1、與拋物線有結論拋物線中有一些常見、常jy=k(x9)用的結論，了解這些結論后在做選擇題、填空題2-y=2px時可迅速解答相關問題，在做解答題時也可迅速打開思路。2結論一：若 AB 是拋物線 y2=2pXp0)的焦點弦(過焦點的弦)，且 7%,%),B(%,y2),則：XX=E,4證明：因為焦點坐標為 F(R,0),當 AB 不垂直于 x 軸時，可設直線 AB 的方程為：y=k(x-衛)，22222_2Vi由得：ky-2py-kp=0-yiy2=-p,xx2=一2p當 AB!x 軸時，直線 AB 方程為 x=R,則 yi=p,22_pxix2一4例：已知直線 AB 是過拋物線 y2=2px(pA

2、0)焦點 F,求證：1+1為定值。lAFlBF證明：設 A(xi,yi),B(x2,y2),由拋物線的定義知：AF=x+-，BF=*2+,又22AF+BF=AB,所以 xi+x2=AB-p,且由結論一知:則：i.i_AFBF_ABAB=AB2（常數）M麻AFBF（xg%胞%卅1/AB_p）fp結論二：(i)若 AB 是拋物線 y2=2pXp0)的焦點弦，且直線 AB 的傾斜角為a,則AB|=2Psin2:(aW0)。(2)焦點弦中通徑(過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦)最短。證明：(I)設 Aa,%),B(x2,y2),設直線 AB:y=k(x-衛)2由y=k(x-,)得:，ky2-2py-kp

3、2=0.%+丫2=半，y1y2=-p2,22ky=2px(2)由(1):AB 為通徑時，a=90：,sin2”的值最大，AB 最小242y2Pp22p4p24y2=p,；y1y2=p2,同上也有:2-p/x?-O412p1k2=2p（1k2）k2k2=2p（1tan二）二2P一2一-T2-tan-sin-易驗證，結論對斜率不存在時也成立例：已知過拋物線 y2=9x 的焦點的弦 AB 長為 12,則直線 AB 傾斜角為。解：由結論二，12=一(其中 a 為直線 AB 的傾斜角)，sin:則sina=Y3,所以直線AB傾斜角為三或至。233結論三：兩個相切：(1)以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切

4、。(2)過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。已知 AB 是拋物線 y2=2px(p0)的過焦點 F 的弦，求證：(1)準線相切。(2)分別過 A、B 做準線的垂線，垂足為 M、N,求證：以切。證明：(1)設 AB 的中點為 Q,過 A、Q、B 向準線 l 作垂線，垂足分別為 M、P、N,連結 AP、BP。由拋物線定義：|AM|=AF|BN=BF,111QP=-(AM|+|BN)=-(AF+|BF)=-|AB,以 AB 為直徑為圓與準線 l 相切(2)作圖如(1),取 MNK 點 P,連結 PF、MF、NF,vAM|=AF,AM/OF,/AMF=/AFM,/A

5、MF=/MFC,1./AFM=/MFO。同理，/BFN=/NFO,./MFN=1(/AFM+/MFO+/BFN+/NFO)=9021MP=NP=FP=-MN,2./PFM=/FMP./AFP=/AFM+/PFM=/FMA+/FMP=/PMA=90,FPAB以 MN 為直徑為圓與焦點弦 AB 相切。結論四： 若拋物線方程為 y2=2pXp0),過(2p,0)的直線與之交于 A、 B 兩點， 則 OALOB 反之也成立。證明：設直線 AB 方程為：y=k(x-2p),由y2”x2p)得，a。，x1+x2=k,x1x2=-bJ=2pxAOBO,AOBOx1x2y1y2=x1x2(kx1b)(kx2b

6、)=(1k2)xix2kb(x1x2)b2=0以 AB 為直徑的圓與拋物線的將 Xi+X2=k,KX2=b 代入得,b=1。當且僅當 k=0 時，S 凄OB取最小值 1結論五(了解)：對于拋物線x2=2py(p0),其參數方程為產=加2設拋物線x2=2py上動點 P Py=2pt2，坐標為(2pt,2pt2),O為拋物線的頂點,顯然G=t即t的幾何意義為過拋物線頂點O的2Pt動弦OP的斜率.例直線y=2x與拋物線y2=2px(p0)相交于原點和 A A 點，B B 為拋物線上一點，OB和OA垂直，且線段 ABAB 長為5萬,求 P P 的化111解析：設點AB分另IJ為(2ptA2,2ptA)

7、,(2ptB2,2叫)，則tA=0，tB=k=kA=2.kOA2kOB-ru-2AB的坐標分別為J-,pj(8p,4p).AB=J8p+(p+4p)213P=5折.，p=2.練習：1.過拋物線y=ax2(aA0)的焦點 F F 作一直線交拋物線于 P,P,Q兩點，若線段 PFPF 與FQ的長分別11THp,q,貝U+=pq【解析：化為標準方程，得x2=1y(a0),從而2pJ.取特殊情況，過焦點 F F 的弦PQ垂aa直于對稱軸，則PQ為通徑，即PQ=2p=l,從而p=q=工，故1+1=4aa2apq2.設拋物線y2=2px(p0)的焦點為 F,F,經過點 F F 的直線交拋物線于AB兩點.點

8、C在拋物線的準線上，且BC/x軸.證明直線AC經過原點O.【證明：拋物線焦點為F-,0.設直線AB的方程為x=my+衛，代入拋物線方程，得22y22pmyp2=0.若設A(x,y)B(x2yj,則山丫2=2.BC軸，且點C在準線又由yf=2px1,得kA。=紅,故kCo=kA。，即直線AC經過原點 O.xy13.已知拋物線的焦點是F(1,1),準線方程是x+y+2=0,求拋物線的方程以及頂點坐標和對稱軸方程.直線 AB 恒過定點(0,1)iiOB=2X1x2x1=2整理，得x2+y2_2xy_8x_8y=0,此即為所求拋物線的方程.拋物線的對稱軸應是過焦點F(1,1)且與準線x+y+2=0垂直

9、的直線，因此有對稱軸方程y=x.設對稱軸與準線的交點為 M M, ,可求得M(_1,_1),于是線段 MFMF 的中點就是拋物線的頂點,坐標是(0,0)4.拋物線的頂點坐標是A(1,0),準線l的方程是x-2y-2=0,試求該拋物線的焦點坐標和方程.解：依題意，拋物線的對稱軸方程為2x+y2=0.設對稱軸和準線的交點是 M M, ,可以求得M設焦點為 F F, ,則 FMFM 的中點是 A,A,故55得焦點坐標為F2,211.再設P(x,y)是拋物線上的任一點，55根據拋物線的定義得兒+。二-2廠2,化簡整理得5554x2+y2+4xy-4x-12y=0,即為所求拋物線的方程.5.已知AB為拋物線x2=4y上兩點，且OA_LOB,求線段 ABAB 中點的軌跡方程.解析：設k0A=t