行化簡.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。點評：（1）求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（2）有的函數雖然表面形式為函數的商的形式，但在求導前利用代數或三角恒等變形將函數先化簡，然后進行求導有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量例4寫出由下列函數復合而成的函數： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。點評：通過對y=（3x-2展開求導及按復合關系求導，直觀的得到

12、=.給出復合函數的求導法則，并指導學生閱讀法則的證明。題型3：導數的幾何意義例5（1）(年廣東卷文)函數的單調遞增區間是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D解析 ,令,解得,故選D（2）（安徽卷理）已知函數在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得幾何，即，切線方程，即選A點評：導數值對應函數在該點處的切線斜率。例6（湖南卷文）若函數的導函數在區間上是增函數，則函數在區間上的圖象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解析 因為函數的導函數在區間上是增函數，即在區間上各點處的斜率是遞增的，由圖易知選A.

13、 注意C中為常數噢.（2）曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 。解析：（2）曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。點評：導數的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。題型4：借助導數處理單調性、極值和最值例7（1）對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x1）³0，則必有（ ）Af（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）Cf（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）（2）函數的定義域為開區間，

14、導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（ ）A1個 B2個 C3個 D 4個（3）山東卷文)（本小題滿分12分）已知函數,其中 （1）當滿足什么條件時,取得極值?（2）已知,且在區間上單調遞增,試用表示出的取值范圍.解: (1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即, 此時方程的根為,所以 當時,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數極大值減函數極小值增函數所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當時, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數極小值增函數極大值減函數所以在x 1,

15、x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當滿足時, 取得極值. (2)要使在區間上單調遞增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以設,令得或(舍去), 當時,當時,單調增函數;當時,單調減函數,所以當時,取得最大,最大值為.所以當時,此時在區間恒成立,所以在區間上單調遞增,當時最大,最大值為,所以綜上,當時, ; 當時, 【命題立意】:本題為三次函數,利用求導的方法研究函數的極值、單調性和函數的最值,函數在區間上為單調函數,則導函數在該區間上的符號確定,從而轉為不等式恒成立,再轉為函數研究最值.運用函數與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.例8（1）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數的取值范圍是

16、 .解析 解析 由題意該函數的定義域，由。因為存在垂直于軸的切線，故此時斜率為，問題轉化為范圍內導函數存在零點解法1 （圖像法）再將之轉化為與存在交點。當不符合題意，當時，如圖1，數形結合可得顯然沒有交點，當如圖2，此時正好有一個交點，故有應填或是。解法2 （分離變量法）上述也可等價于方程在內有解，顯然可得（2）函數的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為A. B. 1 C. 2 D. 根據定積分的幾何意義結合圖形可得所求的封閉圖形的面積：，故選A.點評：本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力題型5：導數綜合題例91、已知二次函數，若不等式的解

17、集為C.（1）求集合C；（2）若方程在C上有解，求實數的取值范圍；（3）記在C上的值域為A，若的值域為B，且，求實數的取值范圍 解（1） -1分當時， -2分當時， -3分所以集合 -4分（2） ，令則方程為 -5分當時， 在上有解，則 -7分當時， 在上有解，則 -9分所以，當或時，方程在C上有解，且有唯一解。-10分（3） -11分當時，函數在單調遞增，所以函數的值域， ， ，解得，即 -13分當時，任取，10 若， ，函數在區間單調遞減，：又，所以。-15分20 若，若則須，.于是當時，,；-16分當時，,因此函數在單調遞增；在單調遞減. 在達到最小值要使，則，因為，所以使得的無解。-1

18、8分綜上所述：的取值范圍是：點評：該題是導數與平面向量結合的綜合題。例103、已知函數上為增函數. （1）求k的取值范圍； （2）若函數的圖象有三個不同的交點，求實數k的取值范圍.解：（1）由題意1分因為上為增函數所以上恒成立，3分即所以5分當k=1時，恒大于0，故上單增，符合題意.所以k的取值范圍為k1.6分（2）設令8分由（1）知k1，當k=1時，在R上遞增，顯然不合題意9分當k<1時，的變化情況如下表：xk(k,1)1(1,+)+00+極大極小11分由于圖象有三個不同的交點，即方程也即有三個不同的實根故需即所以解得綜上，所求k的范圍為.14分點評：該題是數列知識和導數結合到一塊。題

19、型6：導數實際應用題例11（江蘇卷）請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力。解析：設OO1為x m,則由題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）。于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：。帳篷的體積為（單位：m3）：求導數，得；令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。當1<x<2時，,V(x)為增函數；當2<x<4時，,V(x)為減函數所以當x=2時,V(x)最大。答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大點評：結合空間幾何體的體積求最值，理解導數的工具作用。例12已知某質點的運動方程為下圖是其運動軌跡的一部分，若時，恒成立，求d的取值范圍.解： 由圖象可知，處取得極值 則 即 點評：本題主要考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式