1、碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題及答案解析一、選擇題：(本題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分.每小題給出的四個選項中，只有項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)) )(1)當(dāng) XT0.時，與 JX 等價的無窮小量是(A)1eX.(B)ln-=.(C)Ji+VX1.(D)1-coss/X.B【分析】利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉(zhuǎn)化為其等價無窮小量，再進(jìn)行比較分析找出正確答案.詳解當(dāng)xt0時，有1-e*x=_(e、x-1)-VX；Ji+VX-1VX；1 cosJX二(JX)2=1x.利用排除法知應(yīng)選(B).2 2(2)曲線y=1+ln(1+ex),漸近線的條數(shù)

2、為x(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.D【分析】先找出無定義點(diǎn)，確定其是否為對應(yīng)垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線。1x【詳解】因為四+ln(1+e)，所以x=0為垂直漸近線；_1x又lim一十ln(1+e)=0,所以 y=0 為水平漸近線；X二xlim義=limlnklimJlhlim三xxxJ-xxxxxJ-1-e1limy-1x=lim-ln(1e)-x=limln(1e)-x=m1clnex(1+e)-x=lim1cln(1+e=)=0,于是有斜漸近線：y=x.故應(yīng)選(D).(3)如圖，連續(xù)函數(shù) y=f(x)在區(qū)間-3,-2,2,3上的圖形分別是直徑為 1 的上、下半x圓周，在區(qū)間

3、-2,0,0,2的圖形分別是直徑為 2 的上、下半圓周，設(shè)F(x)=Mf(t)dt.則下列結(jié)論正確的是【分析】本題考查定積分的幾何意義，應(yīng)注意 f(x)在不同區(qū)間段上的符號，從而搞清楚相應(yīng)積分與面積的關(guān)系。一,一_1【詳解】根據(jù)定積分的幾何意義，知 F(2)為半徑是 1 的半圓面積：F(2)=n,進(jìn)一步3_(A)F(3)TF(-2).43(C)F(-3)-F(2).4_5_(B)F(3)=5F(2).45(D)F(-3)=-F(-2).4口一，121233F(3)是兩個半圓面積之差：F(3)=n1-n()=n=-F，2284_303F(-3)=-f(x)dx=-f(x)dx=f(x)dx=F(

4、3)0,30因此應(yīng)選(C).(4)設(shè)函數(shù) f(x)在 x=0 處連續(xù)，下列命題錯誤的是(A)若limUx)存在，則 f(0)=0.(B)若limf(x)f(x)+ +x)x)存在,則 f(0)=0.J0 xJ0 x(C)若lim上兇存在，則f(0)存在.(D)若limf(x)f(x)f(f(x)x)存在，則f(0)存在x)Dxx)0 xD【分析】本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運(yùn)算等進(jìn)行分析討論。【詳解】(A),(B)兩項中分母的極限為 0,因此分子的極限也必須為 0,均可推導(dǎo)出 f(0)=0.若limf(x)存在,則f(0)(0)=limf(x)-f(0)=li

5、mfU,可見(C 池正確，x)0 xx0 x-0 x0 x故應(yīng)選(D).事實上，可舉反例：f(x)=|x在 x=0 處連續(xù)，且f(x)-f(-x)|x-x一、II,lim3=lim)-=0存在，但f(x)=|x在 x=0 處不可導(dǎo)。(5)設(shè)函數(shù) f(x)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f”(x)0.令Un=f(n)(n=1,2，)，則下列結(jié)論正確的是(A)若U1AU2,則Un必收斂.(B)若U1AU2，則Un必發(fā)散.(C)若U1U2,則Un必收斂.(D)若U1U2,則Un必發(fā)散.D【分析】可直接證明或利用反例通過排除法進(jìn)行討論。【詳解】設(shè) f(x)=x2,則 f(x)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f

6、(x)A0,U10,U1U2,但Un=十收斂，排除(B);又若設(shè)f(x)=lnx,則 f(x)在(0,收)上n具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)0,U1U2，但Un=lnn發(fā)散，排除(A).故應(yīng)選(D).(6)設(shè)曲線L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過第 II 象限內(nèi)的點(diǎn) M 和第 IV象限內(nèi)的點(diǎn) N,T 為 L 上從點(diǎn) M 到點(diǎn) N 的一段弧，則下列小于零的是(A).Tf(x,y)dx.(B)Tf(x,y)dy.(C)Tf(x,y)ds.(D)Tfx(x,y)dxfy(x,y)dy.B【分析】直接計算出四個積分的值，從而可確定正確選項。【詳解】設(shè) M、N 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(x1,

7、y1),N(x2,y2),x12-2：-3,：-3-2：i.(D)：i2：2,-22：3,-32：i.A【詳解】用定義進(jìn)行判定：令XI(I%)+乂2(%)+乂3(口3一支1)=。，得(XIx3)1(XIx2)：2(x2x3)13二0.XI-*3=0,因二I3-2,、3線性無關(guān)，所以-XJX2=0,I-X2X3=0.10-1-110=0,0-11即巴-22Wf線性相關(guān).類似可得(B),(C),(D)中的向量組都是線性無關(guān)的(B)合同，但不相似.(D)既不合同，又不相似.【詳解】由|九EA|=0得 A 的特征值為 0,3,3,而 B 的特征值為 0,1,1，從而 A 與 B不相似.又 r(A)=r

8、(B)=2,且 A、B 有相同的正，慣性指數(shù)，因此 A 與 B 合同.故選(B).(9)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為 p(0p1),則此人第 4 次射擊恰好第 2 次命中目標(biāo)的概率為故上述齊次線性方程組有非零解2(8)設(shè)矩陣A=-1-1-1,B=012)0000,則 A 與 B0(A)合同，且相似.(C)不合同，但相似.22(A)3p(1-p).(B)6p(1-p).2222(C)3p(1-p).(D)6p(1-p).C【詳解】第 4 次射擊恰好第 2 次命中”表示 4 次射擊中第 4 次命中目標(biāo)，前 3 次射擊中有 1 次命中目標(biāo)，由獨(dú)立重復(fù)性知所求概率為：C3p2(

9、1-p)2.故選(C).(10)設(shè)隨機(jī)變量(x,Y)服從二維正態(tài)分布，且 x 與丫不相關(guān)，fX(x)fY(y)分別表示 X,Y 的概率密度，則在 Y=y 的條件下，X 的條件概率密度fX|Y(x|y)為(A)fX(x).(B)fY(y).(C)fX(x)fY(y).(D)；.Afy(y)【詳解】因(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且 X 與 Y 不相關(guān)，故 X 與 Y 相互獨(dú)立，于是fXY(x|y)=fX(x).因此選(A).、填空題：(1116 小題，每小題 4 分，共 24 分.把答案填在題中橫線上)(11)j/dx=；e2.【分析】先作變量代換，再分部積分。121111【詳解】exdx=2t3

10、et(-2)dt1x1t(12)設(shè) f(u,v)為二元可微函數(shù)，z=f(xy,yx),則一=f/yxy_1+f2*yxlny.二x【詳解】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式，有=fjyxy，+f；yxlny.:x(13)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y“4y+3y=2e2x的通解為y=Gex+Cze3x-2e2x.其中ChC2為任意常數(shù)【詳解】特征方程為九2-4九+3=0,解得=1,%=3.可見對應(yīng)齊次線性微分方程y“_4y，+3y=0的通解為y=C1ex+C2e3x.設(shè)非齊次線性微分方程y-4y3y=2e2x的特解為y=ke2x，代入非齊次方程可得卜=-2.故通解為y=C1ex+C2e3x2e2x.1t1

11、tedt2=1td8=tet2-1etdt=(14)設(shè)曲面:x+|y+|z=1,則叼(x+|y|)dS=，J3.三3【詳解】由于曲面工關(guān)于平面 x=0 對稱，因此fxdS=0.又曲面三：xyz=1z有輪換對稱性，于1.(x|y|)dS=|y|dS=xdS=.|zdS丁(|x|y|z|)dS3dS【詳解】這是一個幾何概型，設(shè) x,y 為所取的兩個數(shù)，則樣本空間1C=(x,y)|0 x,y1,記A=(x,y)|(x,y)=C,|xy|金.三、解答題：(1724 小題，共 86 分.)(17)(本題滿分 11 分)求函數(shù)f(x,y)=x2+2y2x2y2在區(qū)域D=(x,y)x2+y2W4,y占0上的

12、最大值和由于 D 為閉區(qū)域，在開區(qū)域內(nèi)按無條件極值分析，而在邊界上按條件極值討因為fx(x,y)=2x-2xy2,fy(x,y)=4y2x2y,解方程:工fx=2x-2xy=0,x.2得開區(qū)域內(nèi)的可能極值點(diǎn)為(土J2,1).fy=4y-2xy=0(15)設(shè)矩陣000,則A3的秩為1.【詳解】依矩陣乘法直接計算得A3(16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個數(shù)0皿A3,故 r(A)=1.,則兩數(shù)之差的絕對值小于131的概率為-.P(A)=SA3=4=3其中SA,SQ分別表示 A 與 C 的面積.最小值。【分析】其中Dz:x22-1-z.其對應(yīng)函數(shù)值為f(_,2,1)=2.又當(dāng) y=0 時，f(x,y

13、)=x2在-2MxM2上的最大值為 4,最小值為 0.當(dāng)x2+y2=4,y0,2x2,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y?)2x+22y2x為尢(*x-2y4)h_2_Fx=2x-2xy+2Kx=0,解方程組F；=4y2x2y+21y=0,得可能極值點(diǎn)：(0,2),(土J5,J),其對應(yīng)函,22，2丫2Fj=x2+y2-4=0,數(shù)值為f(0,2)=8,f(J|J|)比較函數(shù)值2,0,4,8,7,知 f(x,y)在區(qū)域 D 上的最大值為 8,最小值為 0.4(18)(本題滿分 10 分)計算曲面積分I=xzdydz2zydzdx3xydxdy,2其中工為曲面z=1-x2-(0MzM1)的上側(cè)。4【分析】

14、本題曲面工不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。2【詳解】補(bǔ)充曲面：11:x2+=1,z=0,取下側(cè).則4I=xzdydz2zydzdx3xydxdy11xzdydz2zydzdx3xydxdy三 W 三=iii(z2z)dxdydz-ii3xydxdyD2其中 C 為Z與國所圍成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域x2+1.4由于區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱，因此J3xydxdy=0.又D11iii(z2z)dxdydz=3111zdxdy=3zdziidxdy=3z2二(1-z)dz=二.0Dz0(19)(本題滿分 11 分)設(shè)函數(shù) f

15、(x),g(x)在 a,b 上連續(xù)， 在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值， f(a)=g(a),f(b)=g(b),證明：存在其(a,b),使得f1)=g(。.【分析】需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理。事實上，若令F(x)=f(x)-g(x),則問題轉(zhuǎn)化為證明F”)=0,只需對F(x)用羅爾定理，關(guān)鍵是找到F(x)的端點(diǎn)函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個一階導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn))，而利用 F(a)=F(b)=0,若能再找一點(diǎn)cw(a,b),使得F(c)=0,則在區(qū)間a,c,c,b上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點(diǎn)，再對F(x)用羅爾定理即可。【證明】構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)

16、=f(x)-g(x),由題設(shè)有 F(a)=F(b)=0.又 f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)具有相等的最大值，不妨設(shè)存在x1x2,x1,x2w(a,b)使得f(xJ=M=maxf(x),g(x2)=M=maxg(x),a,b2a,b右x1=x2,令c=x1，貝UF(c)=0.若x1x2,因F(x1)=f(xi)-g(xi)之0下區(qū))=f(x2)-g(x2)0,從而存在M為區(qū)u(a,b),使F(c)=0.在區(qū)間a,c,c,b上分別利用羅爾定理知，存在。w(a,c)與w(c,b),使得F(1)=F(2)=0.再對F(x)在區(qū)間。，匕上應(yīng)用羅爾定理，知存在(-1,)c(a,b),有Fg=0,即f戶g

17、“().(20)(本題滿分 10 分)設(shè)備級數(shù)zanxn在(-叱)內(nèi)收斂，其和函數(shù) y(x)滿足n=0y-2xy-4y=0,y(0)=0,y(0)=1.一一2(I)證明：an七=_an,n=1,2,111;n1(II)求 y(x)的表達(dá)式.【分析】先將和函數(shù)求一階、二階導(dǎo)，再代入微分方程，引出系數(shù)之間的遞推關(guān)系。QQ,則y,=nanxn,y“=n(n1)anxn/代入微分方程n=2y-2xyH-4y=0,有QOQO工n(n-1)anxn?2%n-2n42an2=nan,n,2“(II)由初始條件y(0)=0,y(0)=1知，a。-c1Man,有a2n_0,a2n+一-.故n!QQ【詳解】(I)

18、記 y(x)=anxnRQCnaxoO-4Xanxn=0,n=0故有oO(n+2)n+1a)12nxn=0oO-2n=0nn1aCOx-4n0(n2)n軋-g-na二0,an2一n1cOoOy(x)=anxn=-a2nxnz0nz0.001.2n12nM八一xn=0n!二1c-=x(x)=xen/n!(21)(本題滿分 11 分)設(shè)線性方程組x1x2x3x12x2ax32x14x2ax3二0,=0,=0與方程x12x2x3=a-1有公共解，求【分析】【詳解】a 的值及所有公共解.兩個方程有公共解就是與聯(lián)立起來的非齊次線性方程組有解將與聯(lián)立得非齊次線性方程組：x+x2+x3x12x2ax3x1+

19、4x2+a2x3x1+2x2+x3二0,=0,=0,=a-1.若此非齊次線性方程組有解，則與有公共解，且的解即為所求全部公共解.對的增廣矩陣A作初等行變換得于是根據(jù)遞推關(guān)系式1110、1111012a001a-10A=2T14a000(a-2)(a-1)021a1,001一aa1,于是 10 當(dāng) a=1 時，有r(A)=r(A)=23,方程組有解，即與有公共解,其全部公共解即為的通解，此時010100000000，-1此時方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為：0所以與的全部公共解為k0k 為任意常數(shù).12 當(dāng) a=2 時，有r(A)=r(A)=3,方程組有唯一解，此時0、1，即與有唯一公2丫;(II)求 Z=X+Y 的概率密度fz(z).【詳解】(I)PX2Y=f(x,y)dxdy=2dy(2-xy)dx二二.x2y02y24(II)先求 Z 的分布函數(shù)：FZ(z)=P(XYZ)=f(x,y)dxdyxyz當(dāng) Z0 時，F(xiàn)Z(z)=0；zZT當(dāng)0_z：1時，F(xiàn)Z(z)=f(x,y)dxdy=dy(2-x-y)dxD1213=z_z；3當(dāng)1_z：2時，F(xiàn)Z(z)=111f(x,y)dxdy=1-：dy(2-x-y)dxD213=1(2-z)3；3