1、專題由遞推關系求數列的通項公式一、目標要求通過具體的例題，掌握由遞推關系求數列通項的常用方法：二、知識梳理求遞推數列通項公式是數列知識的一個重點，也是一個難點，高考也往往通過考查遞推數列來考查學生對知識的探索能力，求遞推數列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數列是一種特殊的數列或原數列的項的某種組合是一種特殊數列，把一些較難處理的數列問題化為熟悉的等差或等比數列。三、典例精析fSn=11、公式法：利用熟知的公式求通項公式的方法稱為公式法。常用的公式有an=3及、&-&,n至2等差數列和等比數列的通項公式。例 1 已知數列an中a1=2,生=n2+2,求數列an的通項公式評注

2、在運用an=Sn-Sn時要注意條件n至2,對 n=1 要驗證。2、累加法：利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(an-an)求通項公式的方法叫累加法。它是求型如an+=an+f(n)的遞推數列的方法(其中數列f(n)的前n項和可求)。11例 2 已知數列an中a1=，an+=an+,求數列an的通項公式2n2+3n2a工(an#0)求通項公式的方法叫累乘法。它是求型如an4an+=g(nHn的遞推數列的方法(數列%(n可求前n項積)評注此類問題關鍵累加可消中間項，而f(n)可求和則易得an一一-.一，a2a33、.累乘法：利用恒等式an=a1一一aa2例 3 已知數列an中Sn=1-nan,

3、求數列an的通項公式a評汪此類問題關鍵是化-=g(n),且式子右邊累乘時可求積，而左邊中間項可消。an14、轉化法：通過變換遞推關系，將非等差(等比)數列轉化為等差或等比有關的數列而求得通項公式的方法稱為轉化法。常用的轉化途徑有：湊配、消項變換一一如將一階線性遞推公式an中=qan+d(q,d 為常數，q=0,q1)通過湊配變成例 4、已知數列an中，a1=1,an=2an,十1(n之2卜求數列an的通項公式點評：此類問題關鍵是利用配湊或消項變換將其轉化為等比數列ca,1d11(2)倒數變換如將一階分式遞推公式 an=(c,d 為非手吊數)取倒數得=+-andan.1canca例 5 已知數列

4、an中，a1=1,an+=10,求數列an的通項公式2an1點評：此類問題關鍵是取倒數使其轉化為一階線性遞推數列然后可用湊配、消項變換。an1d=qanq-i，或消常數項轉化為an.2-an1=qan1-an對數變換如將一階分式遞推公式an+=ca；(an0,ca0,pa0,p=1)取對數可得lgani=plganlgc2-一一例 6 已知數列an中，a=10,an0,且an=10an,求數列an的通項公式點評：此類問題關鍵是取對數使其轉化為關于an的對數的一階線性遞推數列即可用湊配、消項變換換元變換如將一階分式遞推公式an41=qan+dn（q,d 為非零常數，qwi,dwi）aqa1a變換

5、成 gi=qg+,令bn=3,則轉化為一階線性遞推公式dddddrr，.、r，_、_n.一一一一.一.一例 7 在數列an中，a1=1,an4=3an+2（n=N）,求數列an的通項公式評注：此類問題關鍵是通過換元將其轉化為一階線性遞推公式5、待定系數法遞推公式為an七=pan由十qan（其中 P,q 均為常數）。解法：先把原遞推公式轉化為an七-san十=t（an+-san）,s+t=p其中 s,t 滿足3,再應用刖面轉化法（4）類型的萬法求解。閭=-q21例8.已知數列9中，a=1,a2=2,an_2=-an由+-an,求an。337、疊代法例 9 已知數列右的前n項和Sn滿足Sn=2an

6、+(-1)n,n1.求數列aj的通項公式。8、歸納法：由數列前幾項用不完全歸納法猜測出數列的通項公式，再用數學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法。*一.例 10 數列an滿足Sn=2n-an(n=N),求數列an的通項公式四、實戰演練1、2012 遼寧卷已知等比數列an為遞增數列，且 a2=ai0,2(an+an+2)=5an+i,則數列an的通項公式為 an=.12、在數列an中，a1=3,an噌=an+，求通項公式an.n(n1)223、設數列an是首項為 1 的正項數列，且(n+1)an+-nan+an由an=0(n=1,2,3)，則它的通4、已知數列an,其中&=1,a2=2

7、,且當 n3 時，an2an+an_2=1,求通項公式ano5、設正數列a。，ai,an，an,滿足，0商工JO二012=2an（n22）且a。=a1=1,求an的通項公式五、能力提升（逆推法）已知數列an）的前n項和Sn與an滿足：an,Sn,Sn-（n之2）成等比數列，且ai=1,求數列2必n的前n項和Sn點評：本題的常規方法是先求通項公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數列an的前n項和Sn的遞推公式，是一種最佳解法由遞推關系求數列的通項公式答案當n2由an=sn-snJL=n2+2-i(n-1)+2I=2n-13,n=1故an：2n-1,n_2回=1+1-11-1122334當n=1時

8、也成立。故有an=n11例 3 斛：當 n=1 時由a1=G=1a1可得a1=2由an1=sn由一sn=1(n+1)an書一1-nan可得例 4 解法一（湊配變換）：由an=2an4+1可得an+1=2（an,+1）,又21+1=2,故數列an+1是首項為 2,公比為 2 的等比數列，an+1=22n,，即an=2n-1解法二（消項變換）an=2an4+1工-得an由an=2（anan）（n之2）,故數列an書4是首項為a2a1=2公比為2 的等比數列即an書-an=2n,再用累加法得an=2n-1a一一11例 5 解:由an+=n一可得=一+2即2an1an1an1.、rr1，一=1+2(n

9、-1)，即an=an2n-1例 6 解：由an0,且an由=10a；可得lgan由=1+2lgan,即例 1 解:當n=1時為=s=3不滿足例 2 解：由an+=an+1-2IZn+3n2可知an.1-an1112n3n2n1n2an.1ana?a3二a1一一aa2a_1an123n-2n-11=5nn1nn1當 n=1 時也成立。故有an=nn1an書=2an+11口，數列一、是以 1 為首項 2 為公差的等差數列。an二數列也ga+1是以lgai+1=2為首項以 2 為公比的等比數列，lgan+1=2n即an=102n_n_1-an=2anu2(-1),ani=2an/2(-1廣.an=2

10、n(-1)2n2(TfIII2(-1尸=2n1(-1)n(-2)n1(-2)n(-2)=*_產1-L2)n43例 7 解：由an4=3an+2n可得罪3an1=*r-an122n2c(6+1)令bn=曳12nb=3bn12n,數列Jbj是以-為首項以-為公比的等比數列即bn=222uan3nbn=4-1=-n2n2即an=3n-2n例 8 解：由21an2=lan書+an可轉化為33an2-san1=t(an1-san)即an2=(st)an1-stan-st-231st=3s=1s=1這里不妨選用（1t=一一3（當然也可選1s=一3，t=11an史an4(an+an)=Gn4an,正以首項為

11、a2a=131n1an+an=（），應用類型 1 的方法，分別令3n=1,2,3,；(n1),大家可以試一試），則1公比為-的等比數歹 U,所以3代入上式得（n-1）個等式累加之,10111nJ2即an-a1二().().(一)333T 產3113又丁a1=1,所以為二4一4（一3尸。例 9 解：由a1當n之2時,=S1=2al-1=a1=1an=Sn-Sn=2(烝箕。)2(-1):a2=2al-2.經驗證a1=1也滿足上式，所以an=22nN+（-1）nJ132-1一.時，左邊=a1二1,右邊=1 廠=1,猜想成立;2由-可得ak+=2-ak41+ak之2時an=SnSm不2na)d2(n1

12、)油可構造等比數列（以下略）四、實戰演練1、（公式法）2n解析本小題主要考查等比數列的概念與性質.項變形式，是解決問題關鍵.由已知條件an為等比數列，可知，2（an+an+2）=5an+1?2（an+anq2）=5anq?2q25q+2=0?q=；或2,又因為an是遞增數列，所以 q=2.由 a5=a10得a5=q=32，所以 a1=2,an=aqn-1=2n2、（累加法）解：原遞推式可化為:則a2二a1a4=a31-33、（累乘法）1,anan14解：原遞推式可化為：1一一一-逐項相加得:nan=a11_1,121一*1一一.故n_.11333223an=4-1.n(n1)am-nan(an

13、1an)=0an書+an0,an1ann1n1方法一.an=2an12(-1)一，_anj西=-2十21公比為-2首項為3(-1)1-2-.a-2=_2(n-)(-1)n3(-1)3-的等比數列3（以下略）3例 10 斛：易求a1=1,a2=2，a3715-=,a4=,由此可猜想an48n)2-12n卜面用數學歸納法證明：當n=1假設 n=k 時命題成立，即ak2k-12k,那么由已知sk=2k-akak1t=12k-12k1-12k1-12k=住小二，即當n=k+1時命題也成立。221廣*.由，可知命題對任何n=N都成立。點評:此類問題關鍵是利用歸納假設的ak證明 n=k+1 時命題成立。方

14、法二、n=1時a1=S1=2-aa十1解題的突破口為靈活應用等比數列通4、（換元法與累加法的綜合）解由an-2an1十街/=1 得：（an一an）一（an一an_2）=1,令bn=n.。由于b1b2bm=a2-a1a3-a2ann(n-1)21所以an1=In（n1）,即 5、（換兀法與累乘法綜合）2a2則a12%3a3逐項相乘得:an11=,即an=.a1nbn,=ananL則上式為立=1,因此3是個等差數列,bi=a2a1=1,公差為 1.故_a_2虹=1ani.anN設bn=-n-，則b1=I=1,bn-2、,=1,故有bn,anJ:ao一23=1bn=2bn,+1=bn+1=2(bn二+1)=bn+1是公比為2,首項為 2 的等比數列，bn=2n1即三=2n1.，旦=(2n1)2an工an逐項相乘得：an=(2-1)2(22-1)2：(2n-1)2,考慮到a0=1,故an1-